Chuyen de luyen thi dai hoc mon toan

Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của nên phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của có dạng Vì đường cong bậc 3 có số tiếp tuyến bằng số tiếp điểm nên để từ M chỉ có một ti

của các em

Kể từ hôm nay, các em sẽ lần lượt trải qua những thử thách

khó khăn của cuộc sống.Thử thách đầu tiên các em phải trải qua đó

là kì thi đại học Đây là một thử thách không có chổ cho những suy

nghĩ bồng bột, lười nhác…

Để giúp các em có sự chuẩn bị tốt hơn, thầy đã soạn ra tuyển tập các chuyên đề ôn thi đại học Môn Toán

Hy vọng những chuyên đề mà thầy soạn, sẽ giúp các em trang

bị tốt hơn kiến thức, giúp các em có thể vượt qua thử thách đầu tiên của cuộc đời một cách dễ dàng hơn

Đây là lần đầu tiên thầy soạn chuyên đề, nên không tránh khỏi sai sót…các em đọc và góp ý để thầy chỉnh sửa kịp thời, để các em

khóa sau có sự chuẩn bị tốt hơn các em nhá

Chúc các em học tốt

Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG

ĐT: 0975.050.027 FACEBOOK: facebook.com/nobi39 FAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán “Mỗi tuần một chuyên đề”

3

1

PHẦN 1 BÀI TOÁN THAM SỐ (TT)

CHƯƠNG III: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I Lý thuyết

1 Ý nghĩa hình học

Cho hàm số ( ) có đồ thị là ( ), một điểm ( ; ) ( ) Phương trình đường thẳng tiếp xúc với ( ) tại có phương trình

( )( )

2 Sự tiếp xúc

Cho hàm số ( ) có đồ thị là ( ), ( ) có đồ thị là ( ) Đồ thị ( ) ( ) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ sau

{ ( ) ( )( ) ( )( )

có nghiệm

3 Đặc điểm phương trình tiếp tuyến

Nếu ( ) là đường con bậc 3 thì số tiếp tuyến với ( ) bằng số tiếp điểm

Đường thẳng không phải là tiếp tuyến của ( )

II Bài toán

1 Bài toán về tiếp tuyến tại M cho trước trên ( )

Phương pháp

- Gọi ( ; ) ( ) là tọa độ tiếp điểm

- Phương trình đường thẳng tiếp tuyến với ( ) tại có

( ) ( )

4

Ví dụ 4 Cho

( )

Tìm m để ( ) cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt A,

D, E sao cho tiếp tuyến tại D, E với ( ) (có hoành độ khác 0) vuông góc nhau

Để ( ) cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt A, D, E

thì phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt

{ ( ) {

Gọi 3 giao điểm là ( ) ( ) ( )

Tiếp tuyến tại D và E vuông góc nhau cho ta

Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên

phương trình đường thẳng d qua ( ) là tiếp tuyến của ( ) có dạng

Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên

phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng

Vì đường cong bậc 3 có số tiếp tuyến bằng số tiếp điểm nên

để từ M chỉ có một tiếp tuyến với (C) thì

( )

Nhận xét: Điểm M cần tìm ở đây chính là điểm uốn

Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên

phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng

Đồ thì bậc ba có số tiếp tuyến bằng số tiếp điểm nên, để từ M

vẽ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị thì phương trình ( )

( ) có hai nghiệm phân biệt

8

Giải

TXĐ: * +

( )

Gọi ( ; ) là điểm cần tìm Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng ( )

Gọi là hoành độ tiếp điểm của đường thẳng d tiếp xúc ( ) Khi đó

{ ( ) ( )

( ) ( )

Thế (2) vào (1) ta được ( ) ( )

Để từ M có duy nhất một tiếp thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác 1 1

{

( ) 0

{

( )

Với ( )

( )

( )

( )

Vậy có 4 điểm trên d thỏa yêu cầu bài toán

Đường thẳng không thể là tiếp tuyến của ( ) nên

phương trình đường thẳng d qua là tiếp tuyến của ( ) có dạng

Để từ M có 2 tiếp tuyến tới đồ thị thì phương trình (*) có 2

nghiệm phân biệt khác 1

( ) ( )

Vì là nghiệm của phương trình (*) nên

10 {

( ) Thế vào (1’) ta được

Kết hợp với (**) ta được

{

( ) ( )

2 Mối liên hệ giữa số giao điểm của đường cong bậc 3 (C)

với trục ox và cực trị của nó

a) (C) giao trục hoành tại 3 điểm phân biệt

b) (C) giao trục hoành tại 2 điểm phân biệt

c) (C) giao trục hoành tại 1 điểm phân biệt

hoặc (C) không có cực trị

II Bài toán

1 Các bài toán cơ bản

Đặt Để đồ thị giao trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì

phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt

khác 1

{ ( ) {

( )

12

Giả thiết

( )

Kết hợp với (*) ta được {

Ví dụ 2 Cho

( )

và ( )

Tìm m để ( ) và ( ) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho √

Giải TXĐ: * +

Phương trình hoành độ giao điểm

{ ( )

Để ( ) và ( ) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B thì phương trình ( ) ( ) có hai nghiệm phân biệt khác -1 { ( ) ( )

Gọi ( ) ( )

Khi đó √ ( ) √ ( ) √

( ( )) | | √ | |√ √

Để ( ) và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có

hoành độ lớn hơn 1 thì phương trình ( )

có hai nghiệm phân biệt và

15 {

( ) Hoành độ các giao điểm của ( ) với lần lượt là

√ √ √ √ Để các hoành độ lập theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì

| | ( | |) [

( )

16

2 Bài toán ứng dụng cực trị hàm

Ví dụ 1

Cho ( ) ( )

Tìm m để ( ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt Giải TXĐ:

Phương trình hoành độ giao điểm ( )

Đặt ( ) ( )

( ) ( )

Đồ thị hàm số ( ) đạt cực đại cực tiểu tại khi chỉ khi ( )

Gọi ( ), ( ) là cực tiểu và cực đại của hàm số ( ) Để ( ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số ( ) có cực đại cực tiểu nằm về 2 phía trục hoành Do đó ( )( ) ( )

là nghiệm phương trình ( ) nên {

Thế vào (1), ta được ( )

Ví dụ 2 Cho ( ) ( )

Tìm m để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại đúng 2 điểm phân biệt Giải TXĐ:

Phương trình hoành độ giao điểm

17

Đặt ( )

( )

Đồ thị hàm số ( ) đạt cực đại cực tiểu tại khi chỉ khi ( )

Gọi ( ), ( ) là cực tiểu và cực đại của hàm số ( ) Để ( ) cắt ( ) tại 2 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số ( ) có cực đại hoặc cực tiểu nằm trên trục hoành Do đó ( )( )

( )

là nghiệm phương trình ( ) nên {

Thế vào (1), ta được

Kết hợp với (*) ta được

Ví dụ 3 Cho ( )

Tìm m để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại 3 điểm phân biệt Giải TXĐ:

Phương trình hoành độ giao điểm

( )

Với ta được (vô lý) Với ta được

( )

( )

( )

18 ( ) ( )( )

( ) ( )

Để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại 3 điểm phân

biệt thì đường thắng cắt đồ thị ( ) tại 3 điểm phân biệt

( ) cắt ( ) tại hai điểm phân biệt A, B nên phương trình hoành

độ giao điểm sau có 2 nghiệm phân biệt

{ ( ) ( )

Hệ (1) có hai nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình

( ) ( ) có hai nghiệm phân biệt

khác 1

19

{ ( ) √ √ ( ) Gọi ( ) ( )

Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) cắt tiệm cận ngang và

đứng lần lượt tại sao cho là giao điểm 2 tiệm cận

M là điểm bất kì trên đồ thị Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận

của đồ thị tại A, B I là giao điểm 2 tiệm cận Tìm M sao cho đường

tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích tam giác IAB nhỏ nhất

Bài 4: Cho hàm số

( )

I là giao điểm 2 tiệm cận Đường thẳng là tiếp tuyến bất kì

của đồ thị Tìm giá trị lớn nhất của ( )

Tìm trên đường thẳng các điểm từ đó kẻ được đúng 2

tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị

Bài 7: Cho hàm số ( )

Tìm trên đường thẳng các điểm từ đó kẻ được 3 tiếp

21 tuyến phân biệt tới đồ thị

Bài 8: Cho hàm số ( )

Tìm trên ( ) những điểm là từ đó có duy nhất một tiếp tuyến

với đồ thị

Bài 9: Cho hàm số ( )

Tìm m để phương trình đường thẳng d qua ( ) có hệ số

góc m cắt ( ) tại ba điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến của

( ) tại N, P (có hoành độ khác -1) vuông góc nhau

Bài 10 Cho ( )

Tìm m để ( ) và cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có

hoành độ bé hơn 15

Bài 11: Cho hàm số ( ) ( ) Tìm m để ( ) cắt ( ) tại 3 điểm phân biệt A, B, C (B, C có hoành độ khác 0) sao cho √ ( )

Tìm để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 4 điểm

phân biệt theo thứ tự sao

Bài 15: Cho hàm số

( )

Viết phương trình đường thẳng d qua ( ) và cắt ( ) tại

hai điểm phân biệt M, N sao cho I là trung điểm MN

Bài 16: Cho hàm số

( )

Tìm m để ( ) cắt đường thẳng ( ) tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O

22

PHẦN 2 HÌNH KHÔNG GIAN (TT)

Vấn đề 3: Khối lăng trụ và các bài toán liên quan

I Vài khái niệm cần nhớ:

 Hình lăng trụ là hình có 2 đáy là 2 đa giác bằng nhau và

.3.

 Trong hình lăng trụ có nhiều yếu tố song song nên ta đặc biệt

chú ý đến điểm này để áp dụng cho kĩ thuật “đổi đỉnh” trong bài

toán về khoảng cách

23

II Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hình hộp đứng có đáy là

hình vuông, vuông cân, Tính ( ( )) theo

Phân tích: Tính ( ( ))

Việc tìm hình chiếu vuông góc của lên ( ) của ta gặp chút khó khăn đây…ta thử xét theo hướng khác xem thử có đơn giản hơn không? Giải Ta có vuông cân tại suy ra

√

√ √

√

Suy ra √ ( )

( )

Do đó ( ( ))

√

24

Bài toán được giải quyết một cách nhẹ nhàng rồi

Ví dụ 2 Cho hình lăng trụ đứng có

5 và ̂ Gọi M là trung điểm của CC’ Tính ( ( )) và ( ( )) theo Giải : Cách truyền thống Gọi là chân đường cao kẻ từ của tam giác

Ta có: và suy ra ( ) hay ( ( )) √

Cách dùng thể tích √

√ ( )

Ta tiếp tục ý tưởng ở ví dụ 1 ( ( ))

Ta có √ ( )

√ ( )

√ ( )

√ ( )

Do đó ( ( )) √

( ( ))

√ (chú ý A’BM vuông tại )

25

Ví dụ 3 Cho hình lăng trụ có đáy là

hình chữ nhật 3 Hình chiếu vuông góc của

điểm lên ( ) trùng với giao điểm của và Mặt phẳng ( ) tạo với mặt đáy một góc 600 Tính ( ( )) theo

Giải:

Từ giả thiết suy ra ( )

Gọi là trung điểm của , ta dễ dàng xác định được

Bây giờ việc tính toán của

ta sẽ đơn giản hơn nhiều

Giải :

Dễ dàng xác định được (( ) ( )) ̂ = 600

Và

Tính ( )

Nhận xét : và suy ra ( ) hay

3 Tâm đường tròn ngoại tiếp của:

- Tam giác đều là trọng tâm của tam giác

-Tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền

- Hình vuông là giao điểm của hai đường chéo

- Hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo

4 Trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác và vuông góc với mặt phẳng chứa

đa giác đó

5 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mp đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó

6 Diện tích của mặt cầu :

7 Thể tích của khối cầu : , với R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

II Phương pháp tìm tâm đường mặt cầu ngoại tiếp

B1 Tìm đường thẳng d là trục của đường tròn ngoại tiếp đa

Lưu ý: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thông thường sẽ

được tìm thông qua 2 cách:

- Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Gọi K là trung điểm của SD

Trong mp ( ) dựng đường trung trực của cạnh cắt cạnh SO tại I

29

√

Nhận xét : tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là

tìm điểm cách đều các đỉnh A, B, C , D, S

Chính vì vậy trong bài toán trên với nhận xét là

2 tam giác đều Gọi I là trọng tâm của thì I cũng là trọng tâm của Khi đó : hay I là tâm mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Việc tính bán kính IS cũng sẽ nhẹ nhàng hơn rất nhiều

Ví dụ 2 Cho hình chóp S có đáy là hình vuông

tâm , cạnh ( ) và SAC vuông cân

Hãy xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp theo a

Giải :

Trong mp ( )

- Dựng đường thẳng qua và song song với Mà

( ) ( ) hay là trục của đường tròn

ngoại tiếp hình vuông

- Dựng đường trung trực của cạnh , cắt d tại I.(I là

trung điểm của SC )

Khi đó :

vuông nên gọi I là trung điểm SC thì ta có

hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Gọi G là trọng tâm Trong mp ( ):

- Dựng đường thẳng d qua và song song với

Mà SA ( ) nên ( ) hay d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Dựng đường trung trực của cạnh SA, cắt d tại I Khi đó :

31

Suy ra : hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bán kính √ = √

Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,

AB = BC = 2a SB vuông góc với (ABC) Mặt phẳng (SAC) tạo với mặt đáy một góc 300 Hãy xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a

Giải :

Gọi là trung điểm của

Dễ dàng được: (( ) ( )) 300

Trong ( )

- Dựng đường thẳng qua và song song với

Mà ( ) nên ( ) hay d là trục của đường tròn

ngoại tiếp tam giác

- Dựng đường trung trực của cạnh SB, cắt d tại I Khi đó :

32

Suy ra : hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bán kính √ √

Ví dụ 5 Cho hình chóp S có đáy là hình vuông

tâm , cạnh bằng a√ Mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ) Hãy xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo

Giải :

Gọi là trung điểm của , chứng minh được (ABCD)

là trọng tâm của tam giác

Trong ( )

- Dựng đường thẳng qua và song song với

Mà ( ) nên ( ) hay d là trục của đường tròn

ngoại tiếp hình vuông

- Dựng đường thẳng qua và song song với

Mà ( ) nên (SAB) hay là trục của đường tròn

ngoại tiếp SAB Và cắt tại Khi đó:

Ví dụ 1 Cho hình chóp có đáy hình vuông

cạnh √ Mặt ( ) vuông góc đáy Gọi

lần lượt là trung điểm của Tính thể tích khối chóp theo a và tính ( )