Viết PTTT của C tại điểm uốn của nó và tìm toạ độ các giao điểm của tiếp tuyến này với tiếp tuyến của C tại các điểm cực đại và điểm cực tiểu của nó.. Chứng tỏ rằng trong các tiếp tuyến
Trang 1BAỉI TAÄP GIAÛI TÍCH 12 Trang 1
Chửụng I : ệÙNG DUẽNG ẹAẽO HAỉM ẹEÅ KHAÛO SAÙT Sệẽ BIEÁN THIEÂN VAỉ VEế ẹOÀ THề
HAỉM SOÁ VAÁN ẹEÀ 1 : PHệễNG TRèNH TIEÁP TUYEÁN
" Biết phải mà cho là sai đó là sai Biết sai mà cho là sai đó là phải" (Lão Tử)
DAẽNG 1 : Viết PTTT tại điểm thuộc đồ thị
Trang 2BAỉI TAÄP GIAÛI TÍCH 12 Trang 2
1 Cho hàm số y 2 x 2 x 1
, có đồ thị (C) Lập PTTT với(C) tại điểm có hoành độ bằng 1
5 Cho hàm số y x 3 3 x 1, có đồ thị (C) Cho điểm A(x0;y0)
thuộc (C), tiếp tuyến với (C) tại A cắt (C) tại điểm B khác điểm A,
tìm hoành độ B theo x0 (ĐH Thơng Mại-00)
6 Cho hàm số y x (3 x ) 2, có đồ thị (C) Viết PTTT với (C)
tại điểm uốn (ĐH Thái NguyênG00)
7 Cho hàm số y = 2 x 3 + 3 x 2 - 12 x - 1, có đồ thị (C) Tìm
điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó đi qua gốc toạ độ
8 Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 4 Viết PTTT tại giao điểm của
(C) với trục hoành (CĐ Y Tế Nam Định 01)
9 Choy = x 2(3 ) - x , có đồ thị (C) Viết PTTT của (C) tại điểm
uốn của nó và tìm toạ độ các giao điểm của tiếp tuyến này với tiếp
tuyến của (C) tại các điểm cực đại và điểm cực tiểu của nó (ĐH
Thăng Long D01)
10 Cho hàm số y =- x 4 + 2 x 2, có đồ thị (C) Viết PTTT của
(C) tại điểm A( 2;0). (ĐH Thái Nguyên D01)
11 Cho y x 4 2 x 2 3, có đồ thị (C) Viết PTTT với (C) tại
điểm có hoành độ bằng 2 (ĐH Đà Nẵng97)
13 Cho hàm số 1
1
x y x
, có đồ thị (C) Viết PTTT của (C) tại
giao điểm của (C) và trục hoành
14 Cho hàm số 2 1
2
y x
+
-= + , có đồ thị (C) Viết PTTT của(C) tại điểm x 0 1 (CĐSP Cần Thơ A01)
, có đồ thị (C) Lập PTTT với (C)
điểm của đồ thị với trục hoành (ĐH BK76)
, có đồ thị (C) Lập PTTT với (C)
tại điểm có tung độ bằng 1
20 Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx, có đồ thị (C ) m Viết PTTT của (C ) m tại điểm uốn của nó CMR tiếp tuyến đó đi qua
điểm M(1;0) khi và chỉ khi m=4
" Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc" Ngạn ngữ
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số, hãy tìm
tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
26 Cho hàm số y x 3 3 x 2 2
, có đồ thị (C).
a Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C)
b Chứng tỏ tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C) có hệ số góc
nhỏ nhất (ĐHDL Duy Tân 0102)
27 Cho hàm số y mx 3 3 mx 2 2 m 1 x 2, trong
đó m là tham số thực (Viện ĐH Mở Hà Nội 0102)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng vớigiá trị m = 1
b Viết phơng trình của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn
c Chứng tỏ rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị (C) thì tiếptuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
28 Cho hàm số y 2 x 3 3 x 2 1, có đồ thị (C) Tìm trên(C) điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất
29 Cho hàm số y 2 x 3 3 mx 2 2 m 1
, trong đó m làtham số thực
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng vớigiá trị m = 1
b Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến
đạt giá trị nhỏ nhất
30 Cho hàm số 1 3 2 2 3
3
y x x x, có đồ thị (C) viếtphơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm uốn và chứngminh rằng (d) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
31 Cho hàm số y x 3 3 x 2 2, có đồ thị (C)
Trang 3BAỉI TAÄP GIAÛI TÍCH 12 Trang 3
a Viết PTTT của (C) tại điểm M(1;0)
b CMR tiếp tuyến tại M có hệ só góc lớn nhất so với mọi tiếp
tuyến khác của (C) (ĐH Nông Nghiệp I-97)
a Giả sử A là điểm trên (C) có hoành độ a Viết ph ơng trình
tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm A
b Xác định a để (d) đi qua điểm M(1;0) Chứng tỏ rằng có haigiá trị của a thoả mãn điều kiện của bài toán và hai tiếp tuyếntơng ứng là vuông góc với nhau
, có đồ thị (C) Tìm điểm M
trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt trục tọa độ tại hai điểm A,
B và tam giác OAB vuông cân tại O
38 Cho hàm số
1 1
x , có đồ thị (C) Tìm những
điểm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm
đó tạo với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất
44 Cho hàm số
x 3 1
y x
Trang 445 Cho haứm soỏ y = f(x) = x33x2+1, coự ủoà thũ (C).
a) Tỡm f’(x) Giaỷi baỏt phửụng trỡnh f’(x) 0
b) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi ủieồm coự hoaứnh ủoọ
baống 3
46 Cho (C) : y = f(x) = x4x2
a) Tỡm f’(x) Giaỷi baỏt phửụng trỡnh f’(x) > 0
b) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) :
1 Taùi ủieồm coự hoaứnh ủoọ baống 2
2 Taùi ủieồm coự tung ủoọ baống 3
3 Bieỏt tieỏp tuyeỏn song song vụựi d1 : y = 24x+2007
4 Bieỏt tieỏp tuyeỏn vuoõng goực vụựi d2 : y = x 10
4
ủi qua A(0;3)
50 Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C): y = f(x)=
1x
1x
ủi qua H(1;1)
DAẽNG 2 : Viết PTTT biết nó đi qua điểm M x y0( ; )0 0
1 Cho hàm số y x 3 3 1 x , có đồ thị (C) Lập PTTT với
(C) biết nó đi qua điểm 2
; 1 3
5 Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 2 Viết PTTT của (C) đi qua
điểm A(-1;2) (ĐH DL Phơng Đông D01)
" Sách là ngời bạn tốt nhất của tuổi già đồng thời là ngời chỉ dẫn tốt nhất của tuổi trẻ" X Mai-ơ
"Việc quan trọng nhất cho cuộc đời là việc lựa chọn nghề nghiệp của mình" Pascal
6 Cho hàm số y= -x3 3x2+2 Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ
thị đi qua điểm A(0;3)? Viết PTTT đó
7 Cho hàm số y x 3 3 x 2 2, có đồ thị (C) Viết PTTT của
(C) từ điểm M(1;0) (ĐH AN D,G00)
8 Cho hàm số y=- x3+3x- 2 (C) Viết PTTT của (C) biết
nó đi qua điểm A(-2;0) (CĐSP Hà Nam-05)
9 Cho hàm số y x 3 2 5 x , có đồ thị (C) Lập PTTT với
(C) biết nó đi qua điểm P 1;4
10 Choy = 2 x 3 + 3 x 2 - 5, có đồ thị (C) CMR từ điểm
A(1;-4) có ba tiếp tuyến với (C) (PV BCTT-01)
11 Choy = x 3 - 3 x 2 + 4, có đồ thị (C) Viết PTTT của (C) đi
qua điểm A(2;0) (CĐSP Mẫu Giáo TW3-04)
12 Cho hàm số x3+3x2+4 Viết PTTT của (C) đi qua điểm
A(0;-1) (CĐ Kinh Tế Kĩ ThuậtI-A04)
13 Cho hàm số y 3 x 4 x 3, có đồ thị (C) Viết PTTT của (C)
biết nó đi qua M(1;3) (ĐH Tây Nguyên A,B00)
14 Cho hàm số 2
13
y x x x , có đồ thị (C).Tìmtoạ độ điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc
O
5 Cho hàm số y x 3 3 mx 2 3 m 2 1 x m
tham số
a Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
c Viết PTTT với (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 6)
16 Cho hàm số y 2 x 3 3 x 2 5
, có đồ thị (C) Chứng minhrằng từ điểmA 1; 4 có ba tiếp tuyến với (C)
17 Cho hàm số 1 4 2 2 1
2
y x x , có đồ thị (C) Chứngminh rằng qua điểmM 0;1 có ba tiếp tuyến của đồ thị (C) Viếtphơng trình các tiếp tuyến đó
c* Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị(C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
T (ĐH CSND-A00)
Trang 522 Cho hàm số 1 4 1 2
y x x , có đồ thị (C) Viết PTTT của(C) đi qua gốc tọa độ (ĐH Kiến Trúc HN 99)
23 Cho hàm số 2 5
2
x x
x
y
x , có đồ thị (C) Viết PTTT của (C) biết tiếp
tuyến đi qua A(-6;5) (Ngoại Thơng CS2-D99)
25 Cho hàm số 2
1
x y x
+
=
- , có đồ thị (C) Xác định a để từ điểmA(0;a) kẻ đợc hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp tuyến tơng
ứng nằm về hai phía đối với trục Ox
26 Cho hàm số 3 2
2
x y x
, có đồ thị (C) Chứng minh rằng
không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm của hai đờng
có thể vẽ đợc bao nhiêu tiếp tuyến với (C) Tìm toạ độ các tiếp
điểm (nếu có) (ĐH Thái Nguyên A,B01)
x x y
x
+ +
=+ , có đồ thị (C) Viết phơng trình đờng
thẳng đi qua điểm M(-1;0) và tiếp xúc với (C)
33 Cho hàm số 1
x
= + , có đồ thị (C) Viết PTTT của (C) biết
nó đi qua điểm M(-1;7)
y
x
, có đồ thị (C m ) Tìm tất cảcác giá trị của m sao cho hai tiếp tuyến với đồ thị (C m ) kẻ từO(0;0) vuông góc với nhau (ĐH DL Hùng Vơng B00)
36 Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x x ln đi qua
DAẽNG 3 : Viết PTTT biết hệ số góc
1 Cho hàm số y x 3 3 x 2
, có đồ thị (C) Lập PTTT với (C)biết nó song song với đờng thẳng y 9 x 1
x Viết PTTT với (C), biết nó song song
với đờng thẳng y=-x (ĐH Đà Lạt-D00)
5 Cho hàm số
211
x x y
x
Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số song song với đờng thẳng y=-x
, có đồ thị (C) Viết PTTT của (C) biết nó
song2 với đt y=-x (ĐH Luật HN-99)
x
, có đồ thị (C) Viết PTTT của (C) biết nó
song2 với đt y=x+4 (ĐH Luật HN-99)
8 Cho hàm số y x 3 3 x 2
, có đồ thị (C) Lập PTTT với (C)biết nó vuông góc với đờng thẳng 1
11 Cho hàm số 1 3 2 2 3 1
3
y x x x , có đồ thị (C) LậpPTTT với (C) biết nó vuông góc với đờng thẳng x 8 y 16 0
Trang 6d Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C).
e Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(1; 4)
f Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết nó song song với
a.CMR với mọi m đồ thị hàm số đã cho đi qua 3 điểm cố định thẳnghàng
b.Với giá trị nào của m thì (C m )có tiếp tuyến vuông góc với đờngthẳng đi qua 3 điểm cố định trên
15 Cho hàm số y x 4 mx 2 ( m 1), có đồ thị (C m )
a Tìm các điểm cố định của (C m ) khi m thay đổi
b Gọi A là điểm cố định có hoành độ dơng của (C m ) Tìm giá trị của m để tiếp tuyến với (C m ) tại A song song với đờng thẳng y=2x (ĐH SP Vinh-G99)
" Bạn sẽ biết thế nào là niềm vui sớng khi bạn hiểu đợc giá trị của mồ hôi và nớc
trên (C) tồn tại những cặp điểm mà TT tại đó song song với nhau
17 Cho hàm số y x 3 3 x 2 3 x 5
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai điểm sao cho hai tiếp
tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau
c Xác định k để trên (C) có ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến
vuông góc với đờng thẳng y kx
18 Cho hàm số 2
2
x y x
, có đồ thị (C) Lập PTTT với (C) biết
nó song song với phân giác của góc phần t thứ nhất tạo bởi các trục
(C), biết tiếp tuyến đó :
a Có hệ số góc là 2
b Song song với đờng thẳng y x 1.
c Vuông góc với đờng thẳng 4
cận xiên của nó
21 (CĐ-A2000) Cho hàm số 3 2
3
yx x Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết các tiếp tuyến đó song song với đ-
ờng thẳng y=9x+1
22Cho hàm số 3
21
y
x
Viết phơng trình các tiếp tuyến với
đồ thị hàm số, biết các tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng
y=-3x+1
23 (ĐH DL Hải Phòng-A2000) Cho hàm số 3 2
yx x Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết các tiếp tuyến ấy vuông góc với đờng thẳng
x y x
26 (ĐH AN-A2001) Cho hàm số
2 2
(C)1
x x y
x
+ +
=
- Tìm trên
đồ thị (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị tại A vuông góc với
đờng thẳng đi qua A và qua tâm đối xứng của đồ thị
27 (ĐH AN-D2001) Cho hàm số y= -x3 3x2 Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số trên, biết rằng tiếp tuyến ấy vuông góc với đờng thẳng 1
x x y
Trang 7tuyến của (Cm) tại M song song với đờng thẳng 5x – y = 0
32 (CĐ SP Hải Phòng-2004) Cho hàm số y=- x3+3x Viết
ph-ơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó song song
với đờng thẳng y=-9x
x x y
x x y
x
y= +
36 Cho hàm số
2 41
x x y
x
+ +
=+ Viết phơng trình tiếp tuyến của
đồ thị, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng x- 3y+ =3 0
37 (ĐH AN-A99) Cho hàm số
29 (C)1
x x y
x
Viết phơng
trình parabol đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (C) và
tiếp xúc với đờng thẳng 2x – y – 10 = 0
38 (ĐH AN-DG99) Cho hàm số 3 2
yx x Viết phơng trình parabol đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số và tiếp
xúc với đờng thẳng y = - 2x + 2
39 (ĐH Tây Nguyên-D2000) Cho hàm số 3 2
yx x Đờng thẳng (d) có phơng trình y=5 tiếp xúc với đồ thị tại điểm A và cắt tại
điểm B Tính tọa độ điểm B
40 Cho hàm số
2 (C)1
x y x
=
- Tìm điểm M thuộc nhánh phải
của đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại M vuông góc với đờng thẳng đi qua
điểm I và M (I là giao 2 tiệm cận)
41 Cho hàm số y=- x3+9 (C)x Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(3;0) và có hệ số góc k với k=? để đờng thẳng (d)
là tiếp tuyến của (C)
42 Cho hai parabol: y=x2- 5x+6và y=- x2+5x- 11 Viết phơng trình tiếp tuyến chung của 2 parabol trên
43 Cho hàm số y= -(x 1)(x2+mx+m) Tìm các giá trị của m
để đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox Xác định toạ độ của tiếp điểm trong mỗi trờng hợp của m
44 Cho hàm số y= -x3 3x2+ -m 1 (C )m Tìm k để đờng thẳng (d): y=k(x-2)+m-5 là TT của đồ thị (Cm)
45 (ĐH CĐ-D2002) Cho hàm số
2
(C)1
m x m y
Vaỏn ủeà 2 : TÍNH ẹễN ẹIEÄU CUÛA HAỉM SOÁ
Trang 81) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x33x2+1 b) y = f(x) = 2x2x4
c) y = f(x) =
2x
3x
d) y = f(x) =
x1
4x
g) y = f(x) = 3 x2(x 5)
h) y= f(x) = x33x2.i)
1x
3xx
k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2]
2) Cho hàm số y = f(x) = x33(m+1)x2+3(m+1)x+1 Định m để
hàm số :
a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.Kq:1 m 0
b) Nghịch biến trên khoảng (1;0) Kq: m
3) Định mZ để hàm số y = f(x) =
mx
1mx
đồng biến trên các
khoảng xác định của nó Kq: m = 0
4) Định m để hàm số y = f(x) =
2x
2x
1xx
1xy
2mmx2x
1 m x ) m 1 ( x 2
biến trên khoảng (1;+) Kq: m 3 2 2
10) Tìm m để hàm số y = x2.(mx)m đồng biến trên khoảng
Trang 9VẤN ĐỀ 3 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
3) Xác định tham số m để hàm số y=x33mx2+(m21)x+2 đạt cực
đại tại x=2 Kết quả : m=11
4) Định m để hàm số y = f(x) = x33x2+3mx+3m+4
a.Không có cực trị Kết quả : m 1
b.Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m <1
c Có đồ thị (Cm) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trị (đạt cực trị 4
a (
f''(a) 0f
0 )
a ( ' f
Kết quả :
m=0d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực
tiểu đi qua O Kq : d:y = 2(m1)x+4m+4 và m= 1
5) Định m để hàm số y = f(x) =
x1
mx
x2
a Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m>3
b.Đạt cực trị tại x = 2 Kết quả : m = 4
c.Đạt cực tiểu khi x = 1 Kết quả : m = 7
6) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =
m
x
1 m x ) 1
Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ Không
8) Cho hàm số y = f(x) =
3
1
x3mx2+(m+2)x1 Xác định m để hàm số:
a) Có cực trị Kết quả: m <1 V m > 2
b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+) Kết quả: m > 2
c) Có cực trị trong khoảng (0;+) Kết quả: m <2 V m > 2
9) Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) =
mx
11) Định m để hàm số y = f(x) = x36x2+3(m+2)xm6 có 2 cực
trị và hai giá trị cực trị cùng dấu.Kết quả :
4
17
< m < 212) Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x)
=2x33(2m+1)x2+6m(m+1)x+1 luôn đạt cực trị tại hai điểm x1 và
x2 với x2x1 là một hằng số
13) Tìm cực trị của các hàm số : a)
x
1x
2mmxx
m m
Trang 10Vậy giá trị cần tìm là: 3 m 1 và m 2.
Vậy giá trị cần tìm là: 1 m 1
19 Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị
Trang 11 đổi dấu khi x đi qua x 0 0
Hàm số có cực trị m 3 không thỏa
Xét m 3 :
Hàm số không có cực trị y ' không đổi dấu
phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
m m
y g x mx2 2 m x2 0 (1) x m
Hàm số không có cực trị y ' không đổi dấu
phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
Xét m 0:' 0,
y x m m 0 thỏa
Xét m 0:Yêu cầu bài toán ' m4 0: vô nghiệm m 0
Vậy giá trị cần tìm là: m 0
20 Cho hàm số
21
2 '
Vậy y ' 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt m
Hàm số luôn luôn có cực trịTọa độ các điểm cực trị A 0; m B , 2; 4 m
Khoảng cách giữa hai điểm A, B là:
Định m để hàm số đạt cực đại tại x 2.( HSTG)
22 Cho hàm số
Điều kiện cần
Hàm số đạt cực trị tại x 0 và x 4
Trang 12a b
4 2
x
y
x x
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 4
Vậy giá trị cần tìm là: a 2, b 4
23 Cho hàm số
y x m x m m x Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung
Vậy giá trị cần tìm là: 1 m 2
24 Cho hàm số y 2 x3 ax2 12 x 13 (a là tham số) Với những giá trị nào của a thì đồ thị của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm này cách đều trục tung
Vậy giá trị cần tìm là: a 0
25 Cho hàm số 1 3 1 2
y x x mx Định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ x m
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 1996)
Giải
Tập xác định: D
Đạo hàm: y ' x2 x m
Yêu cầu bài toán y ' 0 hay g x x2 x m 0 có
hai nghiệm phân biệt x x1, 2thoả m x 1 x2
1 2
m
Vậy giá trị cần tìm là: m 2
26 Cho hàm số y x3 3 m 1 x2 3 m2 7 m 1 x m 2 1 Định m để hàm số đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1
Giải
Tập xác định: D
Đạo hàm: y ' 3 x2 6 m 1 x 3 m2 7 m 1
Trang 13Yêu cầu bài toán y ' 0 hay
1 3
3
m
(b)Kết hợp (a) và (b) ta có giá trị cần tìm là: m 1
26 Cho hàm số y x 3 3 x2 2 C Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài): x2 y2 2 ax 4 ay 5 a2 1 0
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học An Ninh, 2000)
Trang 14m m
28 Cho hàm số y x 3 3 m 1 x2 2 m2 7 m 2 x 2 m m 2
Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đó
(Trích ĐTTS vào Học viện Kĩ thuật Mật mã, năm 1999)
Gọi A x y 1; 1 , B x y 2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị
hàm số thì x x1, 2 là nghiệm của (1)
Trang 15Gọi A x y 1; 1 , B x y 2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị
hàm số thì x x1, 2 là nghiệm của (1)
Theo định lí Vi-ét, ta có:
m m
30 Cho hàm số y x 3 3 x2 m x m2
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5
Gọi A x y 1; 1 , B x y 2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị
hàm số và I là trung điểm của đoạn AB
Do x x1, 2 là nghiệm của (1) nên theo định lí Vi-ét, ta có:
1 2 2
x x ,
2
1. 23
Đồ thị hàm số có hai cực trị là A 0;0 , B 2; 4
Trung điểm của AB là: I 1; 2
T a có: I
Vậy: m 0 thoả yêu cầu bài toán
Trang 1631 Cho hàm số y x 4 2 mx2 2 m m 4 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.
(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997)
Hàm số có cực đại và cực tiểu y ' 0 có ba nghiệm
phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
Vậy giá trị cần tìm là: m 33
32 Cho hàm số y kx 4 k 1 x2 1 2 k Xác định các giá trị của tham số k để đồ thị của hàm số chỉ có một điểm cực trị
Hàm số chỉ có một cực trị y ' 0 có một nghiệm duy
nhất và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó
Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm x 0
0 0
k k
Vậy giá trị cần tìm là: k 0 k 1
33 Cho hàm số 1 4 2 3
Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x 0
0
m
Vậy giá trị cần tìm là: m 0
34 Cho hàm số
Trang 17m m
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
35 Cho hàm số 2 1 2 4 2
Trang 1836 Cho hàm số 2 1 3 2
hoành tại hai điểm phân biệt y 0 hay
Trang 19Hàm số có cực đại và cực tiểu y ' 0 có hai nghiệm
phân biệt khác 4
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta thấy:
38 Cho hàm số
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực tiểu tại x 0; 2 m y ' 0 hay
3 1
2 1 3
3 2
m m
Trang 20-39 1) Cho hàm số
u x y
m
(*)Gọi A x y 1; 1 , B x y 2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
thì x x1, 2 là nghiệm của (1)
Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 x2 2, x x1. 2 2 m
1) Tìm để hàm số có cực đại và cực tiểu
2) Giả sử y có giá trị cực đại, cực tiểu là yCĐ, yCT Chứng minh: 2 1
2
CT
yCĐ2 y
Giải
Trang 21hàm số thì x x1, 2 là nghiệm của (1).
Theo định lí Vi-ét, ta có
Giả sử A x y 1; 1 , B x y 2; 2 x1 x2 là các điểm cực trị
của đồ thị hàm số thì x x1, 2 là nghiệm của (*)
Yêu cầu bài toán A
Trang 22m m
Vậy đồ thịhàm số luôn có cực đại và cực tiểu
Toạ độ các điểm cực trị là:
m 1; m2 m 2 , m 1; m2 m 2
2) Đặt A x y 0; 0
Giả sử ứng với giá trị m m 1 thì A là điểm cực đại và ứng
với giá trị m m 2 thì A là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
m m
x y
Trang 23m m
Gọi A x y 1; 1 , B x y 2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị
hàm số thì x x1, 2 là nghiệm của (1)
Khi đó:
2 1
2 2
Tương tự ta cũng có: y2 2 x2 m
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là:
Trang 24BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 Trang
Bảng biến thiên
Bài 2 1) Tìm m để hàm số y x 3 m 3 x2 mx m 5
đạt cực tiểu tại x 2 Đáp số: m 0
2) Cho hàm số y m2 5 m x 3 6 mx2 6 x 6 Với giá
trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x 1
Bài 3 1) Cho hàm số y x 3 ax2 bx c Xác định a, b, c
để hàm số có giá trị bằng 1 khi x 0 và đạt cực trị tại x 2 và
giá trị cực trị là – 3 Đáp số: a 3, b 0, c 1
2) Cho hàm số
22
y x
Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn luôn có cực đại, cực
tiểu thuộc hai đường thẳng cố định Đáp số: y 2
3) Cho hàm số y 2 x3 3 2 a 1 x2 6 a a 1 x 1 Chứng minh rằng với mọi a, hàm số luôn luôn đạt cực trị tại hai điểm x x1, 2 với x2 x1 không phụ thuộc vào tham số a Định a để yCĐ 1 Đáp số: 2 1 3
Giáo viên : Nguyễn Hoài Thu Trường THPT Trần văn
Ơn
Trang 25BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 Trang
3) Cho hàm số y x 3 6 x2 3 mx 2 m Xác định m để đồ
thị hàm số có điểm cực đại M x y1 1; 1 và điểm cực tiểu
Bài 6 1) Cho hàm số y 2 x3 3 m 1 x2 6 m 2 x 1
a) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu tại x x1, 2 và:
Đáp số: m 1.b) Tìm m để đường thẳng nối hai điểm cực trị vuông góc với
đường thẳng y x Đáp số: m 2 m 4
2) Cho hàm số
nằm về hai phía đối với trục Ox Đáp số: 0 m 4
3) Cho hàm số x2 m 1 x m 1
1) Cho hàm số y x 3 3 x2 3 mx 1 m Định m để hàm số
có cực trị với hoành độ các điểm cực trị đều nhỏ hơn 2
2) Cho hàm số
3) Cho hàm số y 2 x3 3 m 1 x2 6 m 2 x 1 Định
m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ trong khoảng
Tìm các giá trị của tham số
m để hàm số chỉ có một cực trị thuộc đoạn 1;1
Đáp số: 2
2
3 m .3) Cho hàm số m 1 x2 2 mx m3 m2 2
Bài 10 1) Cho hàm số
1 1 2 2 1 2
x y x y x x , với y1 y x 1 và y2 y x 2
Đáp số: m 5.2) Cho hàm số 2 2
Định m để đồ thị hàm số
đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1 Đáp số:
1 m 1
3) Tìm a và b để các cực trị của hàm số
tiểu ở về hai phía của trục tung Đáp số: 3 m 1
Giáo viên : Nguyễn Hoài Thu Trường THPT Trần văn
Ơn
Trang 26BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 Trang
2) Cho hàm số 2 2 2 2
a) Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu với
mọi m, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía
đối với trục hoành Đáp số: 2
1. 2 4 1 0,
b) Tìm m để điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số cách đều
trục Ox Đáp số: m
Bài 12 1) Cho hàm số x2 m 1 x 2 m 1
của mặt phẳng toạ độ
Đáp số: m 5.2) Cho hàm số
một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (III) của mặt phẳng toạ
độ Đáp số: m 0
Bài 13 1) Xác định m để hàm số 4 2
2
y x mx có ba cực
trị Đáp số: m 0
2) Cho hàm số y 1 m x 4 mx2 2 m 1 Định m để hàm
số có đúng một cực trị Đáp số: m 0 m 1
3) Cho hàm số y x 4 2 m x2 2 1 Định m để đồ thị hàm số có
các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều
Đáp số: m 63
4) Cho hàm số y x4 2 m 2 x2 2 m 3 Tìm m để
hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu Đáp số:
Đáp số: 2
2
2) Cho hàm số y 2 x3 3 2 m 1 x2 6 m m 1 x 1 Tìm
m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y x 2 Đáp số: 1 17
1 0
Bài 15 1) Cho hàm số y 2 x3 3 m 3 x2 11 3 m Tìm
m để hàm số có hai cực trị Gọi M M1, 2 là các điểm cực trị, tìm mđể M M1, 2 và B 0; 1 thẳng hàng
Đáp số: m 4.2) Cho hàm số y mx 3 3 mx2 2 m 1 x 3 m Xác định
m để hàm số có cực đại, cực tiểu Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối cực đại, cực tiểu luôn luôn đi qua một điểm cố định
y x mx x m Chứng minh rằng vớimọi m hàm số đã cho luôn luôn có cực đại, cực tiểu Hãy xác định
m để khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu nhỏ nhất
Đáp số: m 0
Bài 16 Xác định tham số k để hàm số sau có cực tiểu:
y 2 x k x 2 1
Đáp số: k 2
Câu 17 Cho hàm số y x 3 3 x2 5 Khẳng định nào đúng?
A y đạt cực đại tại x 0, cực tiểu tại x 2;
B y chỉ có một cực đại tại x 0;
C y đạt cực tiểu tại x 0, cực đại tại x 2;
D y không có cực trị
VẤN ĐỀ 4 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Giáo viên : Nguyễn Hoài Thu Trường THPT Trần văn
Ơn
