SKKN dung ham so de xac dinh trang thai can bang

Cân bằng có nhiều loại cân bằng, cân bằng mà khi vật lệch ra khỏi vị trí đó thì hợp lực tất cả các lực tác dụng lên vật làm cho nó trở về vị trí cân bằng ban đầu là cân bằng bền.. Cân bằ

Tĩnh học là một phần của bộ môn Vật lý học, nghiên cứu sự cân bằng của chất điểm, tức là vật ở trạng thái có gia tốc bằng không Cân bằng có nhiều loại cân bằng, cân bằng mà khi vật lệch ra khỏi vị trí đó thì hợp lực tất cả các lực tác dụng lên vật làm cho nó trở về vị trí cân bằng ban đầu là cân bằng bền Cân bằng mà vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng thì hợp lực tất cả các lực tác dụng lên vật khônglàm cho nó trở về vị trí cân bằng ban đầu là cân bằng không bền Cân bằng mà vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng mà vật tìm đợc vị trí cân bằng mới là cân bằng phiếm định

Những bài tập xác định vị trí cân bằng và trạng thái cân bằng thì rất khó và trừu tợng, học sinh thờng mắc ở các loại bài tập này, để giải quyết đợc một phần

khó khăn đó, tôi đa ra một ý tởng sau: Dùng hàm số để xác định cân bằng và“

trạng thái cân bằng ”

Khi nghiên cứu sự cân bằng các chất điểm, thì ta phải chọn một hệ quy chiếu nào đó, mà vật đứng yên hay chuyển động thẳng đều thì vật ở trạng thái cân bằng Một chất điểm cân bằng theo phơng Ox thì hợp lực tác dụng lên nó theo phơng đó phải bằng không

f2(x) O f1(x)

Đặt f1(x) là hợp lực kéo vật theo hớng Ox, còn f2(x) là hợp lực kéo vật theo chiều Ox’ Khi f1(x)=f2(x) thì vật ở trạng thái cân bằng

f1(x) và f2(x) là hai hàm bậc nhất của x, lúc đó xảy ra các trờng hợp sau: Nếu vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng theo chiều x, nghĩa là x tăng, nếu f1(x)

và f2(x) là hai hàm đồng biến cả, thì ta phải xét đến hệ số góc k1 và k2, nếu k1>k2

nghĩa là f1(x) tăng nhanh hơn f2(x), thì f1(x)>f2(x), hợp lực tác dụng lên vật kéo vật lệch về phía x, cân bằng đó là cân bằng không bền Còn nếu k1<k2 nghĩa là

f1(x) tăng chậm hơn f2(x), tức là f1(x)<f2(x), hợp lực tác dụng lên vật kéo vật trở lại vị trí cân bằng ban đầu, cân bằng đó là cân bằng bền Nếu f1(x) là hàm đồng biến, f2(x) là hàm nghịch biến thì khi vật lệch về phía x, nghĩa là x tăng, f1(x) tăng, f2(x) giảm, lúc đó f1(x)>f2(x), hợp lực tác dụng lên vật kéo vật lệch tiếp khỏi vị trí cân bằng, đó là cân bằng không bền Nếu f1(x) là hàm nghịch biến,

f2(x) đồng biến, khi x tăng nghĩa là vật lệch về phía x, f1(x) tăng, f2(x) giảm, lúc

đó hợp lực tác dụng lên vật kéo vật trở lại vị trí cân bằng ban đầu, cân bằng đó

là cân bằng bền Trờng hợp f1(x), f2(x) là hai hàm nghịch biến cả thì ta lại phải xét hệ số góc k Nếu k1<k2 khi vật lệch về phía x, tức là x tăng thì f2(x) giảm nhanh hơn f1(x), lúc đó f1(x)>f2(x), hợp lực kéo vật về phía x, cân bằng đó là cân bằng không bền Nếu k1>k2 , nghĩa là f1(x) giảm nhanh hơn f2(x), khi vật lệch khỏi vị trí cân bằng theo chiều x thì hợp lực kéo vật về vị trí cân bằng ban

đầu, đây là cân bằng bền Còn nếu vật lệch khỏi vị trí cân bằng về một phía nào

đó mà f1(x)=f2(x), nghĩa là cân bằng ở mọi vị trí thì đó là cân bằng phiếm định

Ví dụ 1:

Thanh OA quay quanh trục thẳng đứng Oz với vận tốc góc ω góc ZOA= α

không đổi Một hòn bi nhỏ có khối lợng m có thể trợt không ma sát trên OA và

đợc nối với điểm O bằng một lò xo có độ cứng k và có chiều dài tự nhiên l0 a-Tìm vị trí cân bằng của bi và điều kiện để có cân bằng

b-Cân bằng là bền hay không bền?

Bài toán trên là loại bài toán xác định vị trí cân bằng và trạng thái cân bằng,

để giải quyết vấn đề đó thì ta phải áp dụng phơng pháp trên nh sau:

Gọi f1(l) là hợp lực kéo vật theo

chiều x, còn f2(l) là hợp lực kéo vật

theo chiều ngợc lại

Lúc đó ta có f1(l)=mω2l.sin2α

Để vật ở trạng thái cân bằng thì

f1(l)=f2(l)

⇔ mω2 l.sin 2α = kl+mgcosα

-kl0

α ω

α

2 2

0

sin

cos

m

k

mg kl

l

−

−

=

⇒

Vì bi nhỏ nên mgcosα < kl0 ⇒

kl0 - mgcosα > 0

để có cân bằng tức là vật ở trạng

thái a=0 và vị trí của vật khác gốc

tọa

độ, lúc đó l>0 ⇒ kl0 - mgcosα > 0 (1)

⇒ ω<sin1α m k

Bây giờ ta xét trạng thái cân bằng của vật, từ (1) ⇒ tgα 1>tgα 2

Khi vật lệch về phía x, lúc đó l tăng dần đều, f1(l) tăng nhanh hơn f2(l), nghĩa

là f1(l)>f2(l), hợp lực tác dụng lên vật kéo vật trở lại vị trí cân bằng ban dầu thì

cân bằng của vật là cân bằng bền Ngợc lại nếu lò xo nén, l giảm thì f1(l) giảm nhanh hơn f2(l), hợp lực f1(l)<f2(l) kéo vật trở lại vị trí ban đầu nên cân bằng này

là cân bằng bền

Ví dụ 2:

Một ống x’x đờng kính nhỏ đợc gắn ở điểm O tạo với đờng thẳng Oz góc xOz=α và quay quanh Oz với vận tốc góc ω, trong ống có hai hòn bi A có khối lợng m1, B có khối lợng m2 nối với nhau bằng thanh CD chiều dài l, khối l-ợng không đáng kể Hai hòn bi có thể trợt không ma sát trong ống Xét tất cả

các trờng hợp có thể xảy ra về vị trí của A và B so với O, trong mỗi trờng hợp tìm vị trí cân bằng đối với ống của hệ hai bi Xác định vị trí cân bằng

Bài toán này là bài toán hay và khó, để xét và vét hết các trờng hợp có thể xảy ra, để xác định vị trí cân bằng và các trạng thái cân bằng ta phải sử dụng phơng pháp trên

+ Trờng cả A và B đều nằm trên O

Lúc đó f 1(l)= Q 1x + Q 2x

f 2(l)= P1x + P2x

Chiếu cả hai hàm số trên lên phơng x’x ta đợc

f1(l)=ωm1(x-l)sin 2α + m2ω2 xsin 2α

f2(l)=(m1+m2)cosα

để hai viên bi ở trạng thái cân

bằng thì: f1(l)= f2(l)

hay

ωm1(x-l)sin2α +m2ω2xsin2α =

=(m1+m2)cosα

2 1

1

sin

cos

g m m

l m

+

Điều kiện để có cân bằng là x > l

Từ (2) ⇒ ω<

ml

g m

α

cos ) (

sin

Bây giờ ta xét loại cân bằng:

Khi ω> ω 0 thì f1 tăng lên còn f2 không đổi, hợp lực tác dụng lên vật kéo vật

về phía x, lúc đó A, B là cân bằng không bền

+ Trờng hợp A trùng O, B ở trên O

để có cân bằng x=l ⇒ ω = ω 0 ω ω 2 2 α

1

2

1 ( ) m l sin

f = −

⇒ và f2 = (m1+m2)gcos α

Khi ωtăng  f((ω 2) tăng, f2 không đổi, hợp lực tác dụng lên vật kéo A, B

về phía x’, lúc đó cân bằng là cân bằng bền

+ Trờng hợp A nằm dới O, B nằm trên O, để AB cân bằng:

(m1+m2)gcosα + m1(l-x)sin2α – m2 ω2xsinα = 0 (3)

α ω

α

2 2 2 1

1

sin

cos

g m m

l m

x +

+

=

⇒

Từ (3)  f1(x)=m2 ω2xsin2α

f2(x)=(m1+m2)gcosα

Khi x tăng, f1(x) tăng, f2(x) không đổi, hợp lực tác dụng lên AB kéo vật về phía x, lúc đó AB ở trạng thái cân bằng bền

+ Trờng hợp cả hai nằm dới O

f1(x) và f2(x) đều kéo vật AB về phía x’, lúc đó AB không có cân bằng.

Ví dụ 3:

Một hình cầu bán kính R chứa một hòn bi ở đáy, khi hình cầu quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ω đủ lớn thì bi cùng quay với hình cầu ở vị trí xác định bởi góc α Tìm các vị trí cân bằng tơng đối của bi và nghiên cứu sự bền vững của chúng

Để giải bài toán này ta lại phải dùng hàm số nhng ở đây một hàm thay đổi

và một hàm bằng không

Đặt R=P+Q+F qt (4) và f=0

Chiếu (4) lên phơng tiếp tuyến có

Rt=mgcosα –mω 2rsinα cosα =sinα (g-ω 2rcosα )

để có cân bằng R=f

 sinα (g-ω 2rcosα )=0

Hoặc sinα =0  α =0 (5) hoặc

cosα = ωg2r (6)

Từ (5)  ∀ ω đều có Rt=0 Tại

A ta có cân bằng

Nếu cosα = ωg2r <1  ω 2 >g r ta

có vị trí cân bằng thứ hai ứng với α

đợc xác định bởi (6)

+ Tại A: - Nếu bị lệch khỏi A một góc nhỏ

) (

1 cos sin α ≈ α + α ≈ ⇒R t = α = g− ω 2r

⇒

Nếu ω 2 < g r Rt>0 bi trở lại vị trí A, tại A ta có cân bằng bền

Nếu ω 2 >g r Rt<0, hợp lực kéo bi lệch ra khỏi vị trí cân bằng nên đây là cân bằng không bền

+ Tại vị trí α 1

Khi bi bị đẩy lên cao một chút α > α 1

 Rt>0 vì g-ω 2rcosα >o , hợp lực tác dụng lên bi kéo bi tụt xuống Tơng

tự khi bi tụt xuống thấp một chút α < α 1

 Rt<0 vì g-ω 2rcosα <o , hợp lực kéo bi lên một chút

Nh vậy bi tại vị trí α 1 thỏa mãn cosα = ωg2r <1 là cân bằng bền

Ví dụ 4:

Một viên bi thép đến va chạm vào một viên bi ve trên một mặt phẳng nhẵn, sau va chạm hai bi chuyển động thẳng đều Trong quá trình chuyển động của

hai viên bi trên mặt phẳng nhẵn thì chúng luôn chịu tác dụng của hai lực, đó là lực hút của trái đất và phản lực của bàn, hai lực đó ta coi là hai hàm số không

đổi N=P ở mọi vị trí của bi nên bi cân bằng, và gọi đó là cân bằng phiếm định

Trên đây tôi đã đa ra và giới thiệu với các em học sinh phơng pháp Dùng“

hàm số để xác định cân bằng và trạng thái cân bằng ” Mong rằng nó giúp các

em đợc một phần nào khó khăn trong việc xác định cân bằng và trạng thái cân bằng của chất điểm Tôi mong rằng các em vận dụng nó và có ý kiến trao đổi để phơng pháp này để phơng pháp đợc hoàn thiện và nhân rộng