TL 12 & OTDH Phần 2

Ôn thi đại học cấp tốc Phương trình và hệ phương trình mũ - lôgarit A.. • Lôgarit hoá hoặc mũ hoá • Đặt ẩn phụ chú ý điều kiện của ẩn phụ • Đưa về dạng tích... Bài 4: Giải các phương tr

Ôn thi đại học cấp tốc

Phương trình và hệ phương trình mũ - lôgarit

A Một số kiến thức cần nhớ

I/ Một số công thức biến đổi về lôgarit

a

a = ⇔ =b x b (0< ≠a 1,b> 0)

• log ( ) loga x x1 2 = a x1+loga x2 (0< ≠a 1, ,x x1 2>0)

2

loga x loga x loga x

x = − (0< ≠a 1, ,x x1 2> 0)

• log log ; log 1log

a xα α a x aα x a x

α

= = (0< ≠a 1,x> 0,α ≠0)

• log log ln lg

b a

b

x

= = = (0<a b, ≠1,x >0)

• log 1

log

a

b

b

a

= (0<a b, ≠1) • alogb c =clogb a (0<a b c, , ≠1)

• log log loga b b c c x=loga x (0<a b c, , ≠1,x>0)

II/ Dạng cơ bản của phương trình mũ, phương trình lôgarit

>Dạng cơ của phương trình mũ

( ) log

f x

a

b

>



= ⇔  =

 •

f x g x

a =a ⇔ f x =g x

>Dạng cơ bản của phương trình lôgarit

( )

a

f x b

f x a

< ≠



= ⇔  =

 •

( ) 0(hoÆc ( ) 0) log ( ) log ( )

( ) ( )

f x g x

> >





III/ Một số phương pháp thường dùng khi giải phương trình mũ, phương trình lôgarit

• Đưa về cùng cơ số

• Lôgarit hoá( hoặc mũ hoá)

• Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện của ẩn phụ )

• Đưa về dạng tích

• Đánh giá: Dùng BĐT, hàm số, đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất

B/ Một số bài tập áp dụng

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a.34 8x+ −4.32 5x+ +27 0= b.22 6x+ +2x+7−17 0=

c.(2+ 3) (x + 2− 3)x − =4 0 d.(3+ 5)x +16 3( − 5)x =2x+3

e.(7 4 3+ ) (x −3 2− 3)x + =2 0 f ( 2− 3) (x + 2+ 3)x =4

g 3.16x +2.8x =5.36x h.2.41x +6x1 = 91x

e.9x +2(x−2)3x +2x− =5 0

1,

2

x= − x= − , b.x= −3, c.x= ±1, d 3 5

2

e x=0, f x= ±2, g x= 0, h 3

2

log 2

x= − , e x=1)

Bài 1 Giải các phương trình sau:

1./ 2 5x+1 x =2.102 5x+ ĐS x= −5

Ôn thi đại học cấp tốc

2./ 4.9 1 3.22 12

x

HD: (1)

2 3

1

2 2

x

x

−

 

3./ 7.3x+1−5x+2= 3x+4−5x+3 (1)

HD: (1)

1

5

x

+

 

4./ 5 8 1 500

x

x x−

= (1)

HD:

(1)

3

x

−

 ÷

 ÷

 

1

1

5

1

log 2 5.2 1

2

x x

x

=





 

5./ 5x2 −3x2+1= 2 5 x2−1−3x2−2÷

Bài 2 Giải các phương trình

1./ 2x x2− −22+ −x x2 = 3

HD: Đặt 2x x2− =t t( >0) Phương trình trở thành:

4

3

t

t

2./ 32 5x+ −36.3x+1+ =9 0 ĐS: x= −1;x= −2.

3./ 32x2+ +2 1x −28.3x2+x + =9 0 ĐS: x= −2;x=1.

4./ 9x +6x =2.4x

HD: Chia cả 2 vế cho 4x ta được phương trình

2

  +  − =

 ÷  ÷

    ĐS: x= 0

5./ 4x− x2−5 −12.2x− −1 x2−5+ =8 0.(1)

HD: Đặt 2

2 5

2

3

4

t t







6./ ( 2− 3) (x + 2+ 3)x = 4

HD: Đặt t =( 2− 3)x ⇒ >t 0 PT (1) trở thành : 1 2 3 2

4

2

t

x

 = −  = + = ⇔  = + ⇒  = −

7./ (7 5 2+ )x +( 2 5) 3 2 2− ( + )x +3(1+ 2)x + −1 2 0= (1)

HD: Đặt t =(1+ 2)x ⇒ >t 0

Ôn thi đại học cấp tốc

⇒ = = − = + từ đó ⇒ =x 0,x= −2,x=1

8./ 32 1x+ =3x+2+ 1 6.3− x +32(x+1) ĐS: 3 11

log 2

3

=  + ÷÷

9./ 6.9x −13.6x +6.4x =0; ĐS: x= ±1

10./ (5+ 24)x +(5− 24)x =10 ĐS: x= ±1

11./ (5− 21) (x +7 5+ 21)x =2x+3

12./ 3.16x−2+(3x−10)4x−2+ −3 x (1)

HD:

Đặt 4x−2= ⇒ >t t 0

PT (1) trở thành :

2

4 2

2

1

3

2

x x

x t

x

−

−









= −

13./ 2x x2− −22+ −x x2 = 3

HD:

>Đặt: t =2x x2− ⇒ >t 0

>Khi đó phương trình trở thành: t 4 3( )

t

− = ∗

>Giải phương trình ( )∗ được t =4( nhận)

>t =4 ta có: 2

2x x− = 4, nghiệm : x= −1,x=2

14./ 125x +50x =23 1x+

Giải :

x + x = x+ ⇔   +  =

  +  − =

   

2

x

t =  ⇒ >t

 ÷

  ta có phương trình :

t +t − = ( )∗

Giải phương trình ( )∗ ta được t =1, tứ đó có được x =0

ĐS: x=0

Bài 3 Giải các phương trình

1./ 5 x x+18x =100 (1)

HD: ĐK: x∈¥∗

PT(1)⇔5x x( +1) 3.2x =52(x+1) 2(.2 x+1) ⇔ 5x x2− −2=22−x⇔ log 5.(2 x2− −x 2) 2= −x

5

2

2

1 log 2

x

x x

=



⇔  = − − ⇒ = ( Vì x∈¥ )∗

2./ 2x+3−3x2+ −2 6x = 3x2+ −2 5x −2x (1)

HD: PT(1)⇔ 2x−2 =2(x−2)(x+4) ⇔ − =x 2 (x−2)(x+4)log 32

3

2 log 2 4

x x

=



⇔  = −

Bài 4 Giải các phương trình

1./ 3x +4x =5x (1)

HD:

Ôn thi đại học cấp tốc

   

⇔ ÷ + ÷ =

   

•Ta thấy x=2 là nghiệm của PT (1)

• Nếu x> 2 : VT 1<

• Nếu x<2 : VT 1>

2./ ( 3− 2) (x + 3+ 2) ( )x = 5 x (1)

HD:

⇔ ÷÷ + ÷÷ =

5

u= − ⇒ < <u

5

v= + = ⇒ >v v

• Nếu x≥0:u x >0,v x ≥ ⇒1 VT 1>

• Nếu x<0:u x ≥1,v x > ⇒0 VT 1<

• Vậy PT (1) vô nghiệm.

3./ 2x+1−4x = −x 1

HD:

PT ⇔2 (2 2 )x − x = −x 1

• x=1 là nghiệm • x>1 : VT < 0 và VP > 0 • x<1 : VT > 0 và VP < 0

4./ 2 32 1

x

x = + (1)

HD:

   

⇔ ÷÷ + ÷ =

 

  ĐS : x=2.

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a 43 2 3128

x y

x y

+

− −





=

x y

x y

+

− −







c

2





− =

 d.

5

x y

 + =



 + =



Bài 16: Giải các phương trình sau:

29





+ =

5

x y



 + =











− + =

x y

y x

+







f.

2 2log

y

x







Bài 5: Giải các hệ phương trình:

Ôn thi đại học cấp tốc

1./

1

x

x

y

+



 +

=



+



Giải :

>Hệ phương trình

2

x x

y



⇔ 

=

x y

 = >



⇔ 



> Giải phương trình ( )∗ được: y=0,y=1,y= 4, chọn :y=1,y= 4

> ĐS: ( ; )x y ={(0;1);(2;4)}

2./

3

2







Giải:

• Từ (1) ta có : 2 5

3

3x − −x 3− =5− −y ⇔ 3x2− −2 3x 5−1=5− −y 4 ⇔ 3x2− −2 3x =5− −y 3 ( )∗

• Nhưng vì 3x2− −2 3x ≥ 30=1 do đó: 5− −y 3 ≥ =1 50⇒ − − ≥ ⇔ ≤ −y 3 0 y 3 (3)

• Vì y≤ −3, nên từ (2) ta có : − +4y (y− +1) (y+3)2≤ 8 ⇔y2+3y≤ ⇔ − ≤ ≤0 3 y 0(4)

• Từ (3) &(4)⇒ = −y 3, thay vào ( )∗ ta có :

3

x

− = ⇔  =

• ⇒nghiệm HPT là : ( , ) ( 1; 3),(3, 3)x y = − − −

CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ.

Bài 1 : Cho phương trình : 16m x +2.81x =5.36x (1)

a./ Giải phương trình khi m= 3

b./ Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.

HD:

Đặt 9

0 4

x

t =  ⇒ >t

 ÷

  PT (1) trở thành

2

2t −5t m+ =0. (2)

a./ 0; 1

2

x= x=

b./ (2) ⇔m= −2t2+5t

PT (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi PT (2) có đúng một nghiệm dương

Lập BBT hàm số: y= −2t2+5t trên (0;+∞) ta được 25

8

Bài 2 : Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất :

( 5 1+ ) (x +a 5 1− )x =2x (1)

HD:

a

⇔ ÷÷ +  ÷÷ =

2

x

= ÷÷ ⇒ >

  phương trình (1) trở thành :

2

a

t

+ = ⇔ − + =

Ôn thi đại học cấp tốc

4

a≤ ∨ =a

Bài 3 : Biện luận theo a , số nghiệm của phương trình 7 3 5 7 3 5 8

a

HD:

2

x

= ÷÷ ⇒ >

  , phương trình trở thành

a

t

+ = ⇔ − + = ⇔ = − +

Khảo sát hs và lập bảng biến thiên

+a>16 : PT vô nghiệm

+a=16 hoặc a≤ 0 : pt có nghiệm duy nhất

+0< <a 16 : pt có 2 nghiệm phân biệt

Bài 4 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm 81sin2x +81cos2x =m

HD:

Đặt t =81sin2x ⇒ ∈ t 1;81 Phương trình trở thành: 81

t

+ =

Khảo sát hàm số ta được kết quả 18≤m≤82

Bài 5 : Cho phương trình 34 2− x2 −2.32−x2+2m− =3 0

a./ Giải phương trình khi m=0

b./ Xác định m để phương trình có nghiệm.

HD:

Đặt 32−x2 = ⇒ ∈t t (0;9

a./ x= ±1

b./ Khảo sát hàm số ( ) 2 3; (0;9

t

f t = − + +t t∈  được 30− ≤m≤2

Bài 6 : Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 91 1+ −t2 −(a+2).31 1+ −t2 +2a+ =1 0

HD:

Đặt t = 31 1+ −t2 ⇒ ∈ t 3;9 Khảo sát HS được 64

4

7

a

≤ ≤

Bài 7 : Cho phương trình ( ) (2 ) 2 1

2 1+ x + 2 1− x − +m= 0 Tìm m để phương trình có nghiệm

HD:

Đặt( 2 1+ )x2 = ⇒ ∈t t 1;+∞) Phương trình trở thành: 2 1

m t

t

+

− = +

Khảo sát hàm số f t( ) t 2 1;t 1; )

t

+

= + ∈ +∞ được − ≥m 2 2 1+ ⇒m≤ −2 2 1+

Bài 8: Cho phương trình 5x2+2mx+2−52x2+4mx+ +2 m =x2+2mx m+ .(1) Tìm m để phương trình có

đúng 2 nghiệm thuộc (0;2)

HD:

Đặt

2

2 2

2





Phương trình trở thành 5u −5v = − ⇔v u 5u+ =u 5v + ⇔v f u( )= f v( ) với ( ) 5f t = t +t

Ta có ( )f t là HSĐB trên R nên PT (1) ⇔ =u v⇔g x( )=x2+2mx m+ =0 (2)

Ôn thi đại học cấp tốc

PT đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc (0;2) khi và chỉ khi PT (2)có đúng 2 nghiệm thuộc (0;2) Khảo sát hàm

số ta được kết quả không tồn tại m thoả mãn YCBT.

Bài 9: Tìm m để phương trình 4x+1+41−x =(m+1)(2x+2−22−x) 2+ m có nghiệm thuộc [0;1]

HD:

Đặt t =2x −2−x, vì x∈[0;1] ⇒ 0;3

2

∈    Ta có PT: 2t2−2(m+1)t+ −4 m=0 (1)

YCBT ⇔ (1) có nghiệm 3

0;

2

∈    ⇔PT 22 2 4

t

− + = + có nghiệm

3 0;

2

∈   

( )

g t

t

− +

=

+ Lập BBT

⇒ ĐS: 2− + 11≤m≤ 4

Bài 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

9x − x −2(m−1)6x − x +(m+1)4x − x =0 (1)

HD:

Chia hai vế cho 4x2−2x và đặt

2 2

3 2

x x

t

−

 

=  ÷  Để ý x2−2x=(x−1)2− ≥ − ∀1 1, x 2

3

t

⇒ ≥

(1) có nghiệm ⇔ 2 2 1

t

+ + =

− có nghiệm Đặt

( )

g t

t

+ +

=

− , lập BBT của ( )g t ⇒m≥ 3

Bài 11: Tìm a để phương trình 91 1+ −x2 −(a+2).31 1+ −x2 +2a+ =1 0 có nghiệm (1)

HD:

Đặt t =31 1+ −x2 Do 1 1≤ + 1−x2 ≤2 với ∀ ∈ −x  1;1 ⇒ ∈t 3;9

(1) ⇔ 2 2 1

2

t

− + =

− Lập BBT của

( )

2

f t

t

− +

=

− trên 3;9  ⇒

64 4

7

a

≤ ≤

Bài 12 : Tìm m sao cho phương trình:( ) (2 ) 2 1

2 1+ x + 2 1− x − +m= 0 (1) có nghiệm

HD :

2 1x

t = + ⇒ ≥t 1 Ta được phương trình 2 1

t

+ + = − (2)

PT (1) có nghiệm ⇔ PT (2) có nghiệm t ≥1

Lập BBT của f t( ) t 2 1

t

+

= + , t ≥1 KQ: m≤ −2 2 1+

Bài 2: Cho 2.4 x−1−5.2 x−1+m=0 (1)

a Giải phương trình (1) khi m=2 b Tìm m để (1) có nghiệm

Giải :

a Giải (1) khi m=2 :

Đặt t =2 x−1 vì x− ≥ − ⇒1 1 t≥ 12

Khi đó (1) trở thành : 2t2−5t m+ = 0 ( )∗

Với m= 2 : ( )∗ trở thành: 2t2−5t + =2 0 2 1

2

⇔ = ∨ =

Vậy (1)

1 1

1 2

2

x x

−

−





1 1

x x

 − =

⇔ 

− = −

 ⇔ = ∨ =x 4 x 0

Ôn thi đại học cấp tốc

b Tìm m để (1) có nghiệm:

Ta có: ( )∗ ⇔2t2−5t = −m

Xem hàm số :y=2t2−5t trên 1

[ , )

2 +∞ : 'y = − +4t 5, 5

' 0

4

y = ⇔ =t

BBT:

Dựa vào BBT ta được: (1) có nghiệm⇔ ( )∗ có nghiệm trong 1,

2

+∞÷

  ⇔

25 8

m≤

Bài 2: Giải và biện luận phương trình :

5x + mx+ −5 x + mx m+ + =x +2mx m+ (1) , trong đó m là tham số.

Giải :

PT (1) ⇔5x2+2mx+2−52x2+4mx m+ +2 =x2+2mx m+

5x + mx+ 5x + mx+ 5x + mx m x+ 2mx m

5x + mx+ 1 5x + mx m+  x 2mx m

Nếu 2 2x + mx m+ >0thì vế trái 0< và vế phải 0>

Nếu 2 2x + mx m+ <0 thì vế trái 0> và vế phải 0<

Vậy phương trình ⇔ x2 2+ mx m+ =0 có ∆ =' m2−m

Biện luận:

y

y'

t

2

5 4

1

2

25 8

_

+ ∞

- ∞