Viết phương trình mặt p phẳng P chứa d và tạo với trục Oy góc lớn nhất.. Lời giải tham khảo.. Cách 1: Phương pháp hình học.. Qua điểm A trên d dựng đường thẳng d’ song song với Oy.. Vậy
Trang 1BÀI TOÁN 4 (CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ
ĐỘ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
=
+
−=
−
=
t2 z
t 2 y
t 1 x :) d( Viết phương trình mặt p
phẳng (P) chứa (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất
Lời giải tham khảo
Cách 1: Phương pháp hình học
Qua điểm A trên d dựng đường thẳng d’ song song với Oy Lấy điểm M trên d’ ; gọi K là hình chiếu của M trên d ta có : MAK∧ = α = ( d , Oy ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P) thì MAH∧ = β = ( d ' , P ) = ( Oy , P ) Như thế : ; sin AMMH
AM
MK sin α = β = Trong tam giác vuông MHK thì MH ≤ MK ⇒ sin β ≤ sin α ⇒ max β = α khi H ≡ K Vậy mặt phẳng (P) cần tìm vuông góc với MK tại K
Giải: A(1;-2;0) thuộc d Đường thẳng Oy có véctơ chỉ phương →j =(0;1;0)
; nên nếu d’ qua A
và song song với Oy thì d’ có phương trình là
=
+
−
=
=
0 z
t 2 y
1 x
Lấy M(1;-1;0) thuộc d’ thì hình
chiếu vuông góc của M trên d là ;62)
6
5
; 6
1 ( MK )
3
1
; 6
11
; 6
5 (
K − ⇒→= − − ) Chọn véctơ pháp tuyến
của (P) là →n =(1;5;−2)
Phưong trình mặt phẳng (P): ) 0
3
1 z ( 2 ) 6
11 y ( 5 ) 6
5 x (
Kết quả: (P): x+5y-2z+9= 0
Cách 2: Phương pháp giải tích
Lấy M(1;-2;0) ∈d ; N(0;-1;2) ∈d Đặt (P): Ax+By+Cz+D=0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0)
Do M và N thuộc (P) nên:
−
=
+
−
=
2
B A C
B 2 A D
0 A B 2 z 2
B A By Ax : ) P
Ta có VTPT của (P) là )
2
B A
; B
; A (
→
và VTCP của Oy là →j (0;1;0)
Gọi α=(P,Oy) thì 5A 25BB 2AB
2 B A B A
B j
n
j n sin
2 2 2
2
− + +
=
= α
→
→
→
→
+Nếu B=0 thì sin α= 0 ⇒α= 00
Trang 2+Nếu B ≠0 thì B)
A x ( 5 x x 2 B
A 2 5 B
A 5
2 sin
2
+
−
=
− +
= α
Xét hàm số
5 x x
4 sin
) x
+
−
= α
5
1 x 0 ) x ( ' f
; ) 5 x x (
) 2 x 10 ( 4 ) x ( '
+
−
+
−
6
5
khi
5
1
x =
Vậy α lớn nhất khi AB =15 Chọn A=1 và B=5 thì C=-2 , D= 9
Phương trình mặt phẳng (P): x+5y-2z+9=0
Vĩnh Long, ngày 10 tháng 6 năm 2009
GV Nguyễn Ngọc Ấn
**************************************************************************** Chú ý:
1/ Có thể viết
5 24 2 5
24 5
1 x 5
2 5
24 ) 25
1 x 5
2 x ( 5
2 sin
2 2
≤ +
−
= + +
−
= α
Do đó max(sin α) =
24
5 2
khi x =51 2/ Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) và đường thăng d Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất