Tìm điểm I thuộc d sao cho IM +IN nhỏ nhất.
Trang 1Một số bài toán tính giá trị lớn nhất hoặc bé nhất của biểu thức hình học
Bài toán 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
(d) :
x 1 2t
y 3 t
= −
= +
= − −
; A(1;−1;4) và B(2;0;−3)
a) Tìm N thuộc (d) sao cho NA ngắn nhất
b) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho MA2 +3MB2 nhỏ nhất c) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho 2MA2 −5MB2 lớn nhất
Giải : a) Vì N ∈ (d) suy ra N(1−2t;3+t; −2−3t)
Cách 1: ta có NA2 =(2t)2+(−4−t)2+(6+3t)2 =14t2 +44t +52 =14
2
11
t
7
+
+
122
7 ≥ 122
7
NA ngắn nhất <=> NA2 nhỏ nhất bằng, khi t=−11
7 Vậy tọa độ N(29
7 ;10
7 ;19
7 )
Cách 2: NA ngắn nhất <=> NA là đoạn vuông góc kẻ từ A đến
đường thẳng (d)
Hay N là hình chiếu của A lên đường thẳng (d)
+ véc tơ =(−2t;4+t;−6−3t) ; uuurd
=(−−2;1;−3) AN
uuur
⊥uuurd
<=> ANuuur.uuurd
=0 <=> 4t +4+t+18+9t =0 <=> t=−11
7 Suy ra N(29
7 ;10
7 ;19
7 ) và khi đó NA=
− + − − + −
122 7 b) Từ M ∈ (d) => M(1−2t;3+t; −2−3t)
MA2 =(2t)2+(−4−t)2+(6+3t)2 =14t2 +44t +52
Trang 2Biểu thức MA2 + 3MB2= 56t2 +56t +85 = 56( t+1
2)2 +71 ≥
71
Do đó MA2 + 3MB2 nhỏ nhất bằng 71 khi t=−1
2 và M(2;5
2
;− 1
2)
Bài toán 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(1;2;−1),
N(7;−2;3) và đường thẳng (d) :x 1 y 2 z 2
+ = − = −
thuộc (d) sao cho IM +IN nhỏ nhất
Giải : Viết lại đường thẳng (d) dưới dạng tham số :
y 2 2t
z 2 2t
= − +
= −
= +
Vì I ∈ (d) => I(−1+3t;2−2t; 2+2t)
Ta có IM= (3t 2)− 2+ −( 2t)2+(2t 3)+ 2 = 17t2+13=
( ) ( )2 2
17.t + 13
IN= ( 3t 8)− + 2+(2t 4)− 2+ −(1 2t)2 = 17t2+68t 81+ =
( ) ( )2 2
17.t− 17 + 13
Chuyển về bài toán trong mặt phẳng Oxy, chọn A(0; 13 ), B( 2 17 ;− 13) và K( t 17 ;0) Khi đó IM= KA, IN =KB ; A và
B nằm về hai phía của trục hoành , điểm K nằm trên trục hoành
Ta luôn có : IM+IN=KA+KB ≥ AB
Dấu “=” xảy ra khi A,N,K thẳng hàng và K nằm ở giữa A và B
=> hai véc tơ ABuuur=( 2 17 ;−2 13) và AKuuur=( t 17 ;− 13)
Trang 3Suy ra t= 1 và I(2;0;4)
Bài toán 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(3;1;1),
N(4;3;4) và đường thẳng (d) :x 7 y 3 z 9
− = − = −
− Tìm điểm I thuộc (d) sao cho IM +IN nhỏ nhất
Giải : Viết lại đường thẳng (d) dưới dạng tham số :
x 7 t
y 3 2t
z 9 t
= +
= −
= +
Vì I thuộc (d) => I(7+t;3−2t;9+t)
IM= ( t 4)− − 2+(2t 2)− 2+ − −( t 8)2 =
6.t
IN= ( t 3)− − 2+(2t)2+ − −( t 5)2 =
6.t
Chuyển về bài toán trong mặt phẳng Oxy, chọn A(−4 6
3 ; 220
3 ), B(−4 6
3 ;− 70
3 ) và K( t 6 ;0) Khi đó IM= KA, IN =KB ; A và
B nằm về hai phía của trục hoành , điểm K nằm trên trục hoành
Ta luôn có : IM+IN=KA+KB ≥ AB
Dấu “=” xảy ra khi A,N,K thẳng hàng và K nằm ở giữa A và B
=> hai véc tơ ABuuur=(0 ;− 70
3 − 220
3 ) và AKuuur=(t 6 4 6
3 + ;−
220
3 ) cùng phương
Trang 4Suy ra t= −4
3 và I(17
3 ;17
3 ;23
3 )