b Lớn nhất Bài giải đề nghị.. Vậy BK chính là khoảng cách từ B đến ∆.. * Trong tam giác vuông BKH thì BK ≥BH nên BK ngắn nhất khi K H≡.. *Trong tam giác vuông BKA thì BK ≤BA nên BK lớn
Trang 1Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com
(Cực Trị Trong Không Gian Toạ Độ) Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) và đường thẳng
=
+
−=
−
=
t2
z
t
2
y
t
1
x
:d Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d ; hãy viết phương trình đường thẳng ( ∆ )
có khoảng cách đến điểm B là : a) Nhỏ nhất b) Lớn nhất
Bài giải đề nghị
Cách 1 : Phương pháp hình học
Gọi ( ∆ )là đường thẳng qua A và cắt d; ( ∆ )và d cùng thuộc măt phẳng (P)= mp(A;d)
Gọi H là hình chiếu của B trên (P); K là hình chiếu của H trên ( ∆ )thì BK ⊥ ( ∆ ) Vậy BK chính là khoảng cách từ B đến ( ∆ )
* Trong tam giác vuông BKH thì BK ≥BH nên BK ngắn nhất khi K H≡ Khi ấy ( ∆ )đi qua hai
điểm A và H
*Trong tam giác vuông BKA thì BK ≤BA nên BK lớn nhất khi K A≡ Khi ấy ( ∆ )đi qua A nằm trong (P) và vuông góc với BA
a) Trường hợp d(B, ( ∆ )nhỏ nhất
Phương trình mp(P)= mp(A,d)
VTCP của d là a→d =(−1;1;2) Hai điểm A(1;4;2) và M(1;-2;0) thuộc d và AM →=(0;−6;−2)
Do đó VTPT của mp (P) là n→=ad→, AM→= ( 10 ; − 2 ; 6 ) Ta chọn →n =(5;−1; 3)
Ta được phương trình mp(P): 5(x-1)-1(y+2)+3(z-0) = 0 ⇔ 5x-y+3z-7 = 0
Gọi H là hình chiếu của B trên (P) Ta dễ dàng tìm được )
35
146
; 35
68
; 7
5 (
7
76
; 7
72
; 7
12 (
AH→= − − Chonï VTCP của ( ∆ )là a→= ( 15 ; 18 ; − 19 )
Ta đựoc phương trình của ( ∆ ): x15−1= y18−4 = z−−192
b) Trường hợp d(B, ( ∆ )lớn nhất
Trường hợp nầy thì ( ∆ ) nằm trong (P) , đi qua A và vuông góc với BA
Ta có AB→=(−2;−2;2); VTPT của (P) là →n =(5;−1;3) Do đó VTCP của ( ∆ )là:
= →→
→
n , AB
a =(-4;16;12) Chọn →a =(−1;4;3)
Ta được phương trình đường thẳng
3
2 z 4
4 y 1
1 x : )
−
−
∆ Cách 2: Phương pháp giải tích
Gọi M = d ∩ ( ∆ ) thì M( 1-t;-2+t;2t) và ( ∆ )có VTCP là AM →=(−t t−6;2t−2)
Ta có: AB →=(−2;−2;2)
Do đó khoảng cách từ B đến đường thẳng ( ∆ )là:
20 t 10 t 3
208 t 152 t 28 40
t 20 t 6
416 t 304 t
56 AM
AB , AM
2 2
2
+
− +
−
= +
− +
−
=
=
1
Trang 2Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com
Xét hàm số
20 t 10 t 3
208 152 t 28 d ) t
2 2
+
−
+
−
=
2
) 20 t 10 t 3 (
) 60 t 8 t 11 ( 16 ) t ( ' f
+
−
−
−
= f(t)= 0 ⇔t = -2 hoặc t= 30/11
Do
3
28 ) t ( f lim
; 15
4 ) 11
30 ( f 12 ) 2 (
=
=
−
±∞
→ nên Max f(t)= 12 khi t= - 2 và min f(t)= 4/5 khi= 30/11
Với max f(t) = max d2= 12 , ta có max d= 12 khi t=-2 cho AM →=(2;−8;−6)
Chọn VTCP của( ∆ )là →a =(1;−4;−3)
ta được phương trình ( ) :x11 y 44 z 32
−
−
=
−
−
=
−
∆ Với min f(t)= mind2=4/15 , ta có min d= 152 khi
11
30
− −
=
→
11
38
; 11
36
; 11
30 AM
Chọn VTCP của ( ∆ )là →a =(15;18;−19)
Ta được phương trình của ( ∆ )là:
19
2 z 18
4 y 15
1 x
−
−
=
−
=
− Hết
2