Viết phương trình mặt phẳng Q chứa d và tạo với mặt phẳng P góc nhỏ nhất.. Khi ấy thì d’ vuông góc với d.. Mặt phẳng Q cần tìm là mặt phẳng chứa d và d’.. Ta xét hai trường hợp của A...
Trang 1(CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ)
Bài Toán Minh Hoạ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: y 1 z 3
2
1
x+ = + = − và mặt phẳng (P):x+2y-z+5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất
Lời giải tham khảo Cách 1: Phương pháp hình học:
Gọi d’= (P)∩ (Q) và A=d ∩ (P) thì A ∈d’.Lấy K ∈d,kẻ KH ⊥(P) và HI ⊥d’thì :
KIH∧ = ( P , Q ) = α Trong tam giác vuông KIH :tan α =KHHI , do KH không đổi nên:
tan α nhỏ nhất ⇔HI lớn nhất ⇔ I A≡ (do HI ≤ HA)
Khi ấy thì d’ vuông góc với d Vậyd’đi qua A vuông góc với d và nằm trong (P)
Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa d và d’
VTCP của d là →u =(2;1;1)
; VTPT của (P) là n→P (1;2;−1)suy ra VTCP của d’ là
u ' u , nP = ( − 3 ; 3 ; 3 ) hay u ' = ( 1 ; − 1 ; − 1 )
→
Do đó VTPT của mặt phẳng (Q) là:
nQ→=u→,←u' = ( 0 ; 3 ; − 3 ) hay nQ→= ( 0 ; 1 ; − 1 )
Điểm M(-1;-1;3)∈d ⇒M ∈(Q)
Mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = 0
y-z+4 = 0 Cách 2: Phương pháp giải tích
Đặt phưong trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = 0 ( A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 )
M(-1;-1;3) ∈d ; N(1;0;4) ∈d ⇒M;N ∈(Q) Ta được:
+
=
−
−=
B 4 A 7 D
B A 2 C
Do đó (Q): Ax + By + ( − 2 A − B ) z + 7 A + 4 B = 0 VTPT của (Q) là n→Q =(A;B;−2A−B)
Ta có VTPT của mặt phẳng (P) là : n (1;2; 1)
→
Gọi α là góc giữa (P) và (Q) thì:
AB 4 B 2 A 5
B A
6 3 n
n
n n cos
2 2 Q
P
Q P
+ +
+
=
=
α
→
→
→
Ta xét hai trường hợp của A
Trường hợp 1: A=0 Ta được cos α= 23
B 2
B 6
3
2 =
Trường hợp 2: A ≠0 Ta có
+
+
+
= α
A
B 4 A
B 2 5
A
B 1
6
3 cos
2
Xét hàm số: f(x) = (x) cos )
A
B x ( 5 x 4 x 2
1 x x 6
2
2
α
=
= +
+ + +
Trang 2( 2 )2
5 x 4 x 2
6 x 6 6
9 ) x ( ' f
+ +
+
= f’(x) = 0 ⇔ x= -1
Vậy cos2α < 43
2
3 cos α <
⇒
6
π
>
α
⇒ ( Do hàm cosin x nghịch biến trên đọan π0;2 )
Trường hợp (1) và (2) ⇒minα=6π
Khi ấy thì A=0 , ta chọn B=1 ⇒ C= =1 và D= 4
Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 = 0
Hết
Ghi Chú:
1/ Có thể xét hai trường hợp B=0 ; B≠ 0 ( Hoặc xét hai trưòng hợp A+B=0 ; A+B ≠ 0
như sách Bài tập nâng cao lớp 12 trang 240 )
2/ Bài toán 6: Cho hai điểm A;B và đường thẳng d Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B là :
a) Lớn nhất b) Nhỏ nhất
f’(x) f(x)
0
0
4
3
4 3