b Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CHM.. Trên mặt phẳng lấy 21 điểm bất kì trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng; mỗi điểm được tô bởi một trong bốn màu đỏ, cam, vàng
Trang 1MỨC ĐỘ CHỦ ĐỀ
THÔNG
1 RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ Câu 1, ý 1
3 đ
Câu 1, ý 2
2 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu 2 ý 1
3 đ
Câu 2 ý 2: 2
đ
5 đ
3 BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
NHỎ NHẤT
Câu 3
2 đ
2 đ
2 đ
Câu 4, ý 2 2
đ Câu 4, ý 3: 2đ
6đ
5 SỐ HỌC ( CHIA HẾT, SỐ NGUYÊN
TỐ).NGUYÊN LÝ ĐIRICLE
Câu 5 ý 1,2
2 đ
2đ
8 đ (40%) 8 đ (40%) 4 đ (20%) 20 đ
Câu 1 (5,0 điểm)
1 Rút gọn biểu thức 2 13 3 2 1
A
với x0;x4;x9.
2 Giả sử a là nghiệm âm của phương trình 3x2 2x 2 0 Không giải phương trình, tính giá trị biểu
P a a a
Câu 2 (5,0 điểm)
1 Giải hệ phương trình
y x
x
2 Giải phương trình 2
3x 652x 17 2x1
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2
ab bc ca abc Chứng minh b c a 4
Câu 4 (6,0 điểm)
1 Cho hình vuông ABCD , lấy điểm E trên cạnh BC ( E khác B và C ); đường thẳng qua B vuông góc
với DEcắt DE tại H và cắt CD tại K Gọi M là giao điểm của DB và AH
a) Chứng minh ba điểm , ,E K M thẳng hàng
b) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CHM
2 Cho tam giác ABC , P là điểm trên cạnh BC ( P khác B và C ); Q R lần lượt là hai điểm đối xứng , với P qua AC AB Lấy điểm , M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AQR sao cho AM song song với
BC Chứng minh đường thẳng PM luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi trên cạnh BC
Câu 5 (2,0 điểm)
1 Trên mặt phẳng lấy 21 điểm bất kì trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng; mỗi điểm được tô bởi một trong bốn màu đỏ, cam, vàng và lục Các đoạn thẳng nối hai trong 21 điểm đó được tô bởi một trong hai màu chàm và tím Xét các tam giác có ba đỉnh thuộc các điểm đã cho, chứng minh tồn tại tam giác có ba đỉnh cùng màu và ba cạnh cùng màu
Trang 2M
H
B A
C D
E
2 Giả sử n ,n2 Xét các số tự nhiên dạng a n 11 1 được viết bởi n chữ số 1 Chứng minh rằng
nếu a n là một số nguyên tố thì n là ước của a n 1
C 1
5 đ
2
A
x
3a 2 2a a0 3a 4 4 2a2a suy ra
2
P a a a a a a a
C2
5đ
1 Trừ vế theo vế hai phương trình ta có xy3x3y70 x y 0 hoặc 3x3y 7 0 TH1: x y 0 y x Thay yx vào phương trình (1) ta được 2 0
7
x
x
Trường hợp này hệ phương trình đã cho có nghiệm x y, 0, 0 ; 7, 7
3
x y y x Thay 7
3
y x vào phương trình (1) ta được 9x221x980 Phương trình này vô nghiệm nên hệ phương trình vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm 0, 0 và 7, 7
2 Điều kiện xác định 1
2
x Phương trình đã cho tương đương với phương trình
2 1 8
9
x
x
Đối chiếu điều kiện phương trình có hai nghiệm 5, 25 40
9
x x
C3
2đ
Áp dụng B.Đ.T Cauchy ta có ab2bc22bc ab bc; 2ca22ca bc ca; 2ab22bc ca
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, rút gọn ta có điều phải chứng minh
C4
6đ
1 a) Xét tam giác BDK, ta có: DH BK, BCDK, BC
cắt DH tại E Suy ra E là trực tâm tam giác BDK Để chứng minh M E K thẳng hàng ta chỉ cần chứng minh , ,
MKBD
Tứ giác ABHDcó BADBHD900nên nội tiếp Suy ra
0
45
BHABDA
Tứ giác DMHKcó: MDKBHM 450 nên nội tiếp
90
DHK (gt) nên DMK DHK900(cùng chắn cung DK) Từ đó ta có điều cần chứng minh
Trang 31 b) Tứ giác CEHK nội tiếp ( ECK EHK900) suy ra ECH EKH (1)
Tứ giác CKBMnội tiếp suy ra EKH BCM ECM 2
Từ (1), (2) suy ra ECH ECM Do đó, EC là đường phân giác góc MCH Chứng minh tương tự, ta
cũng có ME là đường phân giác góc CMH
Vì E là giao điểm hai đường phân giác trong góc M và C của tam giác CHM nên ta có điều phải
chứng minh
2 Gọi N là giao điểm của RB và QC; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Ta có ARNAQR1800 nên N nằm trên đường tròn (w) ngoại tiếp tam giác AQR Đường tròn (w') ngoại tiếp tam giác BCN cắt (w) tại điểm thứ hai G
Từ RBG đồng dạng với QCG suy ra GP là phân giác BGC
0
180o 2 180
BNCRNQ BAC BOC nên O nằm trên (w');
mà OB = OC nên GO là phân giác BGC và do đó G, P, O thẳng hàng Ta cũng có N, O, A thẳng hàng
Gọi M' là giao điểm thứ hai của GO với (w)
Ta có AM G' ANGONGOPCMPC suy ra AM'/ /BC nên M'M
Do đó G, P, O và M thẳng hàng Vậy MP luôn đi qua O cố định
C5
2đ
1 Vì có 21 điểm và được tô bởi 4 màu mà 21 = 4.5+1 nên theo nguyên lí Dirichlet sẽ tồn tại ít nhất 6 điểm được tô cùng một màu
Gọi 6 điểm cùng màu đó là A, B, C, D, E, F Từ điểm A ta kẻ với 5 điểm còn lại được 5 đoạn thẳng, 5
đoạn này được tô 2 màu thì sẽ có ít nhất 3 đoạn được tô cùng màu
Không mất tổng quát giả sử các đoạn AB, AC, AD được tô cùng màu tím
Trong các đoạn nối ba điểm B, C và D nếu có một đoạn màu tím, giả sử là BD thì tam giác ABD là tam giác cần tìm Nếu trong các đoạn nối ba điểm B, C, D không có đoạn nào màu tím thì tam giác BCD là
tam giác cần tìm
2 Trước hết ta chứng minh: nếu a nlà số nguyên tố thì nlà số nguyên tố
Giả sử nlà hợp số, nbq b q; , ,1b q, n.Khi đó
11 1 11 1 10 10 1 11 1
chö soá 1 chö soá 1 chö soá 1
q b q b n
a là hợp số Trái giả thiết, nên n là số nguyên tố
Tiếp tục ta có 1 10 1 1 10 10 10 10 9 (1)
n n
Theo định lí Fermat nhỏ, ta có 10n10 n (2)
Nếu n3 thì a n 111 3 không thỏa mãn giả thiết
Nếu n3 ta có n;9 1 nên từ (1) và (2) suy ra 10n10 9 n Vậy n là ước của a n1
M
O
G
N
R
Q A