CHUYÊN ĐỀ HÀM MỦ LOGARIT ppt

Phương trình và bất phương trình mũlogarit 1... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNHHỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I.. Đây là phương trình tích đã biết cách giải.. Lưu ý

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I Hàm số mũ

 y=a x ; TXĐ D=R

 Bảng biến thiên

x  0 + x  0 +

1 

y +

1



 Đồ thị

-3 -2 -1 1

-2 -1

1 2 3

x

y

y=3 x

-2 -1

1 2 3

x

y

x











 3 1

II Hàm số lgarit

 y=loga x, ĐK:











 1 0

0

a

x

; D=(0;+)

 Bảng biến thiên

x 0 0 + x 0 0 +

1 

1



 Đồ thị

-2

-1

1

2

3

4

x y

y=x

y=3 x

y=log3x

-2 -1

1 2 3 4

x

y

x











 3 1

x y

3 1 log

III Các công thức

1 Công thức lũy thừa:

Với a>0, b>0; m, nR ta có:

n

a a

a

1

=am ; a0=1; a1=

a

1 );

n n

b

a b

a















m a

2 Công thức logarit: logab=ca c =b (0<a1; b>0)

Với 0<a1, 0<b1; x, x1 , x2>0; R ta có:

x

a 1log

log



a x

b

b

log

log

;(logab=

a

b

log

1 )

IV Phương trình và bất phương trình mũlogarit

1 Phương trình mũlogarit

a Phương trình mũ:

Đưa về cùng cơ số

+0<a1: a f(x) =a g(x) (1)  f(x)=g(x)

 











b x

f b

a

log

0

Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) (a1)[f(x)g(x)]=0

Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a x

(t>0), để đưa về một phương trình đại số

Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3), (74 3),… Nếu trong một phương trình có chứa {a 2x ;b 2x ;axbx}

ta có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x (hoặc t=(b/a) x

Phương pháp logarit hóa: a f(x)

=b g(x)  f(x).logc a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c1

b Phương trình logarit:

Đưa về cùng cơ số:

+logaf(x)=g(x)

   













x g

a x f

0

+logaf(x)= log a g(x)      

   





















x g x f

x g x

f

a

0 0

1 0

Đặt ẩn phụ

2 Bất phương trình mũlogarit

a Bất phương trình mũ:

 a f(x)

>a g(x) 

       















0 1

0

x g x f a

a

;  a f(x)

a g(x) 

       















0 1

0

x g x f a

a

Đặt biệt:

* Nếu a>1 thì: a f(x) >a g(x)  f(x)>g(x);

* Nếu 0<a<1 thì: a f(x) >a g(x)  f(x)g(x);

b Bất phương trình logarit:

logaf(x)>log a g(x)    

       

























0 1

0 ,

0

1 0

x g x f a

x g x f

a

; logaf(x)log a g(x)    

       

























0 1

0 ,

0

1 0

x g x f a

x g x f

a

Đặt biệt:

+ Nếu a>1 thì: logaf(x)>log a g(x)     

 









 0

x g

x g x f

;

+ Nếu 0<a<1 thì: log a f(x)>log a g(x)     

 









 0

x f

x g x f

*

* *

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNHBẤT PHƯƠNG TRÌNHHỆ

PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT

I Biến đổi thành tích

2x x 4.2x x 2 x 4 0 2xx 1 2 x 4 0

Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành

tích: 2   2 

2xx1 2x 4  Đây là phương trình tích đã biết cách giải 0

2 log x log x log 2x 1 1

Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: log3x2 log3 2x 1 1 log 3x0

Đây là phương trình tích đã biết cách giải

Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi

thành tích

II Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn

Ví dụ 1: Giải phương trình: 9x 2( 2)3x 2 5 0

     Đặt t = 3 x (*), khi đó ta có:

2

t  x t x    t t  x Thay vào (*) ta tìm được x

Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi  là số chính phương

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2     

log x1  x5 log x1 2x6 Đặt t = log30 (x+1), ta có:

2

t  x t x   t t    x = 8 và x = 2 x

III Phương pháp hàm số

Các tính chất:

Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b)

Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có f u( ) f v u v

Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b)

Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì

 a b 

a b

a F b F c F





 ' Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì

 ; : '  0 '  0

Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D

Ví dụ 1: Giải phương trình: log 2

2.3 x 3

Hướng dẫn: log 2 log 2

2.3 x 3 2.3 x 3

x     , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương x

trình có nghiệm duy nhất x=1

Ví dụ 2: Giải phương trình: 6x2x5x3x Phương trình tương đương 6x5x 3x2x, giả sử phương trình có nghiêm  Khi đó: 6  5  3  2

Xét hàm số     

t t

t

f   1  , với t > 0 Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại c 2; 5 sao cho: f' c  0 c11c 1 0 0,1

  , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình

Ví dụ 3: Giải phương trình:2x2x 2x1(x1)2 Viết lại phương trình dưới dạng

2

2x 1 2x x

     , xét hàm số f   t  2t  t là hàm đồng biến trên R ( ??? ) Vậy phương trình được

Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x 2x 3 2

x

   Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1 Ta cần chứng minh

không còn nghiệm nào khác

3x 2x 3 2 '' 3 ln 3x 2 ln 2x 0

f x    x  f x     Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm

Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình 2

2

2007

1 2007

1

x

y

y e

y x e

x













có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0

HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số  

2 2007 1

x



Nếu x < 1 thì f   x  e1 2007  0suy ra hệ phương trình vô nghiệm

Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 6: Cho a  b0 Chứng minh rằng 2 1 2 1

HD: BĐT

1

ln 2

2

x x

x



với x > 0

Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với a  b0ta có f ( a )  f   b (Đpcm)

IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên

1.Dạng 1: Khác cơ số:

Ví dụ: Giải phương trình log7xlog (3 x2) Đặt t = log7xx7tKhi đó phương trình trở thành: 3

 

2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp

5 6

log (x 2x2)2 log x 2x3

Đặt t = x2

– 2x – 3 ta có log6t1log5t

Ví dụ 2: Giải phương trình  log 6 

log x3 x log x Đặt tlog6 x, phương trình tương đương 3

2

t

 

3 Dạng 3: logbx c

a   x ( Điều kiện: b = a + c )

Ví dụ 1: Giải phương trình log 7 3

4 x x Đặt tlog7x37t x , phương trình tương 3

       

Ví dụ 2: Giải phương trình 2log3x5  x4 Đặt t = x+4 phương trình tương đương 2log3t1 t

Ví dụ 3: Giải phương trình log 3 1   log 3 1

4 x  x1 2 x x 0

4 Dạng 4: s ax b clogsdxex , vớidac,ebc

Phương pháp: Đặt ayblog (s dxe)rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: s ax b acxs ay b acy Xét   at b

f t s  act

Ví dụ: Giải phương trình 7x1 6 log (67 x5) 1 Đặt y 1 log76x5 Khi đó chuyển thành hệ

1 7

y





Xét hàm số   1

7t 6

f t    t suy ra x=y, Khi

đó: 1

7x 6x  Xét hàm số5 0    7 1 6  5

x x

g x Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2

nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2

5 Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình

x

x  x  x x

HD: Viết phương trình dưới dạng 81 1 1 1 181

2x 12x 2 2x 2x 2, đặt

2x 1, 2 x 1 , 0

Nhận xét: u.v = u + v Từ đó ta có hệ:











Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau:

a.2 3x 2 3x 40

b  2 3  2 3 4

c.74 3x 3 2  3x 2 0

3 5 x 16 3 5 x 2x

e  21 x  21x 2 20(ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=1

f 3.8x+4.12x18x2.27x=0 (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1

2x x 4.2xx 2 x 4 0

2x x 2 x x 3

i.3.16x 2.8x 5.32x

j

2.4x 6x 9x

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a

x y











x y

x y









5







2 2

3x xy y 81

 









(ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (2;2)

e







(ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2)

4

1

25

y









(ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)

3x 2

Bài 3: Giải và biện luận phương trình:

a m2 2 x m.2xm 0 b 3m x m.3x  8

log x log x 1 2m 1 0 (m là tham số) (ĐH_Khối A 2002)

a Giải phương trình khi m=2

b Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3

1; 3

 

3

x  , b 0  m  2

Bài 5: Cho bất phương trình 1  

4x m 2x 1  0 a Giải bất phương trình khi m=16

9

b Định m để bất phương trình thỏa x R

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a log5xlog5x6log5x2 b log5xlog25xlog0,2 3

1

x

x





e log2x1 (2x2+x1)+log x+1 (2x1)2=4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4

log x1 6 log x 1 20 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3

1

4.2 3

x

Bài 7: Giải bất phương trình:

3

2 log (4x3)log 2x3 2 (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4  x  3

b

2 0,7 6

4

x





(ĐH_Khối B 2008) ĐS: 4< x < 3, x > 8

log 4x 144 4 log 2 1 log 2x  1

d

2

1

2

x

