HSG TOÁN 8 HAY

Tìm giá trị lớn nhất của K.. Chứng minh rằng : Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB vẽ các hình vuông AICD, BICF.. Gọi O

UBND HUYỆN SƠN ĐỘNG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012

MÔN THI : TOÁN 8

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1.(2 điểm): Cho biểu thức



x -1 x - 3

x - 5x + 6 x - 3x + 2 x + x +1

a Rút gọn K

b Tìm giá trị lớn nhất của K

Bài 2.(2 điểm)

a Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = x - y + y - z + z - x

b Cho x.y.z = 2010 Chứng minh rằng :

xy + 2010x + 2010 yz + y + 2010 xz + z +1

Bài 3.(2 điểm)

a Chứng minh rằng : Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương

b Tìm x; y biết :

3y2 + x2 +2xy + 2x + 6y +3 = 0

Bài 4.(2 điểm)

Cho điểm I di động trên đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

là AB vẽ các hình vuông AICD, BICF Gọi O và O' lần lượt là tâm của hai hình

vuông đó Gọi K là giao điểm của AC và BE

a Tứ giác OKO'I là hình gì? vì sao ?

b.Gọi M là trung điểm của OO' Chứng minh ba điểm K, M, I thẳng hàng

c Xác định vị trí của điểm I để tứ giác OKO'I là hình vuông

Bài 5.(2 điểm)

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2+2abc < 2

Họ và tên thí sinh: SBD:

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP HUYỆN

MÔN: TOÁN – LỚP 8

1

a

a ĐKXĐ: x1;2;3



x - 3

x -1 x - 3

x - 2 x - 2 x -1 x + x +1



2

x -1 x - 3 2x

K =

x -1 x - 3 x + x +1

2

2x

K =

x + x +1

0,25 0,25

0,25 0,25

b

b

* Nếu x= 0 thì K=0

2 2

2

3

Kết luận : K lớn nhất bằng 2

3đạt được khi x=-1

0,25 0,5 0,25

2

a

*Đặt a = x-y; b= y- z; c= z- x thì a+b+c = 0 Chứng minhđược a3+b3+c3 = 3abc

áp dụng kết quả trên ta có : Suy ra P = x - y + y - z + z - x 3  3  3= 3(x-y)(y-z)(z-x)

0,25 0,5 0,25

b

Ta có



xy + 2010x + 2010 xy + 2010x + xyz

y + 2010 + yz y + xyz + yz xz + z +1

yz + y + 2010 yz + y + xyz xz + z +1

xy + 2010x + 2010 yz + y + 2010 xz + z +1

= xz

xz + z +1+ 1

xz + z +1+ z

xz + z +1=xz + z +11

xz + z +1 = vế phải

0,25 0,25

0,5

3 a a Gọi 4 số nguyên liên tiếp là n, n+1, n+2, n+4 (n

N)

Ta có n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =(n2+3n)(n2+3n+2) +1

= (n2+3n)2+2(n2+3n) + 1

0,25 0,25 0,25

= (n2+3n+1)2 là số chính phương 0,25

b

b Biến đổi về dạng (x2+2xy+y2) + 2(x+y) + 1+ 2(y2+2y +1)

= (x+y+1)2+2(y+1)2 0 với mọi x;y

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khix y y 1 01 0 x y 01









  

0,25 0,25 0,5

4

a

a  0

90

KOI  ( Tính chất đường chéo của hình vuông)

' 90

KO I  ( Tính chất đường chéo của hình vuông)

O IO  ( Tính chất tia phân giác của hai góc kề bù )

 Tứ giác OKO'I là hình chữ nhật

0,25 0,25 0,5

b

b Theo tính chất đường chéo của hình chữ nhật thì M

là trung điểm của IK => ba điểm K, M, I thẳng hàng

0,5

c

c Hình chữ nhật OKO'I là hình vuông khi IO = IO'

=> AI =IB

=> I là trung điểm của AB

M

O'

O

F

D

C

E

K

0,5

5

Theo bất đẳng thức tam giác thì :

c< a+b  2c < a+b+c  a<1 1-a>0

Chứng minh tương tự ta cũng có 1-b>0; 1-c >0

 (1-a)(1-b)(1-c) > 0 1-a-b-c+ab+bc+ca-abc > 0

 2-2a-2b-2c+2ab+2bc+2ca-2abc > 0 (1)

Mặt khác ta có

(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

 2ab+2bc+2ac = 4- a2-b2-c2 (2)

Thay (2) vào (1)  a2 + b2 + c2+2abc < 2

0,5 0,5 0,5 0,5