GIAO AN BOI DUONG HSG TOAN 8

- Thực hiện thành thạo dạng toán tính giá trị của các biiêủ thức có điều kiện, bài toán tìm x.. Trong các kỳ thi gần đây, liên phân số có bị biến thể đi đôichút ví dụ như: với dạng này

Trang 1

Giáo án bồi dỡng HSG Hứa Đức Vơng Ngày soạn: 22/8/2016

Ngày dạy: 24/6/2016 (tiết 1+2+3)

Nếu F = 0,4818181 là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là 81

Khi F đợc viết lại dới dạng phân số thì mẫu lớn hơn tử là bao nhiêu?

Giải:

Ta có: F = 0,4818181 = 0, 4 81  0, 4 81 53

990 110

Vậy khi đó mẫu số lớn hơn tử là: 110 - 53 = 57

Ví dụ 3: Phõn số nào sinh ra số thập phõn tuần hoàn: 3,15(321)

Khi thửùc haứnh ta chổ thửùc hieọn pheựp tớnh nhử sau cho nhanh:315321 315 31500699900  99900 1665052501

 Chú ý : Khi thực hiện tính toán ta cần chú ý các phân số nào đổi ra đợc số thập phân ta nên nhập số thập phân cho nhanh

Trang 2

Gi¸o ¸n båi dìng HSG Høa §øc V¬ng

 VÝ dô: 4/5 = 0,8

II C¸c d¹ng bµi tËp:

I TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

VÝ dô 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:

2 15 , 25 57 , 28 : 84 , 6

4 81 , 33 06 , 34 2

, 1 8 , 0 5 , 2

1 , 0 2 , 0 : 3 :



c) C =  

3

4 : ) 3

1 2 5

2 ( ) 25

33 : 3

1 3 ( : ) 2 ( , 0 ) 5 ( ,

2 Bµi 2:

a) Cho boán soá A = [(23)2]3, B = [(32)3]2; C = 2 33 ; D = 3 22

Trang 3

Giáo án bồi dỡng HSG Hứa Đức Vơng Haừy so saựnh A vụựi B; C vụựi D

b) E = 0,3050505… laứ soỏ thaọp phaõn voõ haùn tuaàn hoaứn ủửụùc vieỏt dửụựi daùng phaõn soỏ toỏi giaỷn Toồng cuỷa tửỷ vaứ maóu laứ (ủaựnh daỏu ủaựp soỏ ủuựng)

2 2 4

1 3 9

5 6

7

4 : 25

2 08 , 1

25

1 64 , 0

25 , 1 5

4 : 8 , 0

343

1 49

1 7

1 1

27

2 9

2 3

2 2 : 343

4 49

4 7

4 4

27

1 9

1 3

1 1

1 2 5

2 ( ) 25

33 : 3

1 3 ( : ) 2 ( , 0 ) 5 ( ,

5

142431 1990

79

2 3 2

x

x x

; Q =

5 2006

b ax

1) Xác định a, b, c để P = Q với mọi x  5 2) Tính giá trị của P khi

07 2007200720

200 197

17 14 14 11 11 8

399

4

63

4 35

4 15

4

3 3

Trang 4

Giáo án bồi dỡng HSG Hứa Đức Vơng c) D0,200720082006 0,0200720082007 0,00200720082008

36

7 5 3

36 5

3 1

16

1 1 9

1 1 3

- HS tiếp tục đợc củng cố các phép toán về phân số, số thập phân

- Thực hiện thành thạo dạng toán tính giá trị của các biiêủ thức có điều kiện, bài toán tìm x

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập

B Ph ơng tiện:

- GV: giáo án, tài liệu Casio

- HS: Máy tính Casio

C Nội dung bài giảng:

II Tính giá trị biểu thức có điều kiện:

Trang 5

Giáo án bồi dỡng HSG Hứa Đức Vơng

1) Ghi vào màn hình: 3X5  2X4 2X2  7X  3 ấn =

- Gán vào ô nhớ: 1,234 SHIFT STO X , di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức rồi ấn = đợc A(x1) (-4,645914508)

b/ Để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x-3 thì x=3 là nghiệm của P(x) và Q(x)

Ghi vào màn hình: X4+5X3-4X2+3X ấn 

-Gán: 3 Shift STO X , di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức và ấn 

5 3 8 57

20 12 64 5 3 8

3

81 2

9 9 2 2 3

2 9

C = 0,(20055 ) 0,0(20055 ) 0,00(52005)

Trang 6

b) Cho biÕt a  13,11;b 11,05;c  20,04 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M biÕt r»ng:

M = (a2 - bc)2 + (b2 - ca)2 + (c2 - ab)2 + (ab + bc + ca)

Trang 7

b) Cho tan   2,324 Tính   

8cos 2sin tan3

2 cos sin sin

- RÌn kü n¨ng sö dông thµnh th¹o m¸y tÝnh vµo d¹ng to¸n nµy

Trang 8

Gi¸o ¸n båi dìng HSG Høa §øc V¬ng a) Ta cã:

Tất cả có : (99999 – 10002) : 3 + 1 = 30000 số

Tổng của tất cả các số này là : 10002 + + 99999 = 1650015000

* Các số vừa chia hết cho 3 và cho 5 trong khoảng từ 10000 đến 99999 là 10005 ;

10020 ; ; 99990

Tất cả có : (99990 – 10005) : 15 + 1 = 6000 số

Tổng của tất cả các số này là : 10005 + + 99990 = 329985000

Vậy từ 10000 đến 99999 có 30000 – 6000 = 24000 số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 5

Tổng của tất cả các số này là :1650015000 – 329985000 = 1320030000

Trang 9

 ag Dùng phương pháp lặp để tính ta có :

Aán 31 SHIFT STO A

Ghi vào màn hình : A = A + 1 : A ^ 4 ấn = = để dò

Ta thấy A = 45 và 46 thoả điều kiện bài toán

ĐS : 45 ; 46

 Hay từ 31 ag 57 ta lí luận tiếp  ag 4 a*****g

 g chỉ có thể là 0 , 1 , 5 ,6 do đó ta chỉ dò trên các số 31, 35, 36, 40, 41, 45, 46,

a) T×m ch÷ sè thËp ph©n thø 13 2007 sau dÊu phÈy trong phÐp chia 250000 19 

b) Khi ta chia 1 cho 49 Ch÷ sè thËp ph©n thø 2005 sau dÊu phÈy lµ ch÷ sè nµo? c) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy của phép chia 5 cho 61

d) Chữ số thập phân thứ 2002 sau dấu phẩy là số nào khi chia 1 cho 17

Gi¶i:

a) Ta có 250000 13157 17

Vậy chỉ cần tìm chữ số thứ 13 2007 sau dấu phẩy trong phép chia 17 ÷ 19

Ấn 17 ÷ 19 = 0,894736842 ta được 8 số thập phần đầu tiên sau dấu phẩy là:

Trang 10

89473684 (không lấy số thập phân cuối cùng vì có thể máy đã làm tròn )

Kết luận 1719 là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 18 chữ số

Để thỏa đề bài , ta cần tìm số dư khi chia 2007

13 cho 18Số dư khi chia 13 2007 cho 18 chính là số có thứ tự trong chu kì gồm 18 chữ số thập phân

Ta có : 13 (13 ) 1 1(mod18)

)18(mod113

669 669

3 2007

Kết quả số dư là 1 , suy ra số cần tìm là số đứng ở vị trí đầu tiên trong chu

kì gồm 18 chữ số thập phân

Kết quả : số 8

d) Chữ số thập phân thứ 2002 sau dấu phẩy là số nào khi chia 1 cho 17

Gi¶i:

TIẾT 13

Bµi 5:

a) Tìm hai chữ số tận cùng của 2081994

b) Cho biết 3 chữ số cuối cùng bên phải của 7 3411 ĐS : 743

c) Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của 8 236

d) Gọi a là hệ số của số hạng chứa x8 trong triển khai (-x3 + x2 + 1)9

TÝnh tổng các chữ số của a5

Gi¶i:

Trang 11

Bµi 6:

a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất cĩ 10 chữ số Biết số đĩ chia 19 dư 13, chia 31 dư 12

b) Giả sử a là một số tự nhiên cho trước Để bình phương của a có tận cùng là 89 thì

a phải có hai chữ số tận cùng là bao nhiêu ?

c) Tìm chữ số cuối cùng của 172008

Gi¶i:

T IẾT 14

Bµi 7:

a) Trình bày cách tìm và tìm số dư khi chia 21000 cho 25

b) Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số 62005

c) Tìm số nhỏ nhất cĩ 10 chữ số sao cho số đĩ chia cho 17 dư 2 ,cho 29 dư 5

: d) Tìm bốn chữ số tận cùng của số a = 415116213 - 11

e) Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số 2 999

f) Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số 3 999

g) Tìm 4 chữ số tận cùng của số a = 200221353 + 5 ?

Gi¶i:

Bµi 8: a) Cho biết 3 chữ số cuối cùng bên phải của 7 3411 Đ/S : 743

b) Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của 8 236 Đ/S : 2256

c) Tìm hai chữ số tận cùng của số 32007

d) Tìm bốn chữ số tận cùng của số a = 415116213 -11

Gi¶i:

a) Ta có:

7 7 7 7 001 249 7 743(mod1000)

) 1000 (mod 001 7

) 1000 (mod 001 001 )

001 ( 249 )

249 ( 249 7

) 1000 (mod 249 7

10 3400 3411

3400

2 2

2 4 10

Trang 12

5376(mod10000)

7376 7376

6624 6624

6624 )

8 ( 8

) 10000 (mod 6624 1824

4576 8

8 8

) 10000 (mod

4576 6976

8

) 10000 (mod 6976 1824

8

) 10000 (mod 1824 8

2 2

4 4

50 200

10 40 50

2 40

2 20

Và ta có : 8 36  8 10 3 8 6  1824 3  8 6  4224 2144 6256 mod10000    

Cuối cùng : 8 236  8 200  8 36  5376 6256 2256 mod10000    

Đ/S : 2256

TIẾT 15

Bµi 9: a)T×m sè d cđa phÐp chia sau: 102007200708:111007

b) Chøng minh r»ng: 1) (2001200420032006) 10  ; 2)(7 7 7  2 3 72008) 400 c) T×m ch÷ sè tËn cïng cđa sè sau: 2007200820072008

d) T×m hai ch÷ sè tËn cïng cđa sè sau: 9 999 999

Bµi 10:

a) Trình bày cách tìm và tìm số dư r của 3 7349 khi chia cho 19

b) Tìm tất cả các số có 10 chữ số có chữ số tận cùng là 4 và luỹ thừa bậc năm của một số tự nhiên

d) Tìm số dư r2 trong chia 2x3 11x2  17x28 cho x 7

Bµi 11:

e) Trình bày cách tìm và tìm số dư khi chia 21000 cho 25

f) Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số 62005

c) Tìm số dư r2 trong chia 2x3  11x2  17x 28 cho x 7

d) Tìm số dư r khi chia 17762003 cho 4000

Trang 13

Giáo án bồi dỡng HSG Hứa Đức Vơng Ngày soạn: 14/9/2016

Ng y dày d ạy: 16/9/2016 (tiết 16+17+18)

Chuyên đề II: Dạng toán tìm số và chữ số

A Mục tiêu:

- HS nắm đợc các phơng pháp cơn bản về dạng toán tìm số nh tìm số chính phơng, tìm

số thoả mãn điều kiện nào đó… của một số

- Rèn kỹ năng sử dụng thành thạo máy tính vào dạng toán này

Duứng maựy tớnh : AÁn 0 SHIFT STO X

Ghi vaứo maứn hỡnh :

X = X + 1 : Y = ((3

( 156 2 807



X ) + (12X)2  52X  59) f 20 )AÁn = = cho ủeỏn khi maứn hỡnh hieọn Y laứ soỏ nguyeõn dửụng p thỡ dửứng

Keỏt quaỷ Y = 29 ửựng vụựi X = 11

ĐS : x = 11 ; y = 29

Bài 3:

a) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn dương (x; y) cú hai chữ số thoả món: x - y = xy3 2

b) Tỡm caực soỏ nguyeõn dửụng x vaứ y sao cho x2 + y2 = 2009 vaứ x > y

(x = 35, y = 28)

Trang 14

a) T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng 1ab = a +b +1 3 3

Víi c¸c sè nguyªn a,b 0  a  9 , 0  b  9 153 = 1 + 5 +3 3 3 3

b) T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng 3 3 3

4ab = 4 +a +b

Víi c¸c sè nguyªn a, b sao cho 0  a 9 ; 0  b 9 407 = 4 + 0 +7 3 3 3

c) Tìm các chữ số a, b , c , d biết : 1ab cd  2004

d) Tìm các chữ số a, b , c , d, f biết :ab5 cdef  2712960

e) Tìm các chữ số a, b, c trong phép chia ab c bac5   761436 biết hai chữ số a, b hơn kém nhau một đơn vị

f) Tìm các chữ số a, b , c , d, f biết : ab5 cdef  2712960

g) Tìm số tự nhiên n 500  n 1000 để a n  2004 15  n là số tự nhiên

c) Biết số có dạngN  12345679 4x y  24 Tìm tất cả các số N ?

2007

2006 3 2007 2 2008 1

) 2008

3 2 1 (

) 3 2 1 ( 2 1 1

Trang 15

x y

b) Tìm các số tự nhiên thoả mãn phương trình x2 + 2y2 = 2377

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x y  x y  7920

d) Tìmsố tự nhiên n 20349  n 47238 để 4789655 – 27 n là lập phương của một số tự nhiên ?

e) Biết số có dạngN  12345679 4x y  24 Tìm tất cả các số N ?

Trang 16

Để kiểm tra một số nguyên a dơng có là số nguyên tố hay không ta chia số nguyên tố

từ 2 đến a Nếu tất cả phép chia đều có d thì a là số nguyên tố

Ví dụ 1: Để kiểm tra số 647 có là số nguyên tố hay không ta chia 647 lần lợt cho các số 2;

3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 các phép chia đều có d khi đó ta kết luận số 647 là sốnguyên tố

Ví dụ 2 : Chổ vụựi caực chửừ soỏ 1, 2, 3, hoỷi coự theồ vieỏt ủửụùc nhieàu nhaỏt bao nhieõu soỏ tửù nhieõn khaực nhau maứ moói soỏ ủeàu coự ba chửừ soỏ ? Haừy vieỏt taỏt caỷ caực soỏ ủoự

Giải:

Các số tự nhiên có 3 chữ số đợc lập từ 3 số 1; 2; 3 là: 27 số

111; 112; 113; 121; 122; 123; 131; 132; 133;

211; 212; 213; 221; 222; 223; 231; 232; 233311; 312; 313; 321; 322; 323; 331; 332; 333;

Ví dụ 3: Trong taỏt caỷ n soỏ tửù nhieõn khaực nhau maứ moói soỏ ủeàu coự baỷy chửừ soỏ, ủửụùc vieỏt ratửứ caực chửừ soỏ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thỡ coự k soỏ chia heỏt cho 5 vaứ m soỏ chia heỏt cho 2

Hãy tớnh caực soỏ n, k, m

2 Ví dụ: Cho hai soỏ A = 1234566 vaứ B = 9876546

a) Tỡm ệCLN(A, B) vaứ BCNN(A,B) ?

b) Goùi D = BCNN(A,B) Tớnh giaự trũ ủuựng cuỷa D3 ? Tớnh vaứ ghi keỏt quaỷ vaứo oõ vuoõng

Trang 17

(Nêu đợc cơ sở lý thuyết và cách giải 2 điểm; Kết quả 3 điểm)

Do maựy caứi saỹn chửụng trỡnh ủụn giaỷn phaõn soỏ neõn ta duứng chửụng trỡnh naứy ủeồ tỡm ệụực soỏ chung lụựn nhaỏt (ệSCLN)

Ta cú : B A b a ( b a toỏi giaỷn)

ệSCLN(A;B) = A ữ a

AÁn 9474372 : 40096920 =

Ta ủửụùc: 6987 : 29570

ệSCLN cuỷa 9474372 vaứ 40096920 laứ 9474372 ữ 6987 = 1356

Ta ủaừ bieỏt : ệSCLN(a ; b ; c ) = ệSCLN(ệSCLN( a ; b ) ; c )

Trang 18

Gi¸o ¸n båi dìng HSG Høa §øc V¬ng a) Đáp số: D = UCLN(A,B) = 583 ; UCLN(A,B,C) = UCLN(D,C) = 53

Trang 19

Gi¸o ¸n båi dìng HSG Høa §øc V¬ng Ấn 9474372 ÷ 40096920 = Ta được: 6987 ÷ 29570

Trang 20

- GV: gi¸o ¸n, bµi tËp, tµi liƯu Casio

- HS: M¸y tÝnh Casio

C Néi dung bµi gi¶ng:

TiÕt 24:

III T×m sè d cđa phÐp chia A cho B:

a LÝ thuyÕt: Sè d cđa phÐp chia A cho B lµ: : AB.B A

  lµ phÇn nguyªn cđa th¬ng A cho B)

b) VÝ dơ 1: T×m sè d cđa phÐp chia 22031234 : 4567

Bµi 1: a) Tìm số dư r khi chia 39267735657 cho 4321

b) dư r1 trong chia 186054 cho 7362

c) Tìm số dư r2 trong chia 2x3  11x2  17x 28 cho x 7

d) Chia 19082007 cho 2707 có số dư là r1 , chia r1 cho 209 có số dư là r2 Tìm r1 và r2 ?

a) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105

Tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105

b) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047

Tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047

Trang 21

Giáo án bồi dỡng HSG Hứa Đức Vơng c) Tỡm soỏ dử r cuỷa pheựp chia 2345678901234 cho 4567

b) Ví dụ: Tìm tất cả các ớc của 120

+) Sử dụng máy tính CASIO 500MS

Ta ấn các phím sau:

1 Shift STO A / 120 : A / A  1 Shift STO A /= / = /

chọn các kết quả là số nguyên Kết quả: Ư(120) =

Giải:

Quy trình tìm các ớc của 60 trên máy tính Casio 570 Esv là

1 SHIFT STO A Ghi lên màn hình A = A + 1: 120 A  sau đó ấn CLR ấn dấu =

liên tiếp để chọn kết quả là số nguyên

Trang 22

Tính trên máy kết hợp với giấy ta cĩ: D = 1038471 3 =1119909991289361111

 VÝ dơ 2: (5 ®iĨm) Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – 7 )64

Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị

Gi¶i:

Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chÝnh là giá trị của đa thức tại x = 1

Gọi tổng các hệ số của đa thức là A ta cĩ : A = Q(1) = ( 3+2-7)64 = 264

Để ý rằng : 264 =  2 32 2 = 4294967296 2

Đặt 42949 = X ; 67296 = Y Ta cĩ : A = ( X.10 +Y) = X 10 + 2XY.10 + Y 5 2 2 10 5 2 Tính trên máy kết hợp với giấy ta cĩ:

Gi¶i:

Đặt a = x1000, b = y1000 Ta có: a + b = 6,912; a2 + b2 = 33,76244 Khi đó : a3 + b3 = (a + b)3- 3ab(a + b) = (a + b)3 - 3      

Trang 23

Trang 24

phớm = liờn tiếp cho đến khi X = 10, lỳc đú ta cú kết quả gần đỳng chớnh xỏc đến 4chữ số thập phõn của S là: 1871,4353

4 Bài 4: Tính giá trị của biểu thức sau:

c) Tớnh keỏt quaỷ ủuựng cuỷa tớch A =2222288888 2222299999 

c) Tớnh keỏt quaỷ ủuựng cuỷa tớch A = 20082009 2

- HS nắm đợc các phơng pháp cơn bản về các bài toán liên phân số

- Rèn kỹ năng thực hiện các phép toán liên phân số, kỹ năng sử dụng máy tính Casio

Baứi toaựn: Cho a, b (a>b)laứ hai soỏ tửù nhieõn Duứng thuaọt toaựn ễclit chia

a cho b, phaõn soỏ ab coự theồ vieỏt dửụựi daùng:

Trang 25

Vì b0 là phần dư của a khi chia cho b nên b > b0 Lại tiếp tục biểu diễn phân

Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số 0 1

n 1 n

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Trang 26

Gi¸o ¸n båi dìng HSG Høa §øc V¬ng Ấn các phím: 3 1 a  b/ c 2 2 1 a   b/ c Ans 1 1 a   b/ c Ans  SHIFT a b/ c ( )23

16

Nhận xét:  Dạng toán tính giá trị của liên phân số thường xuất hiệnrất nhiều trong các kỳ thi nó thuộc dạng toán kiểm tra kỹ năng tính toánvà thực hành Trong các kỳ thi gần đây, liên phân số có bị biến thể đi đôichút ví dụ như:

với dạng này thì nó lại thuộc dạng tính

toán giá trị biểu thức Do đó cách tính trên máy tính cũng như đối với liênphân số (tính từ dưới lên, có sử dụng biến nhớ Ans)

TiÕt 30:

Bài tập tổng hợp

Bài 1: Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:

Trang 27

Bài 4: Lập qui trình bấm phím để tính giá trị của liên phân số sau

M  3,7,15,1,292 và tính   M?

TiÕt 32:

Bài 5: (Thi khu vực, 2001, lớp 6 – 7, dự bị)

a Lập qui trình bấm phím để tính giá trị của liên phân số sau

Bài 8: (Phòng GD Bảo Lâm – Lâm Đồng)

Tính và viết kết quả dưới dạng phân số

4 D=5+

4 6+

4 7+

4 8+

4 9+

Trang 28

C Néi dung bµi gi¶ng:

TiÕt 34:

I Dãy Fibonacci

.1 Bài toán mở đầu: Giả sử thỏ đẻ theo quy luật sau: Một đôi thỏ cứ mỗi

tháng để được một đôi thỏ con, mỗi đôi thỏ con cứ sau 2 tháng lai sinh ramột đôi thỏ nữa, rồi sau mỗi tháng lại sinh ra một đôi thỏ con khác v.v… vàgiả sử tất cả các con thỏ đều sống

Hỏi nếu có một đôi thỏ con nuôi từ tháng giêng đến tháng 2 thì đẻ đôithỏ đầu tiên thì đến cuối năm có bao nhiêu đôi thỏ?

Giải

- Tháng 1 (giêng) có một đôi thỏ số 1.

- Tháng 2 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 2 Vậy có 2 đôi thỏ trong tháng 2

- Tháng 3 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 3, đôi thỏ số 2 chưa đẻ được Vậy có 2đôi thỏ trong tháng 3

- Tháng 4 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 4.1, đôi thỏ số 2 để đôi thỏ số 4.2, đôithỏ số 3 chưa đẻ Vậy trong tháng 4 có 5 đôi thỏ

Tương tự ta có tháng 5 có 8 đôi thỏ, tháng 6 có 13 đôi thỏ, …

Như vậy ta có dãy số sau: (ban đầu)1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144;

.2 Công thức tổng quát của số Fibonacci: Nhờ truy hồi ta chứng minh

được số hạng thứ n của dãy Fibonacci được tính theo công thức sau:

Trang 29

Gi¸o ¸n båi dìng HSG Høa §øc V¬ng Với n = 3 thì

Theo nguyên lý quy nạp công thức (*) đã được chứng minh

3 Các tính chất của dãy Fibonacci:

Nhận xét: Tính chất 1 và 2 cho phép chúng ta tính số hạng của dãy

Fibonacci mà không cần biết hết các số hạng liên tiếp của dãy Nhờ hai tính

chất này mà có thể tính các số hạng quá lớn của dãy Fibonacci bằng tay(dùng giấy bút để tính) mà máy tính điện tử không thể tính được (kết quả

Trang 30

Gi¸o ¸n båi dìng HSG Høa §øc V¬ng không hiển thị được trên màn hình) Các tính chất từ 3 đến 7 có tác dụnggiúp chúng ta trong việc chứng minh các bài toán có liên quan đến dãyFibonacci thường gặp trong các bài thi, tính chất 8 giúp tìm các số hạngkhông chỉ của dãy Fibonacci mà các số hạng của các dãy biến thể củaFibonacci có tính hội tụ (bị chặn) trong một khoảng nào đó Dạng toán nàythường gặp trong các kỳ thi tỉnh và kỳ khu vực.

TiÕt 35:

.4 Tính các số hạng của dãy Fibonacci trên máy tính điện tử

4.1 Tính theo công thức tổng quát

Ta có công thưc tổng quát của dãy:

Ta có dãy Fibonacci: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n  2)

Ấn các phím: 1 SHIFT STO A > gán u2 = 1 vào biến nhớ A

ALPHA B SHIFT STO B

B

Bây giờ muốn tính un ta  một lần và , cứ liên tục như vậy n – 5 lần

Ví dụ: Tính số hạng thứ 8 của dãy Fibonacci?

Ấn các phím: 1 SHIFT STO A  1 SHIFT STO B  ALPHA A SHIFT STO A

ALPHA B SHIFT STO B

Trang 31

Chú ý:  Có nhiều qui trình ấn phím để tính số hạng un của dãy nhưng quitrình trên đây là qui trình tối ưu nhất vì số phím ấn ít nhất Đối với máyfx-500 MS thì ấn  , đối với máy fx-570 MS có thể ấn   hoặc ấn thêm

SHIFT COPY

  để tính các số hạng từ thứ 6 trở đi

TiÕt 36 :

Dạng 6.2 Dãy Lucas

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1 (với n  2 a, b là haisố tùy ý nào đó)

Nhận xét: Dãy Lucas là dãy tổng quát của dãy Fibonacci, với a = b = 1 thì

dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci

Ấn các phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A

ALPHA B SHIFT STO B

 > lấy u4+ u3 = u5 gán vào BBây giờ muốn tính un ta  một lần và , cứ liên tục như vậy n – 5 lần

Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1

(n  2)

a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?

b Sử dụng qui trình trên tính u13, u17?

Giải

a Lập qui trình bấm phím

Ấn các phím: 13 SHIFT STO A

8 SHIFT STO B



Lặp lại các phím:  ALPHA A SHIFT STO A

ALPHA B SHIFT STO B



b Sử dụng qui trình trên để tính u13, u17

Ấn các phím:                (u 13 = 2584)

Trang 32

        (u 17 = 17711)

Kết qủa: u13 = 2584; u17 = 17711

Dạng 6.3 Dãy Lucas suy rộng dạng

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1 (với n  2 a, b là haisố tùy ý nào đó)

ALPHA B SHIFT STO B

Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n  2) Lập qui trình bấmphím liên tục để tính un+1?

Giải

Lập qui trình bấm phím

3 8 2 SHIFT STO B

  

Lặp lại các phím:   3 ALPHA A  2 SHIFT STO A

3 ALPHA B 2 SHIFT STO B

2  a 2 SHIFT STO B

x x > lấy u22+ u12= u3 (u3 = b2+a2) gán vào B

Lặp lại các phím: x2  ALPHA A x2 SHIFT STO A > lấy u32+ u22= u4

gán vào A

Trang 33

2  ALPHA B 2 SHIFT STO B

vào B

Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, 2 2

2  1 2 SHIFT STO B

Lặp lại các phím: x2  ALPHA A x2 SHIFT STO A

2  ALPHA B 2 SHIFT STO B

Trang 34

Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, 2 2

n 1 n n 1

u   3u  2u  (n  2) Lập qui trình bấm phímliên tục để tính un+1?

Giải

Lập qui trình bấm phím

2   3 1 2  2 SHIFT STO B

Lặp lại các phím: x2   3 ALPHA A x2  2 SHIFT STO A

2   3 ALPHA B 2  2 SHIFT STO B

TiÕt 38:

Dạng 6.6 Dãy Fibonacci suy rộng dạng

Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2 (với n  3)

Ấn các phím: 1 SHIFT STO A > gán u2 = 1 vào biến nhớ A

2 SHIFT STO B > gán u3 = 2 vào biến nhớB

ALPHA A  ALPHA B 1 SHIFT STO C  > tính u4 đưavào CLặp lại các phím:  ALPHA B  ALPHA A SHIFT STO A > tính u5 gán biến nhớ A

ALPHA C ALPHA B SHIFT STO B

Bây giờ muốn tính un ta   và , cứ liên tục như vậy n – 7 lần

Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 của dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2?

Ấn các phím: 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B

ALPHA A  ALPHA B 1 SHIFT STO C 

ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A

ALPHA A ALPHA C SHIFT STO C

Dạng 6.7 Dãy truy hồi dạng

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1+ f(n) (với n  2)

Trang 35

Gi¸o ¸n båi dìng HSG Høa §øc V¬ng Ấn các phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A

Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 + 1n(n  2)

a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?

b Tính u7?

Giải

13 SHIFT STO B

2 SHIFT STO X

Lặp lại các phím: ALPHA X 1 SHIFT STO X 

b/ c

3 ALPHA B  2 ALPHA A  1 a ALPHA X SHIFT STO A

  3 ALPHA A  2 ALPHA B 1 a  b/ c ALPHA X SHIFT STO B

b Tính u7 ?

8717,92619)

Kết qủa: u7 = 8717,92619

Dạng 6.8 Dãy phi tuyến dạng

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = F (u ) F (u ) 1 n  2 n 1 (với n  2)

Ấn các phím: a SHIFT STO A

Trang 36

Gi¸o ¸n båi dìng HSG Høa §øc V¬ng Giải

Chú ý: Các qui trình ấn phím trên đây là qui trình ấn phím tối ưu nhất

(thao tác ít nhất) xong có nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) thì ápdụng qui trình trên nếu không cẩn thận sẽ dẫn đến nhầm lẫn hoặc sai xótthứ tự các số hạng Do đó, ta có thể sử dụng qui trình ấn phím theo kiểudiễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm lẫn, vấn đề này không ảnhhưởng gì đến đánh giá kết quả bài giải

Ví dụ: Cho u1 = a, u2 = b, 2 2

u   A u  B u  (với n  2)

Ấn các phím: a SHIFT STO A > gán u1 = a vào biến nhớ A

b SHIFT STO B > Tính u2 = b gán vào BLặp lại các phím: A ALPHA B x2  B ALPHA A x2 SHIFT STO A > Tính u3

gán vào A

A ALPHA A x2  B ALPHA B x2 SHIFT STO B > Tính u4 gán vào B

Nhận xét:  Lập qui trình theo kiểu này thì tất cả dạng toán đều làm

được, rất ít nhầm lẫn nhưng tính tối ưu không cao Chẳng hạn với cách lậpnhư dạng 6.5 thì để tính un ta chỉ cần ấn   liên tục n – 5 lần, còn lậpnhư trên thì phải ấn n – 4 lần

Trang 37

 Nhờ vào máy tính để tính các số hạng của dãy truy hồi ta cóthể phát hiện ra quy luật của dãy số (tính tuần hoàn, tính bị chặn, tính chiahết, số chính phương, …) hoặc giúp chúng ta lập được công thức truy hồi củadãy các dãy số

 Đây là dạng toán thể hiện rõ nét việc vận dụng máy tính điệntử trong học toán theo hướng đổi mới hiện nay Trong hầu hết các kỳ thitỉnh, thi khu vực đều có dạng toán này

Bài tập tổng hợp

Bài 1: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1

a Lập một qui trình bấm phím để tính un+1

b Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số 2 3 4 6

a Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy

b Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un

c Lập một qui trình tính un

d Tìm các số n để un chia hết cho 3

Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho u0 = 2; u1 = 10; un+1 = 10un – un-1

a Lập một quy trình tính un+1

b Tính u2; u3; u4; u5, u6

c Tìm công thức tổng quát của un

Bài 5: (Thi vô địch toán Lêningrat, 1967) Cho dãy u1 = u2 = 1; 2 2

n 1 n n 1

u   u  u  Tìm số dư của un chia cho 7

Trang 38

Bài 8: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 7.2001) Cho dãy số un được xácđịnh bởi: u1 = 5; u2 = 11 và un+1 = 2un – 3un-1 với mọi n = 2, 3,… Chứng minhrằng:

a Dãy số trên có vô số số dương và số âm

b u2002 chia hết cho 11

 chia hết cho 20

b u2n+1 không phải là số chính phương với mọi n

Bài 10: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12 Tính u7=?

Bài 11: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005)

a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy?

b Tìm số hạng u8 của dãy?

TiÕt 43 :

Bài 12: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005)

Cho dãy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n2)

a Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy?

b Tìm số hạng u14 của dãy?

Bài 13: (Phòng GD Bảo Lâm, 2005)

Trang 39

1/ Tính giá trị của biểu thức đại số:

Ta có 2 cách tính: Sử dụng cách gán giá trị (phím STO) Hoặc tính trực tiếp bằng nút AnsVD1: Tính giá trị của biểu thức: 20x2 -11x - 2006 tại

a) x = 1; b) x = -2; c) x = 21; d) x = 1,234560,12345;

Cách làm: Gán 1 vào ô nhớ X:

Nhập biểu thức đã cho vào máy: (Ghi kết quả là -1997)

Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:

Rồi dùng phím # để tìm lại biểu thức, ấn  để nhận kết quả (Ghi kết quả là -1 904)

Làm tương tự với các trường hợp khác (ĐS c) 19951

2

 ; d) -2006,899966).

Ta có thể sử dụng phím Ans: 1 = 20Ans 2 – 11Ans – 2006 =

VD2: Tính giá trị của biểu thức: x3 - 3xy2 – 2x2y - 32 y3 tại:

Sau đó gán giá trị thứ hai vào ô nhớ X:

Dùng phím # # để tìm lại biểu thức, ấn  để nhận kết quả (Ghi kết quả là

2/ Tìm dư của 2 đa thức f(x) và g(x) và điều kiện chia hết:

a/ f(x) : g(x) thì tồn tại q(x) và r(x) sao cho f(x) = g(x).q(x) + r(x) Nếu r(x) = 0 thì f(x) chiahết cho g(x)

b/Định lí Bezoul: Giả sử đa thức f(x) là đa thức của biến x và a R trong biểu thức củaf(x)

Khi thay x = a thì được một số ký hiệu là f(a) gọi là giá trị của f(x) tại a

Trang 40

Nếu f(a) = 0 thì f(x) có nghiệm là x = a

Định lí Bezoul: Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x – a là hằng số bằngf(a)

VD1: Chia f(x) = x3 + 4x2 - 5 cho g(x) = x – 1 Ta có số dư là f(1) = 13 + 4.12 – 5 = 0

VD2: Chia f(x) = x5 +2x3 – x + 4 cho g(x) = x + 1 Ta có dư f(-1) = (-1)5+2.(-1)3- (-1)+4=2

- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = ax + b là hằng số bằng fab

 .VD3: Chia f(x) = 3x3 + 2x2 + 5x – 7 cho g(x) = 2x + 1

Ấn tiếp: SHIFT SOLVE máy hiện: A = 222 Vậy : a = 222

Ví dụ 6: Xác định giá trị k để đa thức f(x) = x4 – 9x3 +21x2 + x + k chia hết cho đa thức g(x) = x2 – x – 2

C 1: Lấy f(x) chia cho g(x) để tìm số dư và đặt số dư bằng 0 để tìm k

Ta có: f(x) = (x2 – x – 2)(x2 – 8x + 15) +k +30 = 0

Vậy để f(x)  g(x) thì k + 30 = 0 Suy ra k = -30

C 2: Ta có g(x) = x2 – x – 2 = x2 – 2x + x – 2 = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1)

Vậy f(x) chia hết cho g(x) = x2 – x – 2 thì cũng chia hết cho (x – 2)(x + 1)

Áp dụng định lí Bezoul và định nghĩa của phép chia hết ta thay x = -1 hoặc x = 2 vào f(x),

Vì hệ số của x5 = 1 nên suy ra Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5)Nên Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 - 5) = P(6) – 62

Suy ra P(6) = 62 + 5! = 156 Tương tự P(7) = 72 + 6! = 769

P(8) = 82 + 7!

2! = 2584 P(9) = 92 + 8!

3! = 6801

Định dạng
Số trang	110
Dung lượng	4,01 MB