DE THI HSG TOAN 8 HayTai ve ngay

Chứng minh: a Tứ giác ABDM là hình thoi.[r]

TRƯỜNG THCS TƯỜNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC: 2017 - 2018

MÔN THI: TOÁN 8

(Đề gồm 01 trang) Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức

3x+2 3x 2 3x+2





a/ Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A

b/ Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

Câu 2 (6,0 điểm)

Giải phương trình sau:

a) x2 6x  9 144

b)

19 23 82

5

1999 1995 700

x x x

c) x3 - 3x2 + 4 = 0

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 240 Hãy tính x2 + y2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x + 2y + 2xy - 6x - 8y + 2027

c) Chứng minh rằng a5 a 30 với mọi số nguyên a

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho ABC vuông ở A (AB < AC), đường cao AH Gọi D là điểm đối xứng của

A qua H Đường thẳng kẻ qua D song song với AB cắt BC và AC lần lượt ở M

và N Chứng minh:

a) Tứ giác ABDM là hình thoi

b) AM  CD

c) Gọi I là trung điểm của MC; chứng minh IN  HN

HẾT

-Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN VÀ BI ỂU ĐIỂM

1

(4 đ)

a

2 3

x 

3x+2 3 2 3x+2

3 2 3x+2 3 2 (3x+2)(3 2) 1 6

3 2

x

x x x











b

A =

2

 

Để A có giá trị nguyên thì 4 chia hết cho 3x-2

3x     2 1; 2; 4

x

2 3



(loại)

0

1 3

(loại)

1

4 3

(loại)

2

3

2

(6 đ)

2

6 9 144 (x 3) 144

3 12

3 12 9 15

x x x x

  

  

 



   







  



1999 1995 700

1999 1995 700

2018 2018 2018

0

1999 1995 700

1999 1995 700

x

 x – 2018 = 0 (vì

0

1999 1995 700

2 2 2 2

3 4 0

1 3 3 0 ( 1)( 1) 3( 1) 0 ( 1)( 1) 3( 1)(x-1) 0 ( 1)( 1 3x+3) 0

( 1)( 4

-4) 0 ( 1)( 2) 0

    

  

   

3

(4 đ)

a Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 240 Hãy tính x2 + y2

240 (x y) x y 240 (x y)(xy 1) 240 (x y)(11 1) 240

x y 20

xy

    

  

Do đó: x2 + y2 = (x+ y)2 – 2xy = 202 – 2.11= 378

b

P = x + 2y + 2xy - 6x - 8y + 2027 = x + y + 9 + 2xy - 6x - 6y + y -2y+1 + 2017 = x + y - 3 + y - 1 + 2017 2017

c

Chứng minh rằng a5 a 30 với mọi số nguyên a

Ta có: a5 a a (a 1) a(a 1)(a4  2 21) (a 1) (a 1)(a  a  21)

Vì (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 Suy ra a5 a 6 (1)

Mặt khác:

2 2 2

(a 1) (a 1)(a 1) (a 1) (a 1)(a 4 5) (a 1) (a 1)(a 4) (a 1) (a 1).5 (a 2)(a 1) (a 1)(a 2) (a 1) (a 1).5

a a

    

      

       

Vì (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và (a-1)a(a+1).5 chia hết cho 5 nên (a 2)(a 1) (a 1)(a 2) (a 1) (a 1).5 5   a     a   Suy ra a5 a 5 (2)

Vì (5; 6) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra a5 a 30

4

(6 đ)

-Vẽ hình đúng

I

N

M

A

D H

bình hành

là hình thoi

=>NI=MI=1/2MC =>IMN cân tại I => INM IMN

Mà IMN HMD (đ đ) =>INM HMD (1)

Suy ra INM +HND  900 hay IN  HN (đ.p.c.m)