Lý thuyết cán - Chương 6

Điều kiện để trục ăn vật cán Trước hết chúng ta cần phân biệt quá trình cán đối xứng và không đối xứng. Nếu như các thống số công nghệ ví dụ nh- đ-ờng kính trục cán, ma sát trên bề mặt, b

Phần Ii: cơ sở lý thuyết cán ngang và nghiêng

*******

Chương 6 Cán ngang 6.1- Bề mặt tiếp xúc giữa dụng cụ và trục cán

Quá trình biến dạng ngang giữa trục cán và phôi ta hình dung như quá trình rèn tự do một thanh thép tròn, sau mỗi lần đập búa người ta lại quay phôi một góc

bé và tiếp tục đập búa lần thứ hai Quá trình được tiếp tục cho đến khi phôi được kéo dài ra và tiết diện ngang bị giảm đi Nếu thực hiện quá trình đó theo sơ đồ cán như hình 6.1a thì hai trục cán thay thế cho búa đập

Quá trình cán ngang thường gặp trong công nghệ sản xuất phôi ống cho công nghệ cán ống không hàn, sản xuất bi cầu, cán các loại bánh răng, bulông và các chi tiết có tiết diện thay đổi theo chu kỳ, cán phôi cho công nghệ chế tạo máy

Ngày nay phương pháp cán ngang xoắn được sử dụng rộng rãi trong nền công nghiệp hiện đại Vì vậy, phương pháp cán ngang

đã được nghiên cứu sâu rộng cả

về lý thuyết và thực nghiệm

6.2- Tính các đại lượng biến dạng khi cán ngang

Lượng biến dạng khi cán ngang chính là sự giảm nhỏ của bán kính vật cán sau một chu kỳ cán là 1/2 vòng quay của nó (1/2 vòng quay của phôi vì ta có hai trục cán đồng thời nén lên phôi)

Nếu ta ký hiệu lượng biến dạng đó là ∆r thì ta có (hình 6.2):

x + y = ∆r với, x=rư r2 ưb2

và y=Rư R2ưb2

Như vậy, ta có được lượng biến dạng ∆r:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

=

∆r R R2 b2 r r2 b2 (6.1)

l

r

l

R

b

∆r

a)

2b

b)

Hình 6.1- Sơ đồ quá trình cán ngang

a) Cán ngang

b) Rèn tự do phôi tròn

trong đó, b: chiều rộng bề mặt tiếp xúc

R = D/2: bán kính trục cán

r: bán kính vật cán trước lúc cán d: đường kính vật cán sau 1 lần cán

Từ (6.1) ta có thể đưa về dạng:

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư

ư +

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư

ư

=

r

b 1 1 r R

b 1 1 R

Khai triển và bỏ đi các số hạng bậc cao ta nhận được:

2 2

2 2

r

b 2

1 1 r

b 1

R

b 2

1 1 R

b 1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư

≈

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư

≈

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư

(6.3)

Thay (6.3) vào (6.2) ta có:

r R

r r R 2 b

+

∆

Nếu tiếp tục biến đổi (6.4) bằng cách thay: r = d/2 + ∆r, ta có:

D

r 2 D

d 1

r 2 d r b

2

∆ + +

∆ +

∆

Qua biểu thức (6.5) ta nhận xét: nếu D → ∞ (trường hợp ép phôi giữa hai tấm phẳng) và với lượng ép ∆r rất bé so với D thì:

0 D

r D

d ≈ ∆ ≈

đồng thời nếu bỏ qua đại lượng 2∆r2, ta có:

d r

Ký hiệu ε∆ =

d

r

là lượng biến dạng của phôi sau 1/2 lần quay của nó so với

đường kính, vậy: = ε

d

b

(6.7) Vì trong quá trình cán, tiết diện của phôi có hình dáng ovan nên độ dài cung tiếp xúc có lớn lên, vì thế biểu thức (6.7) được viết dưới dạng:

ε ϕ

= d

b

(6.8) trong đó, ϕ: hệ số biến đổi chiều rộng của bề mặt tiếp xúc khi cán ngang

r

l

R

b

∆r

Hình 6.2- Sơ đồ tính

lượng biến dạng ∆r

x

y

d

Bây giờ chúng ta sẽ xét xem lượng biến dạng tới hạn ε có giá trị bao nhiêu?

Để xét vấn đề này chúng ta khảo sát sơ đồ mômen quay của phôi và mômen cản lại sự quay này trên hình 6.3

Phôi quay được là do mômen của lực ma sát T tạo ra với tay đòn a Ta ký hiệu mômen này

là M1: M1 = T.a = P.f.a (6.9)

Hai trục cán tác động lên phôi các lực là

P, các lực này tạo ra một mômen quay với tay

đòn là c, ký hiệu là M2:

M2 = P.c (6.10) Trong trường hợp phôi ngừng quay thì M1

= M2, nên: f.a = c (6.11) Giả thiết rằng chiều dài cung tiếp xúc bằng độ dài dây cung và điểm đạt của lực P ở chính giữa dây cung Với một giá trị của c như ở hình 6.3, ta có:

C = S + d.sinα (d.sinα = x) trong đó, S: độ dài dây cung

a = d.cosα (d: đường kính vật cán sau một lần cán)

Thay c và a vào (6.11) ta có:

α

ư α

=f.cos sin d

S

(6.12) Mặt khác, từ hình 6.3 ta nhận thấy

2 2

D

S 1 sin

1 cos

vậy do , sin D

S

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư

= α

ư

= α α

= Thay vào (6.12) ta có:

D

S D

S 1 f d

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư

hay,

2 2

f D

d 1

f d

S

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

Vì hệ số ma sát f < 1 nên f2 có thể bỏ qua và trị số gần đúng của biểu thức (6.14) có thể viết như sau:

D

d 1

f d

S +

Như đã nói ở trên, quá trình quay của phôi luôn có hiện tượng tạo ôvan nên trị số tới hạn của tỷ số S/d (độ dài tiếp xúc tới hạn) có giá trị:

x

P

S/2

α

Hình 6.3- Sơ đồ mômen

khi cán ngang

a

f.P

S/2 c

D/2

d 1

f d

S

ϕ

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

(6.16)

Ta coi độ dài cung tiếp xúc có giá trị như chiều rộng b đã tìm được (6.8) thì:

th

D

d 1

f =ϕ ε +

ϕ

(6.17)

2

2 th

D

d 1

f

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

Trong thực tế thì tỷ số giữa chiều rộng của bề mặt tiếp xúc với đường kính của phôi là rất bé, lực ma sát cũng rất nhỏ Vì vậy, có thể đánh giá một cách gần

đúng tỷ số l/d và εth trong khi hệ số ma sát biến đổi trên chiều rộng của bề mặt tiếp xúc từ 0 (ở giữa) đến một giá trị tới hạn cũng chỉ bằng hệ số ma sát trượt, có nghĩa là: 0 < f < ftrượt

Vì vậy, trị số hệ số ma sát trung bình có giá trị:

fTB = 0,5.ftrượt Nếu ta giả thiết rằng ftrượt = 0,3 và khi tỷ số d/D ≈ 0 thì theo biểu thức (6.18) lượng biến dạng tỷ đối tới hạn εth có giá trị:

% 25 , 2 0 1

3 , 0 5 ,

+

= ε Vậy, khi cán ngang lượng biến dạng tỷ đối rất bé, bé hơn giá trị tới hạn trên

6.3- Sự xuất hiện biến dạng dẻo khi cán ngang

Dưới tác dụng của ngoại lực (lực của trục cán) sự diễn biến của biến dạng dẻo trên một mặt cắt nào đó của vùng biến dạng sẽ là một tổng và sự tương quan giữa các ứng suất trong vùng biến dạng cũng như biến dạng khi cán dọc Muốn nghiên cứu vấn đề này phải giải được bài toán về ứng suất, ở đây cũng là bài toán phẳng vì ta chỉ xét trên một mặt cắt nào đó của tiết diện

Giả thiết tiết diện là một vòng tròn, trên một đường kính thẳng đứng có hai lực (nén) xuyên tâm và được tập trung ở tâm Ta biết rằng, nếu một đĩa chịu hai lực nén như ở hình 6.4 thì ở tâm đĩa chịu một hệ thống ứng suất nén đàn hồi mà phương trình viết trong hệ tọa độ trụ là:

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

θ π

= τ

θ

ư π

ư

= σ

θ +

π

ư

= σ

ρθ θ ρ

2 sin r

P 2

2 cos 2 1 r P

2 cos 2 1 r P

với θ: góc biến đổi (hình 6.4) ứng suất trên biên giới giữa vùng đàn hồi và dẻo ở tại tâm vòng tròn phải thoả mãn các phương trình về đàn hồi và dẻo, nghĩa là phải thoả mãn

được hệ phương trình (6.20):

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

= τ + σ

ư σ

= σ

ư σ

∇

= ρ

τ + ρ

∂

τ

∂ + θ

∂

σ

∂ ρ

= ρ

σ

ư σ + θ

∂

τ

∂ ρ

ư

= ρ

∂

σ

∂

ρθ θ

ρ

θ ρ

ρθ ρθ

θ

θ ρ ρθ ρ

2 2

2 2

K 4

0

0 2

1

0 1

ở đây ký hiệu ∇ là đạo hàm bậc hai của hai ứng suất σρ và σθ (σx và σy)

2

2 2

2 2

θ

∂

∂ + ρ

∂

∂

=

∇

Nếu ta thay đổi các giá trị của ứng suất ở biểu thức (6.19) vào phương trình dẻo ở biểu thức (6.20), ta có:

2 2

2 2

2

K 2 sin r

P 16 2 cos r

P

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ π + θ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

4

K r

P =±

Có nghĩa là với một điều kiện như ở biểu thức (6.22) thì phương trình dẻo thoả mãn, có nghĩa là ở tâm vòng tròn bắt đầu có biến dạng dẻo

Vậy với lượng ép bao nhiêu thì ở tâm vòng tròn bắt đầu có biến dạng dẻo ?

Lực toàn bộ tác dụng lên bề mặt tiếp xúc khi cán ngang là:

trong đó, l là chiều rộng bề mặt tiếp xúc (độ dài trên hình trụ là l)

Từ biểu thức (6.22) ta suy ra:

p

K 8 d

1 p

K 4 r

=

⇔

π

Nếu với một lực đơn vị trung bình tính theo biểu thức (4.36) ta nhận thấy rằng: ảnh hưởng của ma sát tiếp xúc khi cán ngang là không đáng kể vì tải trọng mang tính tập trung, đồng thời tỷ số giữa chiều rộng b và d cùng rất nhỏ, cho nên có thể coi nσ ≈ 1

ảnh hưởng của biến cứng và tốc độ biến dạng cùng có giá trị nH = nv = 1 vì

θ

γ

fk θ

O

τxy

σy

σy=σρ

σx=σθ

b

r0 r r

1

Hình 6.4- Sơ đồ tác dụng lực trên

một tiết diện tròn khi cán ngang

quá trình là cán nóng, mặt khác tải trọng cũng là tải trọng tĩnh Vì vậy biểu thức

Trên cơ sở thực nghiệm của Smirnôp thì:

d

l 2

nc = ư vì

d

l nhỏ nên nc = 2

Như chúng ta đã biết ảnh hưởng của chiều rộng cũng có nghĩa là ảnh hưởng của σ2 Trong biến dạng phẳng trị số K = nβ.σS = 1,15.σS và vì vậy trên cơ sở của biểu thức (6.24): p = nβ.nc.σS = 2.K (6.25)

2

1 p

K = Thay giá trị này vào biểu thức (6.23) ta có:

2 , 0 2

1 4 d

l = π ≈ Như vậy trở lại biểu thức (6.8) ta nhận được lượng biến dạng:

2

l d

l

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ϕ

=

ε (vì l = b)

hay,

2

04 , 0 ϕ

= ε

ở đây ϕ là độ ôvan khi cán ngang và nếu ϕ càng tăng thì lượng biến dạng càng bé Các số liệu thực nghiệm cho thấy: ϕ = 1,4

Như vậy trị số ε sẽ là:

% 2 4 , 1

04 , 0

2 =

= ε

So sánh giá trị này với số liệu thực nghiệm của một số tac sgiả cho thấy khá

bé Với số liệu thực nghiệm của Ôrơnop và Sơvâykin là 4%, của Phorơmitrep là 5%, của Xevedencô là 8%

Vấn đề này một lần nữa cho thấy rằng, khi cán ngang và cán nghiêng có một

sự giảm cường độ biến dạng dẻo từ ngoài vào trong tâm của tiết diện do trị số rất nhỏ của lượng ép tới hạn

Nếu như biến dạng dẻo nhờ một loạt các lượng ép tới hạn mà thẩm thấu đến tâm của tiết diện thì trên cơ sở của các biểu thức (6.19) và (6.22) ứng suất của ngoại lực được xác định theo biểu thức:

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

θ

= τ

θ

ư

ư

= σ

θ +

ư

= σ

ρθ θ ρ

2 sin 2 K

2 cos 2 1 4 K

2 cos 2 1 4 K

Nếu như biến dạng dẻo chưa thẩm thấu đến tâm tiết diện thì ứng suất ở tâm của tiết diện được tính theo biểu thức:

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

θ

= τ

θ

ư

ư

= σ

θ +

ư

= σ

ρθ θ ρ

2 sin 2

K n

2 cos 2 1 4

K n

2 cos 2 1 4

K n

với, n là một hệ số biến đổi trong phạm vi từ 0 < n < 1 tuỳ thuộc vào giá trị của ngoại lực hoặc lượng ép hệ số n cũng có thể tìm từ điều kiện:

K n 2 cos 2 1 r P

K

P r

4 K r

P 4 n

π

= π

= Vì P = p.l và r = d/2 nên:

d

l K

p

8 n π

=

K

p hay 2

1 p

K

; d

π

=16 n Với ϕ = 1,4: n= 17, ε

Như hình 6.4, θ là góc biến đổi từ 0 ữ γ với một giá trị rất bé cho nên cos2θ

= 1 và sin2θ = 0 Vì vậy, từ biểu thức (6.26) ta có:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= τ

= σ

= σ

ρθ θ ρ

0

K n 25 , 0

K n 75 , 0

(6.28)

6.4- Tìm giá trị ứng suất do ngoại lực gây ra trong vùng biến dạng bằng cách giải phương trình vi phân cân bằng khi biến dạng phẳng

Với bài toán phẳng, phương trình vi phân cân bằng kết hợp với điều kiện dẻo là:

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

= τ + σ

ư σ

=

∂

τ

∂ +

∂

σ

∂

=

∂

τ

∂ +

∂

σ

∂

2 2

xy

2 y x

xy y

xy x

K 4 4

0 x y

0 y x

Nếu ta tiếp tục lấy đạo hàm bậc hai của biểu thức (6.29) với x, y thì:

y x

y

xy 2 2

xy 2 y x

2

∂

τ

∂

ư

∂

τ

∂

= σ

ư σ

∂

∂

∂

xy

2 y

σ

2 2

xy 2 2

xy 2

K y x

2 y x

τ

ư

∂

∂

∂

±

=

∂

τ

∂

ư

∂

τ

∂

(6.30)

Để giải phương trình (6.30) với cán nghiêng cần có những giả thiết và nhận xét: - Tỷ số l/d rất bé

- Trị số ứng suất tiếp thay đổi từ 0 đến f.K khi đi giữa bề mặt tiếp xúc

ra ngoài biên Vì vậy ta coi τxy = 0 thì nó không phụ thuộc vào tọa độ y

x

2 xy

2

=

∂

τ

∂

τxy = C1x + C2 với hằng số C1 và C2 lấy theo điều kiện biên như sau:

x = 0 và τxy = 0 thì C2 = 0 Suy ra, τxy = C1x

Vì vậy từ biểu thức (6.29) ta rút ra:

1 xy y

C x

∂

τ

∂

ư

=

∂

σ

∂

(6.31) Lấy tích phân ta có: σy = C1y + f(x) (6.32)

Về mặt trị số thì: σy = p = nσ.nH.nv.nc.nβ.σS

trong đó, nσ = 1; nH = 1; nv = 1; nc = 2 và nβ.σS = K

Khi y = r thì σy = -2K

Nếu biến dạng thẩm thấu đến tâm tiết diện và giả thiết n = 1 thì từ biểu thức (6.28) khi y = 0; σy = -0,75K Dìng điều kiện biên này cho biểu thức (6.32) ta có:

r

K 25 , 1

C1 =

r

y K 25 , 1

Với τxy = C1x, ta có:

r

Kx 25 , 1

xy =±

Khi b = x, ta có: f.K = Kb/r nên f = 1,25b/r = 1,25γ

Thực tế giá trị này rất bé so với 1 nên 1,25x/r cũng là một đại lượng rất bé, vì vậy mà phương trình dẻo có thể viết dưới dạng:

( ) K

r

x 5 , 2 1 K K

2 1 K

2 2

xy y

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư ν

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ τ

ư ν

= σ

ư

Với điều kiện biên n = 1 và ν = ±1 thì từ biểu thức (6.28) ta xác định ứng suất σθ = σx Trên cơ sở các biểu thức (6.33) và (6.35) ta có:

K 25 , 0 r

y K 25 , 1

Các hàm số theo biểu thức (6.33) và (6.36) cũng sẽ thoả mãn phương trình vi phân cân bằng (6.29) với mọi giá trị của hệ tọa độ x, y Khi x = 0, điều kiện dẻo viết dưới dạng của biểu thức (6.35) và biểu thức này có dạng như điều kiện dẻo viết trong hệ trục chính (x = 0 trên một đường kính thẳng đứng, hình 6.4), ta có:

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

+

ρ

ư

= σ

= σ

ư

ρ

ư

= σ

= σ

= τ

= τ

θ ρ ρθ

K 25 , 0 r

K 25 , 1

K 75 , 0 r

K 25 , 1 0

x y

xy

Nếu như biến dạng dẻo chưa thẩm thấu đến tâm tiết diện thì điều kiện biên của bài toán theo biểu thức (6.28) và phương trình dẻo có dạng:

Bằng cách giải tương tự như trên, ta nhận được kết quả:

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

+

ρ +

ư

= σ

ư

ρ +

ư

= σ

= τ

θ ρ ρθ

K 25 , 0 r

K n 75 , 0 2

K 75 , 0 r

K n 75 , 0 2

0

(6.39)

Tổng hợp các biểu thức (6.26) và (6.37) ta có các kết quả như bảng:

ứng suất của ngoại lực tại tâm tiết diện của phôi

θ (độ) Trị số ứng suất σρ Trị số ứng suất σθ σz = (σρ + σθ)/2

ứng suất của ngoại lực trên chu vi của phôi

θ (độ) Trị số ứng suất σρ Trị số ứng suất σθ σz = (σρ + σθ)/2

Như chúng ta đã biết khi cán ngang thì phôi vừa quay vừa bị biến dạng và sau một vài lượng ép tới hạn trong phôi xuất hiện ứng suất kéo theo phương hướng kính do quá trình biến dạng không đều gây ra và cũng là kết quả của đặc điểm tập trung ngoại lực trên một đường kính Ngoài ra khi cán ngang phôi chịu điều kiện biến dạng phân lớp trên các phân tố vòng tròn, song phôi lại là một quần thể đặc sít vì thế mà trong phôi xuất hiện ra ứng suất kéo trong khi đó ứng suất ở ngoài lại chịu ứng suất nén do trục cán đem lại

6.5- Những kết quả thực nghiệm khi cán ngang

Người ta tiến hành cán trên 3 mẫu có tỷ số giữa chiều dài và đường kính khác nhau (hình 6.5) Số liệu thực nghiệm nghiên cứu tỷ số dãn dài của các lớp ở chu vi bên ngoài của hình trụ llk/l0 và các lớp ở tâm của mẫu thử llu/l0 khi ε không đổi

Kết quả thực nghiệm như trên hình 6.5a Từ các kết quả thực nghiệm ta có nhận xét: - Khi l0/d0 < 3 thì ở tâm có hiện tượng co

- Khi l0/d0 > 3 thì có dãn dài

- Khi l0/d0 = 3 ta có chiều dài không đổi ở mọi lượng ép đến chừng nào mà tại tâm chưa hình thành những vết rỗng Chúng ta cũng nhận ra rằng, khi

ls/dv = 3 thì sơ đồ biến dạng ở tâm phôi là biến dạng phẳng vì ở đây đã xuất hiện những lỗ rỗng

Cán ngang có một quy luật rất khắt khe giữa biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo, do vậy cùng tâm phôi dễ bị phá huỷ Cũng vì vậy mà kích thước hình học của phôi cũng sẽ bị biến đổi theo một quy luật nhất định theo chiều trục của các lượng

ép theo đường kính Sự hình thành các lỗ rỗng là kết quả của quá trình chuyển từ trạng thái dẻo sang trạng thái phá huỷ

Người ta cán một phôi thép hình trụ ở nhiệt độ 10600C trên máy cán có

đường kính D = 400 mm Kết quả thực nghiệm như ở hình 6.6 Qua đồ thị ta thấy khi lượng ép ∆d/d0% là 7,75% thì biến dạng của lớp ngoài và lớp trong khác biệt nhau rất lớn, lượng ép càng tăng càng có sự khác biệt Trên hình 6.6 còn cho biết sự

l0/d0< 3 l0/d0 = 3

l0/d0 > 3

llk/l0; llu/l0

1,06

1,04

1,02

1,00

0,98

llk/l0

llu/l0

ε = 1,5%

1%

0,5%

0,5%

1% 1,5%

Hình 6.5- Sự phụ thuộc hệ số kéo dài ở các lớp mặt ngoài và

tâm trục của phôi vào tỷ số giữa chiều dài và đường kính mẫu

a) Số liệu thực nghiệm; b) Sơ đồ

thay đổi tỷ số Vn/V0 (tỷ trọng khối l−ợng riêng) ở l−ợng ép 7,75% vùng tâm phôi

bị phá huỷ và nó đ−ợc coi là l−ợng ép tới hạn

Vn/V0.100%

4,0 3,0 2,0 1,0 0

1,8

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

Vn/V0

llk/l0; llu/l0

llk/l0

llu/l0

Hình 6.6- Sự khác nhau của hệ số kéo dài ở lớp ngoài và trong

tâm khi cán ngang một phôi tròn thép 0,16%C ở nhiệt độ 1060 0 C