Lý thuyết cán - Chương 2

Điều kiện để trục ăn vật cán Trước hết chúng ta cần phân biệt quá trình cán đối xứng và không đối xứng. Nếu như các thống số công nghệ ví dụ nh- đ-ờng kính trục cán, ma sát trên bề mặt, b

Chương 2

Vùng biến dạng

2.1- Các thông số hình học

Quan sát mô hình cán với hai trục cán có tâm O1 và O2 quay ngược chiều nhau với các tốc độ V1 và V2 Bán kính trục cán là R1 và R2, các điểm tiếp xúc giữa phôi cán với trục là A1B1B2A2, góc ở tâm chắn các cung A1B1 và B2A2 là α1 và α2

Với các ký hiệu như trên, ta có các khái niệm về thông số hình học của vùng biến dạng khi cán như sau:

- A1B1B2A2: vùng biến dạng hình học

- A1B1nB2A2m: vùng biến dạng thực tế

- m, n: biến dạng ngoài vùng biến dạng hình học

- α1, α2: các góc ăn

- A1B1, A2B2: các cung tiếp xúc

- lx: hình chiếu cung tiếp xúc lên phương nằm ngang

- H, h: chiều cao vật cán trước và sau khi cán

- B, b: chiều rộng vật cán trước và sau khi cán

- L, l: chiều dài vật cán trước và sau khi cán

2.2- Mối quan hệ giữa các đại lượng hình học

H - h = ∆h: lượng ép tuyệt đối

H

h H

h 1 H

h

: lượng ép tỷ đối

b - B = ∆b: dãn rộng tuyệt đối

B

b 1 B

b B

B

: dãn rộng tỷ đối

Từ hình 2.1, ta xét hai tam giác A1B1E và KB1A1:

1 1

1 1

1 1

A B

E B KB

B

A = suy ra: A1B1

2 = B1E.KB1 = 2R1∆h1

Theo hình 2.1 ta có A1B1 là dây cung của cung tiếp xúc A1B1, vì góc α1 rất

bé nên ta có thể coi độ dài của dây cung bằng độ dài cung Song cũng với lý do α1

O1

V1

∆h1

A1 α1

O2

V2

R1

R2

α2 B2

A2

K

∆h2

h H

Hình 2.1- Sơ đồ cán giữa hai trục.

lx

∆b/2

∆b/2

E

B1

nhỏ (50 - 80) cho nên khi chiếu dây cung A1B1 lên phương nằm ngang ta coi như không đổi Vì vậy, A1B1.cosα1 = A1K

Với cosα1 ≈ 1, nên ta có:

A1B1 ≈ A1K ≈ lx Vì vậy, l 1 = 2R1∆h1: chiều dài cung tiếp xúc (2.2)

Với giả thiết α1 bé, ta cũng có biểu thức:

Nếu như ta cũng xét tương tự với O2 ta có thể suy được:

2 2

Nếu như độ dài cung tiếp xúc ở trên trục O1 và O2 bằng nhau, lx1 = lx2:

→ 2R1∆h1 = 2R2∆h2

→ 2R1∆h1 = 2R2∆h2

2

1 2 2

1

2

R

R h và h R

R

∆ trong đó, ∆h1 + ∆h2 = ∆h = H - h

R

R R h R

R 1 h h R

R h

2

2 1 1 2

1 1

1 2

1

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

∆

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

∆

=

∆ +

∆

R R

R h

và h R R

R h

2 1

1 2

2 1

2

+

=

∆

∆ +

=

Đưa (2.5) vào các biểu thức (2.2) và (2.4), ta có:

2 1

2 1 1

1 1

R R

h R R 2 h

R 2 l

+

∆

=

∆

2 1

2 1 2

2 2

R R

h R R 2 h

R 2 l

+

∆

=

∆

Nếu như hai đường kính trục cán bằng nhau R1 = R2 = R, ta có:

h R l

l

Trở lại hình 2.1, ta xét các đoạn thẳng:

B1K = B1O1 - KO1, với KO1 = R1cosα1

→ B1K = R1 - Rcosα1

Mà B1K = ∆h1 nên: ∆h1 = R1(1 - cosα1)

Tương tự đối với trục O2, ta có:

∆h2 = R2(1 - cosα2)

∆h = ∆h1 + ∆h2 = R1(1 - cosα1) + R2(1 - cosα2) Giả thiết rằng, R1 = R2 = R và α1 = α2 = α, do đó: cosα1 = cosα2 = cosα

cho nên: ∆h= 2∆h1 = 2∆h2 = R (1 - cosα)

với D: đường kính làm việc của trục cán

Khi góc α bé (α ≈ 10 - 150) thì: 1 - cosα = 2sin2(α/2) = 2(α/2)2 = α2/2

2 D 2 sin 2 D cos

1 D h

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ α

= α

ư

=

∆

Suy ra,

R h

∆

=

2.3- Hệ số biến dạng khi cán

Từ giả thiết là thể tích của kim loại là không đổi trong quá trình biến dạng, ta

l b h

L B

h

H : hệ số biến dạng theo chiều cao

β

= b

B : hệ số biến dạng theo chiều rộng (hệ số dãn rộng) λ

= l

L : hệ số biến dạng theo chiều dài (hệ số dãn dài)

Từ biểu thức (2.11) chúng ta có thể biến đổi:

λ

=

=

f

F L

l hb

B H

(λ < 1) (2.12) Quá trình cán làm dãn tiết diện và tăng chiều dài

2.4- Hiện tượng tăng chiều dài vùng tiếp xúc l x

Trong công nghệ cán nguội, đặc biệt là khi cán nguội tấm rộng và mỏng, lực cán rất lớn Vì vậy, trục cán có lượng biến dạng đàn hồi lớn, mặt khác khi vật cán thì cùng với biến dạng dư (dẻo) có cả biến dạng đàn hồi Lượng biến dạng đàn hồi này khi phôi ra ngoài vùng tiếp xúc thì lập tức bị mất đi Do có biến dạng đàn hồi của trục cán và vật cán mà chiều dài cung tiếp xúc của vùng biến dạng tăng lên Giả thiết rằng, đại lượng tăng lên đó là x2

Ký hiệu lượng biến dạng đàn hồi của trục cán là y1, lượng biến dạng đàn hồi của vật cán là y2 Để có được một đại lượng biến dạng ∆h/2 phải thu hẹp khe hở giữa hai trục cán lại, nghĩa là phải giảm khoảng cách hai tâm trục một khoảng là y1 + y2

Từ hình (2.2), A1 và A2 là điểm tiếp xúc của phôi với trục cán khi có nén đàn hồi và không có nén đàn hồi; B2 và B3 và C là các điểm thể hiện khi phôi không có nén đàn hồi và có nén đàn hồi (B2C và B3C)

Đường tiếp xúc bình thường giữa trục cán và phôi là A2B2C

lx = x1 + x2

Ta xét 2 tam giác: A2B2C và B1CO:

x12 = R2 - (R - B3D)2

x2 2 = R2 - (R - B1B3)2 Vậy,

3 1 2

2 3

2

hoặc là:

3 1

2 3 1 2 2 3

2 3 2 2

Bỏ qua các đại lượng vô cùng bé so với bán kính trục cán R, ta có:

3 1 3

x 2R.B D 2R.B B

Từ hình ta thấy,

B3D = ∆h/2 + y1 + y2

2

h

⎠

⎞

⎜

⎝

= Hoặc, lx = R∆h+2R(y1+y2) (+ y1+y2)2R (2.16)

Trị số y1 và y2 là các giá trị nén đàn hồi có biểu thức tính gần đúng như sau:

2

2 P 2

1

2 P 1

E

1 q 2 y

E

1 q y

2 1

π

à

ư

≈ π

à

ư

≈

trong đó, q: áp lực nén thuỷ tĩnh, trị số của q có thể biểu thị qua áp lực P trên bề

àP1, àP2: hệ số Poisson của trục cán và kim loại

E1, E2: môđun đàn hồi của trục cán và kim loại

Đưa giá trị của y1 và y2 vào biểu thức (2.17), ta có:

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

π

à

ư + π

à

ư

=

2

2 P 1

2 P 2

E

1 E

1 RP 8

Vì khi cán tấm mỏng thì chiều dày của thép tấm so với đường kính trục cán

A1

A2

B1

B3

B2

H

∆h/2

y1

y2

h

x1 x2

lx

Hình 2.2- Sơ đồ xác định chiều dài

cung tiếp xúc khi tính biến dạng đàn

hồi của trục và vật cán.

là rất bé nên phần nén đàn hồi của vật cán có thể bỏ qua (E2 ≈ ∞), cho nên:

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ π

à

ư

=

1

2 P 2

E

1 RP 8

2.5- Các đặc điểm động học trong vùng biến dạng

Quá trình cán so với các quá trình gia công kim loại bằng áp lực khác có những đặc điểm sau đây:

- Cần thiết phải có lực ma sát tiếp xúc dù cho phải tiêu tốn năng lượng nhiều hơn

- Luôn luôn tồn tại một vùng không biến dạng tiếp giáp với vùng biến dạng (tồn tại một vùng cứng bên ngoài vùng biến dạng) Vì vậy mà sự phân bố biến dạng, tốc độ biến dạng và ứng suất trong vùng biến dạng là không đồng đều

Người ta nghiên cứu ảnh hưởng của lực ma sát tiếp xúc của vùng không biến dạng kề sát vùng biến dạng đến sự phân bố ứng suất, phân bố biến dạng và tốc độ di chuyển của các chất điểm kim loại trong vật thể biến dạng, thông qua hình dáng hình học của vùng biến dạng được thể hiện qua tỷ số giữa chiều dài cung tiếp xúc

và chiều cao trung bình của vật cán trong vùng tiếp xúc (lx/hTB)

Như ta đã biết, trên dộ dài cung tiếp xúc bao giờ cũng tồn tại lực ma sát gọi là lực ma sát tiếp xúc Vì rằng giữa bề mặt trục cán và kim loại có sự trượt đồng thời, trị số lực ma sát này làm ảnh hưởng đến sự phân bố ứng suất và biến dạng trong vật thể phôi cán Lực ma sát bao giờ cũng kìm hãm (cản trở)

sự di chuyển của các chất điểm kim loại trong vật cán, ảnh hưởng của sự kìm hãm này càng xa bề mặt tiếp xúc càng giảm đi (tính theo chiều cao vật cán) Vì vậy mà các chất điểm của kim loại ở vùng tâm phôi cán

có khả năng di chuyển nhanh hơn (tốc độ lớn hơn) so với các chất điểm trên bề mặt tiếp xúc Nếu như chiều cao hTB càng lớn (khi biến dạng trượt được xảy ra trên toàn bộ chiều cao) thì tốc độ di chuyển của các chất điểm ở chính giữa phôi càng lớn (xem hình 2.4)

1 Tốc độ vùng bên ngoài tiết diện

2 Tốc độ vùng tâm tiết diện

3 Tốc độ trung bình trong tiết diện

4 Đồ thị tốc độ của vùng không biến dạng

5 Đồ thị tốc độ ở vùng ngoài vùng biến dạng phía phôi đi vào trục

6 Đồ thị tốc độ ở vùng trễ

O

∆h/2 α

O

R

R α

h H

Hình 2.3- Sơ đồ vùng biến dạng

và các vùng lân cận.

hTB

lx

7 Đồ thị tốc độ ở tiết diện trung bình

8 Đồ thị tốc độ ở vùng vượt trước

9 Đồ thị tốc độ của vùng ngoài vùng biến dạng lúc phôi ra khỏi trục cán

10 Đồ thị tốc độ của vùng không biến dạng (cán xong)

Lực ma sát ảnh hưởng

đến sự phân bố ứng suất trong vùng biến dạng khi lx/hTB > 0,5 ữ 1 được thể hiện trên hình 2.4

Như ở hình 2.5 chúng ta hiểu rằng ở vùng kề sát bề mặt tiếp xúc, do tồn tại

ma sát và có sự biến đổi tốc độ nên các chất điểm kim loại chịu sự lôi kéo đồng thời với lực nén của trục cán ở vùng giữa tâm phôi và ảnh hưởng vùng ngoài vùng tiếp xúc đến biến dạng và ứng suất là rất lớn, sự phân bố tốc độ không đồng đều tăng lên, biến dạng của các lớp gần bề mặt tiếp xúc mãnh liệt hơn, cho nên xảy ra hiện tượng kéo mãnh liệt các lớp bên trong tâm phôi Do đó, vùng trong tâm của phôi chịu ứng suất kéo rất lớn Hậu quả có thể gây ra các vết nứt trong phôi rất lớn, thậm chí có thể tạo ra những lỗ hổng

1-1, 5-5: giả thiết ứng suất bằng 0

2-2: tiết diện đi vào vùng biến dạng

3-3: tiết diện trung hoà 4-4: tiết diện phôi ra khỏi vùng biến dạng

(-): ứng suất kéo

(+): ứng suất nén

Khi vật cán vừa tiếp xúc với trục thì ứng suất kéo tạo điều kiện cho các chất

điểm chuyển động với một tốc độ nhanh lên Tại tiết diện kim loại ra khỏi trục cán thì các chất điểm có phần bị kìm hãm lại làm chậm trễ sự chuyển động của các chất

điểm ở vùng giữa phôi cán (hình 2.6)

Hình 2.6a: 1 Vùng không biến dạng

2 Vùng đàn hồi

5 Vùng đàn hồi

6 Vùng sau cán

1

4 5 6 7 8

9 10

v1

vF.cosγ

b)

Hình 2.4- Đồ thị tốc độ vật cán tại các tiết

diện khác nhau (a) và biểu đồ phân bố tốc độ

theo chiều cao tiết diện (b) khi B/h > 0,5 ữ 1

Hình 2.5- Biểu đồ phân bố ứng suất pháp theo

chiều cao tiết diện vật cán khi l/h > 0,5 ữ1

Hình 2.6b: Điều kiện: D.cosα > hH

(-): ứng suất kéo (+): ứng suất nén

2.6- Trễ và vượt trước trong vùng biến dạng khi cán

2.6.1- Khái niệm

Giả thiết ta có một sơ đồ của quá trình cán như hình 2.7 Hai trục cán có

cùng một tốc độ quay là VB, ký hiệu tốc độ của vật cán lúc vào cùng biến dạng là

VH và lúc ra khỏi vùng biến dạng là Vh

Khi quan sát sơ đồ của quá trình cán ở hình 2.7, ta nhận thấy rằng:

VH < VBcosα < Vh

* Ta chứng minh: VH < Vh Trên cơ sở của giả thiết không thay

đổi thể tích trong qúa trình biến dạng H.B.L = h.b.l hay F.L = f.l (2.23) với: F, f: diện tích tiết diện vật cán trước

và sau khi cán

Trên cơ sở biểu thức 2.23, ta chia 2

vế cho một thời gian t nào đó, ta có:

F.L/t = f.l/t suy ra: F.VH = f.Vh (2.24) Quá trình cán làm giảm diện tích tiết diện nghĩa là F > f Vậy thì muốn cho

biểu thức 2.24 được thoả mãn thì phải có điều kiện VH > Vh

Vì ta khảo sát sự chuyển động của phôi theo phương nằm ngang (phương

cán) cho nên để so sánh tốc độ VH và Vh với tốc độ của trục cán VB thì tốc độ này

cũng phải được chiếu lên phương nằm ngang (hình 2.7) nghĩa là ta so sánh giữa VH

và VBcosα (α là góc ăn)

Tại tiết diện mà ở đó phôi ra khỏi trục cán thì α = 0 và cosα = 1, nên VB =

VBcosα khi cosα = 1 ta nhận được chính giá trị tốc độ dài của trục cán Vậy tốc độ

quay của trục cán khi chiếu lên phương nằm ngang có giá trị biến đổi theo góc α

Hình 2.6- Biểu đồ tại các tiết diện khác nhau khi l x /h TB < 0,5 ữ 1

a) Biểu đồ tốc độ

b) Biểu đồ phân bố ứng suất theo phương cán

a) b)

VB

h

Px

P α

VB

Hình 2.7- Sơ đồ tốc độ cán.

H

VB

VBcosα

Chúng ta biểu thị hàm số tốc độ của trục cán theo góc α trên độ dài cung tiếp xúc như hình 2.8

Khi quan sát tốc độ di chuyển của các chất điểm của vật cán ta thấy: vật ván di chuyển được là nhờ tốc độ của trục cán truyền cho nó Về mặt vật lý thì trên thực tế bao giờ cũng có hiện tượng trượt trên bề mặt tiếp xúc có nghĩa là hiệu suất truyền tải tốc độ bao giờ cũng < 1, có nghĩa

là luôn có sự cản trở quá trình ăn vào của vật cán cho nên ta luôn có điều kiện VBcosα > VH Càng đi vào vùng biến dạng, hiện tượng trượt giảm đi vì sức nén của trục cán lên kim loại mãnh liệt hơn và đến một tiết diện nào đó thì hiệu suất truyền tải của tốc độ sẽ bằng 1, có nghĩa là VBcosα = VH Tại tiết diện này người ta gọi là tiết diện trung hoà, trên hình 2.8 là tiết diện I-I

Khi các chất điểm của vật cán vượt qua tiết diện này thì nó sẽ nhận được một tốc độ của trục cán truyền cho cùng với tốc độ của bản thân nó để đảm bảo được sự cân bằng thể tích dịch chuyển qua từng tiết diện trong một đơn vị thời gian Vì vậy,

ta luôn có VBcosα < Vh trên cơ sở phân tích về tương quan giữa tốc độ di chuyển của phôi và của trục cán được thể hiện trên hình 2.8 Như vậy là trên một độ dài cung tiếp xúc trong vùng biến dạng, sự chênh lệch tốc độ tạo nên 2 vùng phân cách bởi một tiết diện mà tại đó VBcosα = VH = Vh, ta gọi là tiết diện trung hoà Vùng (1) tốc độ của phôi nhỏ hơn tốc độ của trục cán (VBcosα), ta gọi là vùng trễ Vùng (2) tốc độ của phôi lớn hơn tốc độ của trục cán (VBcosα), ta gọi là vùng vượt trước

Ký hiệu γ là góc ở tâm chắn bởi phần cung tiếp xúc thuộc vùng vượt trước và

được gọi là góc trung hoà Góc ở tâm chắn bởi cung thuộc vùng trễ sẽ là (α - γ)

Nhiều công trình nghiên cứu người ta nhận thấy rằng, nếu như độ dài cung tiếp xúc lx khá lớn thì không phải chỉ có tiết diện trung hoà mà có cả một vùng trung hoà Vùng này người ta gọi là vùng dính Có nghĩa rằng, trên vùng này không tồn tại sự trượt trên bề mặt tiếp xúc, lực ma sát

có giá trị rất bé τ → 0 và đổi dấu Đồ thị tốc độ trong trường hợp này như hình 2.9

Từ những khái niệm đã tình bày trên đây ta nhận thấy rằng, hiện tượng trễ và

lx

I

VH

VB Vh

VBcosα

1

2

Hình 2.8- Sơ đồ tốc độ trục và vật cán

lx

Vùng

trễ

VH

VB Vh

VBcosα

1

2

Hình 2.9- Sơ đồ tốc độ trục và vật cán

khi tồn tại vùng dính

Vùng dính

Vùng trượt

γ1

γ2

vượt trước là một quá trình động xảy ra một cách tự nhiên trong vùng biến dạng Độ lớn của từng vùng có thể thay đổi tùy theo các thông số công nghệ xảy ra trong vùng biến dạng, kể cả các thông số hình học của vùng biến dạng Vì vậy, việc xác

định độ lớn của từng vùng, nhất là trị số vượt trước có ý nghĩa thực tế trong công nghệ cán

2.6.2- Các phương pháp xác định hệ số vượt trước

Trên cùng một vòng tròn của trục cán (tại một tiết diện của trục cán), người

ta đánh dấu 2 vị trí m1 và m2, khoảng cách m1m2 = lB Sau khi cán với một lượng ép

∆h = H - h, hai vết m1 và m2 để lại dấu trên bề mặt vật cán là m1’ và m2’ có khoảng cách m1’m2’ = l1 So sánh hai độ dài lB và l1 ta nhận thấy: l1 > lB

Vậy, lượng vượt trước tuyệt đối

mà ta nhận được là:

Sh = l1 - lB (2.25) Lượng vượt trước tỷ đối:

1 l

l

% l

l l

% S

B

1 B

B 1

Giả thiết trong một thời gian t nào đó ta đạt được các độ dài trên, nghĩa là:

1 cos V

V 1

t l t

l

% S

B

h B

1

γ

=

ư

Với giá trị của lượng vượt trước đo được, khi biết vận tốc cán Vh và vận tóc trục VB ta có thể tính được cosγ và do đó suy ra được góc γ (góc trung hoà)

Chúng ta biết rằng, tốc độ của vật cán lúc ra khỏi vùng biến dạng có điều kiện: Vh > VBcosϕ (ϕ: góc chưa xác định) (2.28)

Trong trường hợp này, lượng vượt trước sẽ được tính:

1 cos V

V cos

V

cos V V

% S

B

h B

B h

ϕ

= ϕ

ϕ

ư

ϕ

=

+

cos V

V 1

% S

B

h

Từ điều kiện thể tích không đổi và giả thiết rằng lượng dãn rộng ∆b = 0 (∆b không đáng kể) Từ biểu thức (2.30) ta biến đổi như sau:

VB

h

m1

P

VB

Hình 2.10- Sơ đồ xác định lượng

vượt trước bằng thực nghiệm.

H

lB

V1

m2

m2’

m1’

l1

cos h cos V

V 1

% S

B

h h

γ

= ϕ

=

Vì H.B.L = h.b.l (b = B) nên: H.L = h.l hoặc H.L/t = h.l/t

Do đó, H.VH = h.Vh = hγ.VBcosγ (2.32)

trong đó, hγ: chiều cao vật cán tại tiết diện trung hoà

Từ (2.32) ta rút ra:

h

cos V h

Thay (2.33) vào (2.30) ta rút ra đ−ợc (2.31) Vì ta đang xét tại tiết diện phôi

ra khỏi trục cán nên góc ϕ = 0 Từ (2.30) ta suy ra:

h

cos h

%

Khi xét mối liên hệ giữa các thông số hình học ta có: ∆hmax = D(1 - cosα) Với biểu thức này, nếu nh− ta tính l−ợng ép tại tiết diện trung hoà thì ta có thể viết:

∆hγ = hγ - h = D(1 - cosγ) (2.35)

Đ−a biểu thức (2.36) vào (2.34), ta có:

1 h

cos h cos 1 D

%

Trong (2.37) để tìm đ−ợc Sh% cần phải xác định đ−ợc cosγ là chủ yếu Từ (2.35) ta tìm đ−ợc:

D

h 1

−

=

2 1 cos 2

2 sin 2 cos 1

2 2

2 γ = γ ⇒ γ= −γ

= γ

Từ (2.38) và (2.39) ta có:

2

1 D

h h 1

2

γ

−

=

−

Từ điều kiện thể tích không đổi, ta có:

hγ bγ = (1 + Sh%)h.b Khi ta coi tốc độ của vật cán tại tiết diện trung hoà Vγ bằng tốc độ của trục cán VB (Vγ ≈ VB, góc γ rất bé) Từ điều kiện trên ta tìm đ−ợc giá trị chiều cao vật cán tại tiết diện trung hoà

γ

γ = +

b

b h

% S 1

Thay (2.41) vào (2.40) ta có: