Chuyên toán TP HCM

Đường trịn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lựơt tại D, E, F.. 2 Chứng minh rằng KI vuơng gĩc với AD.. Câu III: Cho gĩc vuơng xAy và hai điểm B, C lần lượt trên các ti

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2008

TRƯỜNG PHỔ THƠNG NĂNG KHIẾU Mơn thi : TỐN CHUYÊN

Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao dề

Câu I:

1) Cho phương trình x2 – mx + 2m -2 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng (1) khơng thể cĩ hai nghiệm đều âm;

b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của (1) Chứng minh rằng biểu thức

2 2

1 2

x 2x 2 x – 2x 2

x x

+ khơng phụ thuộc vào giá trị của m.

2) Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

2 2

 = +



= +



 = +



Câu II:

Cho tam giác ABC khơng cân Đường trịn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lựơt tại D, E, F Đường thẳng EF cắt AI tại J và cắt BC nối dài tại K

1) Chứng minh các tam giác IDA và IJD đồng dạng

2) Chứng minh rằng KI vuơng gĩc với AD

Câu III:

Cho gĩc vuơng xAy và hai điểm B, C lần lượt trên các tia Ax, Ay Hình vuơng MNPQ cĩ các đỉnh M thuộc cạnh

AB, đỉnh N thuộc cạnh AC và các đỉnh P,Q thuộc cạnh BC

1) Tính cạnh hình vuơng MNPQ theo cạnh BC = a và đường cao AH = h của tam giác ABC

2) Cho B và C thay đổi lần lượt trên các tia Ax, Ay sao cho tích AB.AC = k2 (k khơng đổi) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình vuơng MNPQ

Câu IV:

Một số nguyên dương n được gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phương các chữ số của nĩ

1) Chứng minh rằng khơng tồn tại số bạch kim cĩ 3 chữ số

2) Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim

Câu V:

Trong một giải vơ địch bĩng đá cĩ 6 đội tham gia Theo điều lệ của giải, hai đội bĩng bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận, đội thắng được 3 điểm, đội hồ được 1 điểm và đội thua 0 điểm Kết thúc giải, số điểm của các đội lần lượt là D1, D2, D3, D4, D5, D6 (D1≥ D2 ≥ D3 ≥ D4 ≥ D5 ≥ D6) Biết rằng đội bĩng với số điểm D1 thua đúng một trận và D1 = D2 + D3 = D4 + D5 + D6 Hãy tìm D1 và D6

GIẢI CÂU 1: 1) a) (1) có 2 nghiệm đều âm ⇔



⇒ không có giá trị m nào để phương trình có 2 nghiệm đều âm

⇒ (1) không thể có 2 nghiệm đều âm

b) Với m 4 2 2 hoặcm 4 2 2> + < − thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2, theo hệ thức Vi-ét:

x1 + x2 = m; x1x2 = 2m – 2

2 2

1 1

Do đó biểu thức đã cho có thể viết: (m-2)2(x1 – 2)(x2 – 2) : ( 2 2)

1 2

x +x

=

m 2− x x −2 x x+ +4 : x x + −2x x = m 2− 2m 2 2m 4 : m− − + −4m 4+ =2

2) Từ hệ đã cho suy ra x, y, z ≥ 0 Do x, y, z trong hệ có vai trò như nhau nên ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 0

Với x ≥ y ⇔ y2 + z2 ≥ z2 + x2⇔ y2 ≥ x2⇔ y ≥ x , mà x ≥ y ⇒ x = y

Với x ≥ z ⇔ y2 + z2 ≥ x2 + y2⇔ z2 ≥ x2⇔ z ≥ x , mà x ≥ z ⇒ x = z

do đó x = y = z Thế vào 1 trong các phương trình của hệ được phương trình: x = 2x2⇒ x = y = z = 0;

x = y = z = ½

CÂU II:

1) ∆AIE vuông tại E đường cao EJ có IA IJ = IE2 = ID2⇒ IA IDID = IJ

∆IDA và ∆IJD có góc I chung và IA ID

ID = IJ nên ∆IDA ~ ∆IJD (c.g.c) 2) Gọi H là giao điểm của KI và AD

KJID nội tiếp ⇒ ·IKJ IDJ=· (1)

∆IDA ~ ∆IJD ⇒ ·IAD IDJ=· (2)

(1), (2) ⇒ ·IKJ IAD= · ⇒ AKHJ nội tiếp ⇒ ·AHK AJK 90=· = 0 hay KI ⊥ AD

CÂU III:

1) Đặt cạnh hình vuông là x MN//BC ⇒ MN AM x AM

BC = AB ⇔ =a AB

AH = AB ⇔ =h AB

a h+ = AB AB+ = ⇒ =a h+

2)

SMNPQ = x2 = ( )

2

(BĐT Cơ – si cho 2 số a2

4 và h2; a2 = b2 + c2 ≥ 2bc = 2k2 ) MaxSMNPQ =

2 2k

2 2

4 = ⇔ = ⇔∆ABC vuơng cân tại A.

CÂU IV:

Giả sử n là số bạch kim cĩ 3 chữ số, n dạng abc

Cách 1: ta cĩ : 100a + 10b + c = a2 + b2 + c2

dễ thấy 10b > b2

100a = 90a + 10a > c2 + a2 (Do c2 ≤ 81 < 90 ; a2 < 10a)

nên khơng tồn tại n cĩ nhiều hơn 3 chữ số

Cách 2: Ta cĩ abc = 100a + 10b + c = a2 + (100 – a)a + 10b + c

do 10b ≥ b2 ; 100 – a > 90 và a ≥ 1 ⇒ (100 – a)a ≥ 90 > c2

Do đĩ: abc > a2 + b2 + c2

*Ta chứng minh mọi số tự nhiên cĩ nhiều hơn 3 chữ số cũng khơng phải là số bạch kim

Đặt a a a là số tự nhiên cĩ k chữ số với k ≥ 4, trong đĩ 1 ≤ a1 ≤ 9, 0 ≤ ai ≤ 9, với mọi i = 1 2 k 2,k

Ta cĩ: a a a = 101 2 k k-1.a1 + 10k-2.a2 + … + 10ak-1 + ak

Với i = 2,k 1− thì 10k-i.ai ≥ a (1)2i

Và 10k-1a1 = a + (1021 k-1 – a1)a1 >a + 990 > 21 2 2

1 k

a +a (vì k > 3) (2) (1), (2) ⇒ a a a = 101 2 k k-1.a1 + 10k-2.a2 + … + 10ak-1 + ak > a12+ + +a a22 2k

Vậy khơng cĩ số bạch kim nào cĩ nhiều hơn 3 chữ số

⇒ n chỉ cĩ thể cĩ 1 chữ số hoặc 2 chữ số

Với n là số cĩ 1 chữ số : dễ nhận thấy n= 1 (n = 0 loại)

với n là 2 số cĩ chữ số : cĩ dạng ab = 10a + b = a2 + b2 ⇔ ( 10 - a )a = ( b - 1 )b

Vi ( b - 1 )b chẵn ⇒ a chẵn

thử lần lượt với các giá trị của a : 2 , 4 , 6 , 8 được hai kết quả của phép (10 – a)a là : 16 và 24, nhận thấy khơng cĩ giá trị b thỏa mãn Vậy chỉ cĩ 1 là số bạch kim

CÂU V:

Theo giả thiết, ta cĩ: D1 ≥ D2 ≥ D3 ≥ D4 ≥ D5 ≥ D6 (*)

và D1 = D2 + D3 = D4 + D5 + D6

A

I E

D

F

K

J

H

M

Q

P

C H

B

Tổng điểm các đội khi kết thúc giải là S = D1 + D2 + D3 + D4 + D5 + D6 = 3 D1

Tổng sồ trận là 6.5 15

2 = Tổng số điểm mỗi trận là 2 điểm (2đội Hòa) hoặc 3 điểm (thắng – bại) , do đó S ≥ 1.3 + 14 2 = 31

(có ít nhất 1 trận có kết quả là thắng-bại - giả thiết: D1 thua đúng 1 trận nên có tối đa 14 trận hòa)

⇒ D1 ≥ 31 10,3

3 ≈ ⇒ D1 ≥ 11 ( 1)

D1 thua đúng 1 trận nên D1 ≤ 4.3 = 12 (D1 có không quá 4 trận thắng) (2)

(1), (2) ⇒ D1 = 11; 12

Mặt khác, 11 ≤ D1 = D2 + D3 ≤ 12 , và D2 ≥ D3 nên D2 ≥ 6 và D3 ≤ 6 (3)

11 ≤ D1 = D4 + D5 + D6 ≤ 12 và 3 D6 ≤ D4 + D5 + D6 ≤ 3D4 ≤ 3D3 ⇒ D3 ≥ D4 ≥ 11 3,6

3 ≈ và D6 ≤ 12:3 = 4.

⇒ D3 ≥ D4 ≥ 4 và D6 ≤ 4

Gọi x, y, z lần lượt là tổng số trận thắng, hòa, bại của các đội Ta có x + y + z = 15.2 = 30 (do mỗi trận tính 2 lần)

và x = z ⇒ 2x + y = 30

Do mỗi trận thắng-bại chỉ có 1 đội được 3 điểm, mỗi trận hòa mỗi đội 1 điểm nên tổng điểm của giải là: 3x + y = S hay 3x + y = 3D1 (vì S = 3D1)

* Nếu D1 = 11 thì ta có hệ : 2x y 30 x 3

Vậy có 3 trận thắng, 24 trận hòa (4)

Do D1 = D2 + D3 và D2 ≥ 6, D3 ≤ 6, ta viết 11 = 7 + 4

= 6 + 5

Cả 2 trường hợp trên có nghĩa là D1 thắng 3, hòa 2(chú ý mỗi đội tham gia 5 trận); D2 thắng ít nhất một trận, vì nếu

cả 5 trận hòa và thua thì D2 ≤ 5 (mâu thuẫn D2 ≥ 6) ⇒ Tổng số trận thắng của giải là 4 (không thỏa (4))

Vậy D1 = 11 không thỏa

* Nếu D1 = 12 thì ta có hệ: 2x y 30 x 6

Vậy có 6 trận thắng, 18 trận hòa.

Do D1 = D2 + D3 ta viết 12 = 6 + 6

D1 = D2 + D3

12 = 6 + 6

t=4 t=1 t=1

h=0 h=3 h=3

Tổng trận thắng của D1, D2, D3 là 6 ⇒ tổng trận thắng của 3 đội D4, D5, D6 là 0 ⇒D4 ≤ D5 ≤ 5 (**)

Triển khai các trường hợp theo tính chất (*), (3) và (**)

D1 = D2 + D3 = D4 + D5 + D6

* 12 = 6 + 6 = 5 + 5 + 2 (a)

t=4 t = 1 t=1

h=0 h =3 h=3 h=5 h=5 h=2

b=1 b=1 b=1 b=3

* 12 = 6 + 6 = 5 + 4 + 3 (b)

t=4 t=1 t=1

h=0 h=3 h=3 h=5 h=4 h=3

b=1 b=1 b=1 b=1 b=2

* 12 = 6 + 6 = 4 + 4 + 4 (c)

t=4 t=1 t=1

h=0 h=3 h=3 h=4 h=4 h=4

b=1 b=1 b=1 b=1 b=1 b=1

Xét trường hợp (a): x = 6; y = 18 ; z = 6 (thỏa)

Xét trường hợp (b): x = 6; y = 18 ; z = 6 (thỏa)

Xét trường hợp (c) : x = 6; y = 18 ; z = 6 (thỏa)

Kết luận: D1 = D2 + D3 = D4 + D5 + D6

12 = 6 + 6 = 5 + 5 + 2

12 = 6 + 6 = 5 + 4 + 3

12 = 6 + 6 = 4 + 4 + 4 Vậy: D1 = 12; D6 = 2; 3; 4