Gồm Đề, đáp án HSG chi tiết lớp 8 môn Toán thi ở thời điểm chương trình giữa tháng 4. Rất phù hợp cho các nhà trường, thầy cô, các em học sinh thi thử cho các đội tuyển, qua đó nắm bắt chất lượng. Cảm ơn mọi người đã quan tâm. đt 0962 78 26 26.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THIỆU HÓA
TRƯỜNG THCS THIỆU VẬN
-ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao
đề)
Câu I: (4,0 điểm)
Cho biểu thức A 24xy 2 : 21 2 2 1 2
1) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định
2) Rút gọn A
3) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 +2x –2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?
Câu II: (4,0 điểm)
1 Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x 2 x 4 x 6 x 8 2019
cho đa thức x2 10x21
2 Giải phương trình sau:
(2x x 2019) 4(x 5x 2018) 4(2x x 2019)(x 5x 2018)
Câu III: (4,0 điểm)
1 Tìm các cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn: x6 x4 2x3 2x2 y2
2 Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn: x2 y2 z2 Chứng minh rằng:
x y xy chia hết cho 84
Câu IV: (6,0 điểm)
1 Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N
a Chứng minh rằng AB1 CD1 MN2
b Biết SAOB= 20182 (đơn vị diện tích); SCOD= 20192 (đơn vị diện tích) Tính
SABCD
2 Cho tam giác ABC vuông tại A Xác định điểm M trong tam giác sao cho tổng các bình phương các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác đạt giá trị nhỏ nhất
Câu V: (2,0 điểm)
Cho x y z , , 0 và x y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
HẾT
-Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh:…………
Trang 2PHÒNG GD&ĐT THIỆU HÓA
TRƯỜNG THCS THIỆU VẬN
-ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn thi: Toán
.
I.1 Tìm đkxđ A
1,25
Điều kiện: x y; y0
I.3
Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị
nguyên dương của A
Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1
2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1
2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2
A = 2 – (x – y + 1)2 2 (do (x – y + 1) 0 (với mọi x ; y)
A 2
+ A = 2 khi
x y 1 0 2x x y 2
x y;y 0
1 x 2 3 y 2
+ A = 1 khi
2 (x y 1) 1 2x x y 1
x y;y 0
Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị
của x và y, chẳng hạn:
2 1 x
2
2 3 y
2
+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2
0,25
0,25
0,25
II.1 1. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức
x 2 x 4 x 6 x 8 2019 cho đa thức x2 10x21 2,0
P x x x x x x x x x 0,5
Đặt 2
tx x t t , biểu thức P(x) được viết lại:
Do đó khi chia t2 2t 2004 cho t ta có số dư là 2004
(2x x 2019) 4(x 5x 2018) 4(2x x 2019)(x 5x 2018) 2,0
Trang 3Đặt:
2
2
5 2018
a x x
b x x
0.25
Phương trình đã cho trở thành:
a b ab a b a b a b
0.5
Khi đó, ta có:
2x x 2019 2( x 5x 2018) 2x x 2019 2 x 10x 4036 0.5
2017
11
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2017
11
III.1
1 Tìm các cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn: x6 x4 2x3 2x2 y2 2,0
Đặt M = x6 x4 2x3 2x2 = x x2 4 x2 2x 2
= x2 x4 2x21 x22x1
= x2x2 12x 12
= x2 x1 2 x12x12
= x x2 1 2 x121
- Với x = 0 thì M = 0 y = 0
- Với x = 1 thì M = 4 y = 2
- Với x 2 lập luận được x 12 1 không chính phương.
Vậy có 2 cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn là (0; 0) và (1; 2).
0,5 0,25 0,25 0,75 0,25
III.2 2 Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn : x2 y2 z2
Chứng minh rằng: x y xy3 3chia hết cho 84 2,0
- Nhận xét :
1) Số chính phương khi chia cho 3 và chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
2) Số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0, 1, 2, 4.
- Ta chứng minh x y xy3 3 xy x( 2 y2) chia hết cho 3, 4, 7.
0,25
- Giả sử xy không chia hết cho 3 thì x, y đều không chia hết cho 3, khi đó x 2 và y 2
chia cho 3 đều dư 1, khi đó x2 y2 z2 chia cho 3 dư 2, vô lí.
Nên xy chia hết cho 3 (1)
0,25
- Giả sử xy không chia hết cho 4 thì x, y đều không chia hết cho 4; x và y đồng thời
- Nếu x, y đều lẻ thì x 2 và y 2 chia cho 4 đều dư 1, khi đó x2 y2 z2 chia cho 4
- Nếu x, y có một số chẵn, một số lẻ thì z là số lẻ Giả sử :
2
( 1) ( 1) 2 2
a
0,25
Trang 4x
( vô lí)
Suy ra xy chia hết cho 4 (2)
- Giả sử x y xy3 3 xy x( 2 y2) không chia hết cho 7 Khi đó x 2 và y 2 đều
không chia hết cho 7 và không có cùng số dư khi chia cho 7. 0,25
- Nếu x 2 chia cho 7 dư 1 còn y 2 chia cho 7 dư 2 hoặc ngược lại thì z 2 chia cho 7 dư
- Nếu x 2 chia cho 7 dư 1 còn y 2 chia cho 7 dư 4 hoặc ngược lại thì z 2 chia cho 7 dư
5, vô lí.
- Nếu x 2 chia cho 7 dư 2 còn y 2 chia cho 7 dư 4 hoặc ngược lại thì z 2 chia cho 7 dư
6, vô lí.
Nên x y xy3 3 xy x( 2 y2) chia hết cho 7 (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra x y xy3 3chia hết cho 84
0,25
IV.1
N M
O
B A
a) Xét ABDcó OM AB DM AD (1), xét ADCcó OM DC AM AD (2)
Từ (1) và (2) OM.( AB1 CD1 ) 1
AD
AD AD
DM AM
Chứng minh tương tự ON.( 1 1 ) 1
CD AB
Từ đó có (OM + ON).( 1 1 ) 2
CD
2 1 1
0.5 0.5 0.5 0.5 b) S S OD OB
AOD
AOB
, S S OD OB
DOC
BOC
AOD
AOB
S
S
DOC
BOC
S
S
AOD BOC DOC
Dễ có SABD = SABC vì có chung cạnh đáy AB và chiều cao tương ứng
Chứng minh được S AOD S BOC S AOB.S DOC (S AOD)2
Thay số ta có: 20182.20192 = (SAOD)2 SAOD = 2018.2019
Do đó SABCD = SAOB +S AOD S BOC+SCOD
= 20182 + 2018.2019 +2018.2019 + 20192
= 20182 + 2.2018.2019 + 20192 = (2018 + 2019)2 = 40372 (đơn vị diện
tích)
0.5 0.5
1.0
Trang 5IV.2
M
C G
H B
E
F A
I
Kẻ đường cao AH, giả sử tìm được vị trí điểm M như hình vẽ
Từ M hạ ME, MF, MG, MI lần lượt vuông góc với AB, AC, BC, AH
Ta có: ME2 + MF2 + MG2 = AM2 + MG2
= AI2 + IM2 + MG2 AI2 + IH2 Dấu “=” xảy ra khi M thuộc AH (1)
Lại do AI2 + IH2 = (AH-IH)2 + IH2 = AH2 – 2HA.IH + 2IH2
= AH2 - (2HA.IH - 2IH2 ) = AH2 - 2IH.(HA - IH ) = AH2 – 2AI IH
Do AH không đổi nên ME2 + MF2 + MG2 nhỏ nhất khi AI IH lớn nhất
Mà AI + IH = AH không đổi nên AI.IH lớn nhất khi AI = IH =
2
AH
(2)
Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của AH
0.5 0.5
0.5 0.5
V Cho x y z , , 0 và x y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
P
2,0
Ta có:
2
2019
x
Theo bất đẳng thức Cô si thì 1 y2 2y (do y > 0)
y
Tương tự, ta có: 2019 2 2019 2019
y z
2019 2 2019 2019
z x
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có
3.2019
P x y z x y z xy yz zx
Mặt khác theo bất đẳng thức Cô si, ta có: 3 xy yz zx x y z 2
Vì x y z 3 xy yz zx 3
0,25
0,25
0,5
0,5
Trang 6Khi đó: 3.2019 3 2019 3 1 3 3030
P Vậy minP 3030 x y z 1
0,25
0,25
Chú ý:
- Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án
- Đối với câu 4 (Hình học):
+ Không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm.