de thi hoc sinh gioi toan 8

4đ Giải các phơng trình.. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.. c Gọi I là giao điểm của AH và BK hãy tìm điểu kiện của tam giác ABC để tam giác BCI là tam giác đều ?.

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Môn toán 8 năm học 2008 - 2009 (Thời gian 150 phút)

Bài 1.(3 đ) Rút gọn biểu thức

A

Bài 2 (4đ) Giải các phơng trình

a) (x 2008– )4 + (x -2010) 4 = 2

b) x− − 1 2 x− + 2 3 x− = 3 4

Bài 3.(3đ)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

2 3

x x B

x x

+ +

= + +

Bài 4 (3đ) Giải bất phơng trình

(a 1)x ax 1 1 (a 0)

a a

−

B i 5 (7 đ)à

Cho tam giác ABC ( cân tại A ) vẽ đờng cao AH , đờng cao BK a) Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng ? Giải thích tại sao ?

b) Cho AH = 10 cm , BK = 12 cm Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

c) Gọi I là giao điểm của AH và BK hãy tìm điểu kiện của tam giác ABC để tam giác BCI là tam giác đều ?

đáp án + biểu điểm

1

(3đ)

Rút gọn biểu thức

A

Điều kiện (a≠ 0,a≠ − 1,a≠ − 2,a≠ − 3,a≠ − 4,a≠ − 5)

( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5)

5 ( 5)

a

a a a a

+

1đ

1đ

0,5đ

0,5đ

2

(4đ)

Giải phơng trình

a) (x 2008– )4 + (x -2010) 4 = 2 (I)

Đặt y =x 2009– Ta có:

(I) ⇔ (y +1) 4 +(y 1)– 4 = 2

⇔ 2y 4 +12y 2 = 0

⇔ 2y 2 (y 2 +6 ) = 0

⇔ y = 0 ⇔ x -2009 = 0 ⇔ x = 2009

b) x− − 1 2x− + 2 3x− = 3 4 (II)

+ Nếu x <1 ta có (II) ⇔ - 2x + 6 = 4 ⇔x =1 (loại)

đúng với 1≤x<2

Vậy nghiệm của phơng trình (II) là x =5 hoặc 1≤x≤2

1 đ

1đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

3

(3đ)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

2 3

x x B

x x

+ +

= + +

Ta có

2 2

2 3

x x B

x x

+ +

= + + = 3 + 2

1

2 3

x + x+ = 3 + 2

1 (x+ 1) + 2 1 đ

Mà 3 + 2

1 (x+ 1) + 2 ≤ 3 + 1

2= 7

2

1đ

1 đ

4

(3đ)

Giải bất phơng trình

(a 1)x ax 1 1 (a 0)

a a

−

Với a≠ 0 ta có (III) ⇔( a+ 2)x > 2

a (*) (*) ⇔x > a a( 2+2) nếu a > - 2 và a ≠0

(*) ⇔0.x > 2

2

(*) ⇔ x < a a( 2+2) nếu a < - 2

1 đ

1 đ

1 đ

5

(7đ)

a) Các cặp tam giác vuông

đồng dang là:

∆ABH : ∆ACH

( vì có ãBAH CAH=ã )

∆ABH : ∆BCK

( vì có ãABH BCK=ã )

∆ACH : ∆BCK

( vì cùng đ/d với ∆ABH )

I K

H

A

b)Từ ∆ABH : ∆BCK ⇒ 10 5

12 6

AB AH

BC=BK = =

AB

BH AB BH

Ta lại có AB2 – BH2 = AH2

5

AB − AB = ⇒AB=

⇒ AC= AB = 12,5 cm

BC = 15 cm

1 đ

1đ

1đ

1đ

1đ

c) Chỉ ra đợc ∆BIC cân tại I

∆BIC cân tại I chở thành tam giác đều khi ã 0

60

IBC=

60

IBC HAB= ⇒ HAB= ã 0

120

BAC

⇒ = vậy để ∆BIC là tam giác đều thì ∆ABC phải cân tại A và à 0

120

A=

0,5đ 0,5 đ

1 đ