Bộ đề Học sinh giỏi toán 8

Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 26x + 24 c) x2 + 6x + 5 b) d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 Bài 2: (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: (6 + 7)(2 – 3) – (4 + 1) b) Tính giá trị biểu thức P = . Biết 2 – 2 2 = (x + y ≠ 0, ≠ 0). c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức .

TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG – LẦN 1 NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn thi: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2

3 4

3 8

tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?

Bài 4 : (2 điểm) Giải các phương trình sau:

Bài 5 : (2,75 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau

lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S

b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN làhình chữ nhật

d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC

e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng

Bài 6 : (0,5 điểm)

2 1

- Hết

3 8

1 1 2

1 3 1 2

1 3 2

3

1 2

c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị

nguyên dương của A

2

2 3 y

x x x

 x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình: S =

giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và

DA = BD (cạnh hình vuông) Suy ra AQ=AR,

A

b) AM và AN là đường trung tuyến của tam

0,25 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật

QR

Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông

SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C Hay MN là trung trực

của AC

e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C Nói cách

khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm

trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng

Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử:

DA lấy điểm I sao cho DI = DA Chứng minh rằng:

a/ AI = FH ; b/ DA  FH

Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD.

a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành.

Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A x x 1 x 3 x 4 x 6 10

- HẾT

-HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2

MÔN: TOÁN

Bài 1: (4 điểm)

AB=AF (gt), ABI FAH (cùng bù với BAC ),

BI = AH (cùng = AC)   ABI =  EAH (c.g.c)

 AI = FH (2 cạnh tương ứng).

b/ Gọi K là giao điểm của DA và FH ta có:

BAI FAK   90 0 , mà AFH BAI

A

I

H K

F

hay AFK  BAI nên   0

- Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành

ABCD, ta có O là trung điểm của BD.

- Chứng minh BEDF là hình bình hành

- Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của

EF

- Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O.

b/ Xét  ABD có M là trọng tâm, nên 1

PGD&ĐT THỌ XUÂN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

TRƯỜNG THCS LAM SƠN LẦN THỨ BA - NĂM HỌC 2014-2015

Môn thi: Toán Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút

F

E

Bài 1 (3,5 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử:

1) 18x 3 - 8

25x2) a(a + 2b) 3 - b(2a + b) 3

1) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định.

2) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 3 (3,0 điểm)

1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1

Tính giá trị của biểu thức: A =      

1) (1,5 điểm) Tìm dư khi chia x2015 + x 1945 + x 1930 - x 2 - x + 1 cho x 2 - 1

2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x2 + 3x + 4) 2

PGD&ĐT THỌ XUÂN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP TRƯỜNG

TRƯỜNG THCS LAM SƠN LẦN THỨ BA - NĂM HỌC 2014-2015

Môn: Toán Lớp 8

= a(a + b) 3 + 3ab 2 (a + b) + ab 3 - a 3 b - 3a 2 b(a + b) - b(a + b) 3

= (a + b)[a(a + b) 2 + 3ab 2 -ab(a - b) - 3a 2 b -b(a + b) 2 ] 0,5

= (a + b)(a 3 + 2a 2 b + ab 2 + 3ab 2 - a 2 b + ab 2 - 3a 2 b - a 2 b - 2ab 2 - b 3 ]

x

x x

10

x y

3 2

Với mọi x, ta có:

4

7 4

7 2

3 0

49 2

2

3 0

Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O là trung

Ta có: AO, BE là trung tuyến của  ABD Mà: AO cắt BE tại P nên P là trọng tâm của  ABD 0,5

0,5 0,5

3

Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM

Ta có: AE = ED, EI = EM  AMDI là hình bình hành

 AI // MD (1) Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2)

Từ (1), (2) và (3) suy ra I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB.

0,5 0,5

4

 KMI có E, F lần lượt là trung điểm của MI, MK

 EF là đường trung bình của  KMI

1 EF=

Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn thi: Toán Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 (3,0 điểm)

Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

12

ĐỀ MÃ SỐ 01

Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với

BC cắt BD ở E và cắt CD ở K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt

0,250,5b)

ĐỀ MÃ SỐ 01

0,5

0,250,25

b) Có thể chứng minh một trong hai cách sau:

0,250,25

0,250,50,250,5

0,250,25

0,25

0,250,25

0, 50,25

0,250,25

0,250,25

0,250,250,25

Vậy phương trình có nghiệm là 1 5

2 x 2

Cách 5:

0 1 5

Ta có: 2x 1 là khoảng cách từ điểm 2x đến điểm 1;

2x  5 là khoảng cách từ điểm 2x đến điểm 5

 2x 1  2x 5 là tổng các khoảng cách từ điểm 2x đến

điểm 1 và điểm 5

Tổng này bằng 4 khi điểm 2x ở giữa điểm 1 và 5 hoặc trùng

với điểm 1, hoặc trùng với điểm 5

0,250,25

0,25

0,250,25

0,25

16

Các giá trị trên đều thoả mãn ĐKXĐ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 0 ;1; 6

0,25

0,250,25

0,250,250,250,25

2

 (a + b)2 (1) Chứng minh: (1)  2a2 + 2b2  a2 + 2ab + b2

0,250,250,250,250,25b)

B = 2015x  5 với x là số nguyênXét x 3  x  3 0   B > 0Xét x 3 thì do x Z nên x 0;1; 2

0,5

AF AB=

FC IC (4) Mà: DK = IC (câu a) (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra: AE AF=

EK FC

AKC có AE AF=

EK FC  EF // KC (định lý Ta-lét đảo)  EF // CD

EF

= AB

2,0

0,250,250,250,50,250,5

2,0

0,50,5

0,50,5

2,0

0,250,250,50,5

18

 AB CD

EF

=

0,5

Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn thi: Toán Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 (2,0 điểm)

b) Tìm mọi số nguyên x sao cho x3 - 2x2 + 7x - 7 chia hết cho x2 + 3

a) Tam giác MHD đồng dạng với tam giác CMD

b) E là trực tâm tam giác ABN

Câu 6 (2,0 điểm): Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh CD vµ N lµ mét

Cách 2 f(x) = (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + 9

= x4 + 4x3 + 3x2 + 12x3 + 48x2 + 36x + 35x2 + 140x + 105 + 9

= x4 + 16x3 + 86x2 + 176x + 114

Vậy số dư trong phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 là - 6

Cách 3 Bậc của đa thức thương là 2 nên đa thức dư có dạng

ax + b

Gọi đa thức thương là Q(x), ta có:

(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 = (x2 + 8x + 12)Q(x) + ax + b Cho x = - 2, ta có: - 1.1.3.5 + 9 = - 2a + b

0,250,25

0,750,50,25

0,250,25

0,250,250,250,50,25

20

 (16x2 - 1)  (x2 + 3)  16(x2 - 3) - 49  (x2 + 3)

 49  (x2 + 3)

 x2 + 3 = 49, không có gía trị nào thoả mãn

0,5

0,50,25

a b

3

4 0 4

1 0

x

x x

x x x

0,5

0,50,25

 3x3 + 17x2 – 212x + 192 = 0

 (x – 1)(x + 12)(3x – 16) = 0



12 16 3 1

x x x

0,50,25

- Với b = 2, từ (3) ta có a = 1 Suy ra:

3 2 1

1

x x x

0,25

0,250,25

22

2 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  1

0,25

0,25

0,250,50,25

0,250,25

4

a)

HS có thể làm một trong hai cách sau:

Cách 1: Áp dụng tính chất a a, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

0,25

0,250,25

0,250,250,250,250,25

3 2x 1 2

2x 1 2

0,5

0,5

0 ,50,5

B

A

a)

Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của

tam giác ABC

1,25

0,25

0,25

24

6

E I F N

M

D

C B

A

Gọi I là trung điểm của BF, đường thẳng NI cắt BC tại E

Mà I là trung điểm của BF

 NI // AB và NI = 1

2AB Mặt khác AB // CD; AB = CD (ABCD là hình chữ nhật và M

là trung điểm của CD)

0,50,250,25

0,250,25

Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

Môn thi: Toán Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (2 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015

ĐỀ MÃ SỐ 03

Bài 2: (2,5 điểm)Cho biểu thức:

c b c a

b a c b

Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

6 (

1 )

6 )(

5 (

1 )

5 )(

4 (

y x c z x b z

1 2 2

z z

y x

z z

x y

x x

y z

y x y

z x x

z y

Chứng minh : BEODFO g c g(   )  BE = DF (0,5 điểm)

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành (0,25 điểm)

CD

CB CK

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI

Đề 1 Bài 1: a) Thực hiện phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2)

Bài 4: Cho  ABC vuông tại A Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở

B, ACE vuông cân ở C CD cắt AB tại M, BE cắt AC tại N

a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang

b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = 4 cm; MC = 5cm

c) Chứng minh AM = AN

Bài 5: Cho M là điểm nằm trong  ABC, từ M kẻ MA’  BC, MB’ AC, MC’  AB

b) Xác định a sao cho ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2

Vì ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2 nên x = 2 là nghiệm của đa thức ax3 - 2x - 4 , nên ta có: a

23 - 2 2 - 4 = 0  8a - 8 = 0  a = 1

Nghiệm của đa thức là các giá trị của x để

28

ACE vuông cân ở C CD cắt AB tại M, BE cắt AC tại N

a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang

MA ' MB' MC '

h  h  h = 1(Với ha, hb, hc là ba đường cao của tam giác hạ lần lượt từ A, B, C xuống ba cạnh của  ABC)Giải

Kẻ đường cao AH, ta có:

N

M

E D

C B

A

a) Trong ba số a, b, c có 1 số dương, 1 số âm và 1

số bằng 0; ngoài ra còn biết thêm a  b (b c) 2  Hỏi

số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0

b) Cho x + y = 1 Tính giá trị biểu thức A = x3 + y3 + 3xy

Câu 2: a) Giải phương trình: x 2 3 1   

b c c a    a b  

0 (b c)  (c a)  (a b)  

Câu 3: Cho tam giác ABC; gọi Ax là tia phân giác của BAC, Ax cắt BC tại E Trên tia Ex

a) BE EC = AE EH

Câu 4: Cho tứ giác ABCD Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BD tại E; từ B kẻ

đường thẳng song song với AD cắt AC tại F

x

C B

A

AB AC - BE EC = AE.AH - AE EH

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Hạ CE vuông góc với AB, CF

vuông góc với AD và BG vuông góc với AC Chứng minh:

Bài 4: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có Â = 600 Một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của tia BA và DA lần lượt tại M và N

a) Chứng minh: Tích BM DN có giá trị không đổi

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM Tính số đo góc BKD

E

C B A

Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có:

AB AE + AF AD = AC AG + AC CG

2 2

Câu 3: Cho a, b, c thoã mãn: 1 1 1 1

a b c a b c  

Tính giá trị của biểu thức: A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3)

Câu 4: Cho ABC có A 2B 4C 4        Chứng minh: 1 1 1

ABBC CA

Câu 5:

a) Chứng minh rằng: tích BD CE không đổi

b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc BDE

a) Ta coự DMC = DME + CME = B + BDM      , maứ DME = B   (gt)

neõn CME = BDM   , keỏt hụùp vụựi B = C   (ABC caõn taùi A)

c) chửựng minh tửụng tửù ta coự EM laứ tia phaõn giaực cuỷa DEC

đề 5 Cõu 1 : Giải phương trỡnh: a) x x 21 x x 43(x 2)2.(4 x)

C B

A

Câu 2 : Cho x + y + z = 0 Rút gọn : 2 2 2

2 2 2

) ( ) ( )

z y x

Câu 4 : Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho 12

DC

DB

;

Tính tỉ số AK : KC

Câu 5 : Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt AB, AC

thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M

Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ, hai cạnh bên NP và CQ đồng quy

34

O

K M

C D

B A

H là trực tâm của ABC nên CHA B (2)

n 1

 





nguyên dương của n

c) Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì a2+b2 chia hết cho 13

1

+

5 3

1

+

7 5

1

2009.2011

Câu 4: Cho 3 số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh rằng biểu thức sau

4

M

Q

P H

C B

A

1 x x

1

+

zx z

xz z







 1

4

Từ đó suy ra Dˆ1Dˆ 2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE

Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED

c, Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

Chứng minh DH = DI, EI = EK

Thời gian làm bài 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề

2 1

x

y

E D

B

A

1 Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x  2 dư 24, f(x)

chia cho x 2 4 được thương là 5x và còn dư

2 Chứng minh rằng:

a b c b c a   c a b a b c   b a c a c b  

Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao

cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.

1 Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.

2 Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF.

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

2

x x

x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:

x z a

0.75

=> DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM

H F

E

B A

Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 0.25

x y z

Thật vậy, với a, b  R và x, y > 0 ta có  

 bx ay 2  0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra  a b

x y

Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có    

TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG - VÒNG 2

MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI

Bài 1) (2 điểm).

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 -2x)( x 2 -2x- 1) - 6

b) Đa thức f(x) = 4x 3 +ax +b chia hết cho các đa thức x-2; x+1 Tính 2a-3b.

Bài 2) (2 điểm).

a) Cho an = 1+2+3+…+ n Chứng minh rằng an + a n+1 là một số chính phương.

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số 10 22 9 4

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x>1.

Bài 6: (3 điểm).Cho hình vuông ABCD, gọi E, F thứ tự là trung điểm của AB, BC.

a) CMR: CE vuông góc với DF

b) Gọi M là giao điểm của CE và DF Chứng minh rằng AM = AD.

Bài 7: (3 điểm).Cho tam giác ABC Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH.

a) Chứng minh rằng EC = BH; EC  BH

b) Gọi M, N thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH Gọi I là trung điểm của BC Tam giác MNI là tam giác gì? Vì sao?

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Từ (1) và (2) ta tìm được a = -12; b = -8 Vậy 2a-3b = 0

8

1.5 điểm

M

K

F E

B A

Tam giác ADM có AN là đường cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác cân tại A => AM = AD

1.5 điểm

B A

C/m được  EAC=  BAH(c-g-c) => EC = BH, AEC ABH Gọi K và O thứ tự là giao điểm của EC với BA và BH.

Xét  AEK và  OBK có AEK OBK AKE OKB  ;    nên EAK BOK

=> BOK 90 0 Vậy EC  BH

1.5 điểm

b

Ta có MI//EC, MI = 1/2EC IN//BH ; IN=1/2 BH

Mà EC  BH và EC = BH nên MI = IN và MI  IN Vậy  MIN vuông cân tại I.

1.5 điểm

TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 3

NĂM HỌC 2013- 2014

MÔN THI: TOÁN - LỚP 8

Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

Câu 1: (2,5 điểm )

a) Phân tích đa thức a b c2(  )b c a2(  )c a b2(  )thành nhân tử

b) Cho các số nguyên a b c, , thoả mãn (a b )3(b c )3(c a )3 210 Tính giá trịcủa biểu thức

Câu 2: (2,5 điểm)

b) Giải phương trình: (6x8)(6x6)(6x7)2 72

Câu 3: (2,5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P(x 2012)2 (x2013)2

b) Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z   3 Chứng minh rằng: