Ôn thi Toán THPT 2019 Hàm số Mũ và hàm số Logarit

Bộ GDĐT đã đưa ra bộ đề thi mẫu cho 14 môn học giúp học sinh xác định được cấu trúc và dạng bài cần ôn tập. Dựa trên đề Toán mẫu, nhiều giáo viên tổ Toán đã xây dựng bảng phân tích ma trận kiến thức thi THPT quốc gia 2019 môn Toán. Các phân tích cụ thể này sẽ hỗ trợ học sinh trong việc tự học và ôn thi THPT quốc gia 2019. Mỗi bản phân tích ma trận kiến thức gồm có các nội dung: cấu trúc, dạng bài, so sánh đề thi 2018 và định hướng, lưu ý dành cho các thí sinh.

Câu 1: [2D2-4-4] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Một người gửi tiết kiệm ngân

hàng theo hình thức gửi góp hàng tháng Lãi suất tiết kiệm gửi góp cố định 0, 55%

/tháng Lần đầu tiên người đó gửi 2.000.000 đồng Cứ sau mỗi tháng người đó gửi

nhiều hơn số tiền đã gửi tháng trước đó là 200.000 đồng Hỏi sau 5 năm (kể từ lần

gửi đầu tiên) người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

A 618.051.620 đồng B 484.692.514 đồng C 597.618.514 đồng D

539.447.312 đồng

Lời giải Chọn A

Gọi A i là số tiền thu được sau tháng i, r 0, 55%0, 0055 là lãi suất hàng tháng,A2000

(nghìn đồng) là số tiền gửi ở tháng đầu

* Số tiền thu được sau tháng 1 là: A1A1r

x y

Lời giải Chọn C

Câu 4: [2D2-4-4] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Xét

các số thực a, b thỏa mãn điều kiện 1 1

3  b a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức log 3 1 12 log2 3

2

P C

Lời giải Chọn C

b b

12loga 1 2

b b

b b

12

Câu 6: [2D2-4-4] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU

LONG-LẦN 2-2018) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn

Chọn B

2 1 1 2

4x x  log 14 y2 y1

Ta có

2 2

2 2

2

30min

x y

Ta có:

2

1log ab 2ab a b 3

Lời giải Chọn C

2

R

Miền nghiệm của hệ (1) là phần tô màu như hình vẽ

t t

 2 không thỏa điều kiện x0, y0

Câu 10: [2D2-4-4] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho các số thực

không âm a b c, , thỏa mãn 2a4b8c4 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a 2b3c Giá trị của biểu thức 4M logM m bằng

Lời giải Chọn C

Đặt alog2x, 2blog2 y, 3clog2 z Ta có S log2 xyz



3 3

2

2

4 3log 3

4 3log 3

Câu 12: [2D2-4-4] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Gọi A và B là các điểm lần

lượt nằm trên các đồ thị hàm số ylog 2 x và 1

2

log

y x sao cho điểm M 2, 0

là trung điểm của đoạn thẳng AB Diện tích tam giác OAB là bao nhiêu biết rằng

O là gốc tọa độ?

Gọi tọa độ các điểm A a , 2 log2a B b , , log 2b Vì M 2, 0 là trung điểm của đoạn thẳng AB nên:

toán của tác giả Đoàn Trí Dũng)

Câu 13: [2D2-4-4] [THPT Chuyên KHTN - 2017] Kí hiệu

f x x Giá trị của f f 2017 bằng

Lời giải Chọn A

Điều kiện: 1 x 0

log 2 log

mà g   1 e201820180, g 0 2019 2018e 20180 nên tồn tại x0  1; 0sao cho g x 0 0 và khi đó

Nhận thấy t2 là nghiệm phương trình

Ta chứng minh t2 là nghiệm duy nhất của phương trình

  đạt giá trị lớn nhất khi ba k Khẳng định nào sau đây đúng?

giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức 2  2

Với điều kiện đề bài, ta có

P    

 

Câu 18: [2D2-4-4] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2 - 2017 ] Cho hai số thực a b, thỏa mãn

1  a b 0 Tính giá trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức sau 2 36

  đạt giá trị lớn nhất khi ba k Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 20: [2D2-4-4] [THPT Quảng Xương 1 lần 2 - 2017 ] Trong các nghiệm ( ; )x y thỏa mãn

bất phương trình logx22y2(2xy) 1 Giá trị lớn nhất của biểu thức T 2xy

Câu 21: [2D2-4-4] [THPT Quảng Xương 1 lần 2 - 2017 ] Trong các nghiệm ( ; )x y thỏa mãn

bất phương trình logx22y2(2xy) 1 Giá trị lớn nhất của biểu thức T 2xy

Câu 22: [2D2-4-4] [Minh Họa Lần 2 - 2017 ] Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng

thí nghiệm được tính theo công thức s t   s 0 2t, trong đó s 0 là số lượng vi

khuẩn A lúc ban đầu, s t  là số lượng vi khuẩn A có sau t phút Biết sau 3 phút thì

số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng

vi khuẩn A là 10 triệu con?

Lời giải Chọn A

Câu 23: [2D2-4-4] [CHUYÊN SƠN LA - 2017 ] Kết quả thống kê cho biết ở thời điểm năm

2013 dân số Việt Nam là 90 triệu người, tốc độ tăng dân số là 1,1% /năm Nếu mức

tăng dân số ổn định như vậy thì dân số Việt Nam sẽ gấp đôi (đạt ngưỡng 180 triệu ) vào năm nào?

Lời giải Chọn A

Dân số thế giới được ước tính theo công thức S A e ni, trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hàng năm Theo đề bài ta có: 1,1%.

Vậy sau khoảng hơn 63 năm thì dân số Việt Nam đạt ngưỡng 180 triệu hay vào khoảng năm 2077

Câu 24: [2D2-4-4] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU - 2017 ] Một nghiên cứu cho thấy

một nhóm học sinh được xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh tính theo công thức M t 75 20ln  t1 ,t0(đơn vị

%) Hỏi sau khoảng bao lâu thì số học sinh nhớ được danh sách đó là dưới 10%

Lời giải Chọn D

Ta có 75 20 ln t 1 10

ln t 1 3,25 t 24,79 Khoảng 25 tháng

Câu 25: [2D2-4-4] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2 - 2017 ] Đầu năm 2016, anh Hùng có xe

công nông trị giá 100 triệu đồng Biết mỗi tháng thì xe công nông hao mòn mất

0, 4% giá trị, đồng thời làm ra được 6 triệu đồng ( số tiền làm ra mỗi tháng là không đổi ) Hỏi sau một năm, tổng số tiền ( bao gồm giá tiền xe công nông và tổng số tiền anh Hùng làm ra ) anh Hùng có là bao nhiêu?

A 104, 907 triệu B 172 triệu C 167, 3042 triệu D 72triệu

Lời giải Chọn C

Sau một năm số tiền anh Hùng làm ra là 6.1272 triệu đồng

Sau một năm giá trị xe công nông còn 100(1 0, 4%)  12 95,3042 triệu đồng Vậy sau một năm số tiền anh Hùng có là 167, 3042 triệu đồng

Câu 26: [2D2-4-4] [CHUYÊN VĨNH PHÚC - 2017 ] Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi

tháng gửi 1 triệu đồng, với lãi suất kép 1% trên tháng Gửi được hai năm 3 tháng người đó có công việc nên đã rút toàn bộ gốc và lãi về Số tiền người đó được rút là

Phương pháp: Quy bài toán về tính tổng cấp số nhân, rồi áp dụng công thức tính

Cách giải: + Gọi số tiền người đó gửi hàng tháng là a1 triệu

Câu 27: [2D2-4-4] [Cụm 4 HCM - 2017 ] Một tờ “siêu giấy” dày 0,1mm có thể gấp được

vô hạn lần Hỏi sau bao nhiêu lần gấp thì tờ giấy này đụng mặt trăng Biết khoảng cách từ trái đất đến mặt trăng là 384 000 km

A 41 B 1003 C 42 D 119

Lời giải Chọn C

Gọi n là số lần gấp thỏa yêu cầu bài toán

Ta có 1km106mm; Theo bài ra ta có: 0,1.2n 384000.106  n 41,804

Vậy, sau 42lần gấp thì tờ giấy đụng mặt trăng

Câu 28: [2D2-4-4] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 03 - 2017 ] Ông Toàn gửi 50 triệu đồng vào

ngân hàng ngân hàng ACB theo thể thức lãi kép ( đến kỳ hạn mà người gửi không

rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kỳ kế tiếp) với lãi suất 14 % một năm Hỏi sau hai năm ông Toàn thu được cả vốn lẫn lãi bao nhiêu (Giả sử lãi suất không thay đổi)?

A 63, 98 (triệu đồng) B 64, 98 (triệu đồng)

C 64,89 (triệu đồng) D 65,89 (triệu đồng)

Lời giải Chọn B

Áp dụng công thức tính lãi kép, sau hai năm ông Toàn thu được cả vốn lẫn lãi là

 2

50 1 0,14 64,98 (triệu đồng)

Câu 29: [2D2-4-4] [Cụm 4 HCM - 2017 ] Một tờ “siêu giấy” dày 0,1mm có thể gấp được

vô hạn lần Hỏi sau bao nhiêu lần gấp thì tờ giấy này đụng mặt trăng Biết khoảng cách từ trái đất đến mặt trăng là 384 000 km

Lời giải Chọn C

Gọi n là số lần gấp thỏa yêu cầu bài toán

Ta có 1km106mm; Theo bài ra ta có: 0,1.2n 384000.106  n 41,804

Vậy, sau 42lần gấp thì tờ giấy đụng mặt trăng

Câu 30: [2D2-4-4] [THPT Chuyên Phan Bội Châu - 2017 ] Ông Quang cho ông Tèo vay 1

tỉ đồng với lãi suất hàng tháng là 0, 5% theo hình thức tiền lãi hàng tháng được cộng vào tiền gốc cho tháng kế tiếp Sau 2 năm, ông Tèo trả cho ông Quang cả gốc lẫn lãi Hỏi số tiền ông Tèo cần trả là bao nhiêu đồng? (Lấy làm tròn đến hàng nghìn)

A 3.225.100.000 B 1.121.552.000 C 1.127.160.000 D

1.120.000.000

Lời giải Chọn C

Tổng số tiền ông Tèo cần trả sau 24 tháng là

24 1 1 0,5% 1.127.160.000

Câu 31: [2D2-4-4] [THPT Chuyên Quang Trung - 2017 ] Một người gửi 15 triệu đồng vào

ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn một quý với lãi suất 1, 65% một quý Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)

A 4 năm 2 quý B 4 năm 3 quý C 5 năm D 4 năm

1 quý

Lời giải Chọn D

Số tiền của người ấy sau n kỳ hạn là 15 1 1, 65

Câu 32: [2D2-4-4] [THPT Yên Lạc-VP - 2017 ] Giá trị còn lại của một chiếc xe theo thời

gian khấu hao t được xác định bởi công thức:

V t  e , trong đó V t  được tính bằng USD và t được tính bằng năm Hỏi sau bao lâu giá trị còn lại của chiếc xe chỉ là 5000 USD gần nhất với số nào sau đây?

A 7, 3 năm B 9, 3 năm C 6, 3 năm D 8, 3năm

Lời giải Chọn A

ngày số lượng loài của vi khuẩn A tăng lên gấp đôi, còn sau đúng 10 ngày số lượng loài của vi khuẩn B tăng lên gấp ba Giả sử ban đầu có 100 con vi khuẩn A và 200con vi khuẩn B, hỏi sau bao nhiêu ngày nuôi cấy trong môi trường đó thì số lượng hai loài bằng nhau, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau?

Giả sử sau x ngày nuôi cấy thì số lượng vi khuẩn hai loài bằng nhau

ở ngày thứ x số lượng vi khuẩn của loài A là: 5

33

Câu 34: [2D2-4-4] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Trong Vật lý, sự phân rã của các chất phóng

xạ được tính theo công thức m t m e0 kt trong đó m0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ, m t  là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau thời gian t, k là hằng

số phóng xạ phụ thuộc vào từng loại chất Biết chu kỳ bãn rã của 14

C là khoảng

5730 năm (tức là một lượng 14

C sau 5730 năm thì còn lại một nửa) Người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cacbon và xác định được là nó đã mất đi khoảng 25% lượng Cacbon ban đầu của nó Hỏi mẫu đồ vật có tuổi là bao nhiêu?

A 2300 năm B 2378 năm C 2387 năm D 2400năm

Lời giải Chọn B

Mẫu đồ cổ có một lượng Cacbon và xác định được là nó đã mất đi khoảng 25%lượng Cacbon ban đầu của nó nên   0  

t t

Câu 36: [2D2-4-4] [THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa] Áp suất không khí P (đo bằng

milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (đo bằng mét), tức là P giảm theo công thức PP e o xi Trong đó P0 760 mmHg là áp suất của mực nước biển x0, i là hệ số suy giảm Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672, 71 mmHg Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000m gần bằng với

số nào dưới đây?

A 554, 38 mmHg B 482,17 mmHg C 530, 23 mmHg D

201,81 mmHg

Lời giải Chọn C

Câu 37: [2D2-4-4] Áp suất không khí P (đo bằng mi-li-met thủy nhân, kí hiệu là mmHg)

suy giảm mũ so với độ cao x(đo bằng mét), tức là P giảm theo công thức PP e0 xi Trong đó P0 760mmHg áp suất ở mực nước biển x0, I là hệ số suy giảm Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 624, 71mmHg Hỏi áp suất

không khí ở độ cao 3000m là bao nhiêu (làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)

A P530mmHg B P531mmHg C P528mmHg D

527

P mmHg

Lời giải Chọn D

Vậy 3000.i

Lưu ý: Nếu các em làm tròn kết quả ngay từ lúc tính i thì sẽ cho kết quả cuối cùng

là 530mmHg như vậy sẽ không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 38: [2D2-4-4] Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của Việt Nam là 1% Năm 2010, dân số nước

ta là 88360000 người Sau khoảng bao nhiêu năm thì dân số nước ta sẽ là 128965000người? Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm là không thay đổi

Lời giải Chọn A

Gọi n là số năm dân số nước ta tăng từ 88360000128965000

Sau n năm dân số nước Việt Nam là: 88360000 1, 01 n Theo đề:

Khi viết trong hệ thập phân, số các chữ số của 756839

Câu 41: [2D2-4-4] [TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8] Một người vay ngân hàng

200.000.000 đồng theo hình thức trả góp hàng tháng trong 48 tháng Lãi suất ngân hàng cố định 0,8% / tháng Mỗi tháng người đó phải trả (lần đầu tiên phải trả là 1 tháng sau khi vay) số tiền gốc là số tiền vay ban đầu chia cho 48 và số tiền lãi sinh

ra từ số tiền gốc còn nợ ngân hàng Tổng số tiền lãi người đó đã trả trong toàn bộ quá trình nợ là bao nhiêu?

Câu 42: [2D2-4-4] [LẠNG GIANG SỐ 1 - 2017] Một lon nước soda 80 F được đưa vào

một máy làm lạnh chứa đá tại 32 F Nhiệt độ của soda ở phút thứ t được tính theo định luật Newton bởi công thức T t( )32 48.(0.9) t Phải làm mát soda trong bao lâu để nhiệt độ là50 F ?

Lời giải Chọn B

 Gọi t o là thời điểm nhiệt độ lon nước 80 F    32 48 0,9 t o 80

Câu 43: [2D2-4-4] [LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM - 2017] Giả sử vào cuối năm thì một đơn vị

tiền tệ mất 10% giá trị so với đầu năm Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho sau

n năm, đơn vị tiền tệ sẽ mất đi ít nhất 90% giá trị của nó?

Lời giải Chọn D

Gọi x x 0 là giá trị tiền tệ lúc ban đầu Theo đề bài thì sau 1 năm, giá trị tiền tệ sẽ còn 0,9x

Cuối năm 1 còn 0,9x

Cuối năm 2 còn 0, 9.0, 9x0, 92x

………

Cuối năm n còn 0, 9n x

Ycbt 0,9n x0,1x n 21,58 Vì n nguyên dương nên n22

Câu 44: [2D2-4-4] [LÝ THÁI TỔ -HN - 2017] Giả sử cứ sau một năm diện tích rừng của

nước ta giảm x phần trăm diện tích hiện có Hỏi sau 4 năm diện tích rừng của nước

ta sẽ là bao nhiêu lần diện tích hiện nay?

Gọi S0 là diện tích rừng hiện tại

Sau n năm, diện tích rừng sẽ là 0 1

100

n x

x

  

  lần diện tích rừng hiện tại

Câu 45: [2D2-4-4] [CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - 2017] Một nguồn âm đẳng hướng đặt

tại điểm O có công suất truyền âm không đổi Mức cường độ âm tại điểm M cách

O một khoảng R được tính bởi công thức L M log k2

R (Ben) với k là hằng số Biết

điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ âm tại A và B lần lượt là L A 3(Ben) và L B 5(Ben) Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy)

A. 3,59 (Ben) B. 3, 06 (Ben) C 3, 69(Ben) D. 4(Ben)

Lời giải Chọn C

Câu 46: [2D2-4-4] [CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - 2017] Ông An bắt đầu đi làm với mức

lương khởi điểm là 1 triệu đồng một tháng Cứ sau 3 năm thì ông An được tăng lương 40% Hỏi sau tròn 20 năm đi làm tổng tiền lương ông An nhận được là bao nhiêu (làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy)?

A. 726, 74 triệu B 71674 triệu C 858, 72triệu D. 768, 37triệu

Lời giải Chọn D

Mức lương 3 năm đầu: 1 triệu Tổng lương 3 năm đầu: 36 1 Mức lương 3 năm tiếp theo: 1 1 2

2

2

1 15

3

2

1 15

Tổng lương sau tròn 20 năm là

Câu 47: [2D2-4-4] [SỞ GD HÀ NỘI - 2017] Ông Việt dự định gửi vào ngân hàng một số

tiền với lãi suất 6, 5% một năm Biết rằng, cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào

vốn ban đầu Tính số tiền tối thiểu x ( triệu đồng, x ) ông Việt gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ để mua một chiếc xe gắn máy trị giá 30triệu đồng

A 154 triệu đồng B 150 triệu đồng C 140 triệu đồng D. 145triệu đồng

Lời giải Chọn D

Áp dụng công thức lãi kép:  1 n

n

Trong đóP n là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì

x là vốn gốc, r là lãi suất mỗi kì

Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là :

Số tiền tối thiểu là 145 triệu đồng

Câu 48: [2D2-4-4] [CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL- 2017] Ông Nam gửi 100 triệu đồng

vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một năm với lãi suất là 12% một năm Sau n năm ông Nam rút toàn bộ tiền (cả vốn lẫn lãi) Tìm n nguyên dương nhỏ nhất

để số tiền lãi nhận được hơn 40 triệu đồng (Giả sử rằng lãi suất hàng năm không thay đổi)

Lời giải Chọn D

Số tiền thu được cả gốc lẫn lãi sau n năm là

100(1 0,12)n

Số tiền lãi thu được sau n năm là

n

Câu 49: [2D2-4-4] [BẮC YÊN THÀNH- 2017] Ông A gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân

hàng với lãi suất 7% trên năm, biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu sau thời gian 10 năm nếu không rút lãi lần nào thì số tiền mà ông A nhận được tính cả gốc lẫn lãi là

A. 10 (1 0, 07)8  10 B.10 0, 078 10 C. 10 (1 0, 7)8  10 D.

10 (1 0, 007)

Lời giải Chọn A

Theo công thức lãi kép C A1rN với giả thiết

8

100.000.000 10 ; 7% 0, 07 và 10

Vậy số tiền nhận được … 10 (1 0, 07)8  10

Câu 50: [2D2-4-4] [SỞ BÌNH PHƯỚC - 2017] Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân

theo công thức S A e rt, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng, t là thời gian tăng trưởng Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con

và sau 5 giờ có 300 con Hỏi số con vi khuẩn sau 10 giờ ?

Lời giải Chọn D

Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loại vi khuẩn này

5

100.e 900 con

Câu 51: [2D2-4-4] [CHUYÊN ĐHSP HN - 2017] Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng

theo hình thức lãi kép, lãi suất một tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi được tính theo phần trăm tổng tiền có được của tháng trước đó và tiền lãi của tháng trước đó) Sau

ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu

A. 45 tháng B. 47 tháng C. 44 tháng D. 46tháng