Bài giảng: Tập hợp (Đại số 10)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

§ 2 Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

• Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

• Định hướng thực hiện các hoạt động

• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

• Chép lại các chú ý, nhận xét

• Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

• Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

• Nôi dung chưa hiểu

• Hoạt động chưa làm được

• Bài tập lần 1 chưa làm được

• Bài tập lần 2 chưa làm được

• Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận được giải đáp

Đ 2 tập hợp

và các phép toán trên tập

hợp Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu một cấu trúc cơ bản từ đó xây dựng lên các cấu trúc khác, đó là tập hợp Lí thuyết tập hợp đợc

nhà toán học ngời Đức Can–to (Georg Cantor, 1845 - 1918) sáng lập vào năm 1872 Ngày nay, lí thuyết tập hợp là cơ sở để xây dựng nên

bộ môn toán học rời rạc.

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 Tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học.

Các tập hợp đợc dùng để nhóm các đối tợng lại với nhau Thông thờng, các

phần tử trong một tập hợp có các tính chất tơng tự nhau Ví dụ , tất cả các học

sinh vừa mới nhập trờng lập nên một tập hợp, tất cả các nghiệm của một phơng trình tạo nên một tập hợp,

Hoạt động : Hãy cho ví dụ về tập hợp.

Ngời ta thờng dùng các chữ hoa để kí hiệu các tập hợp Các chữ N, Z, Q, I,

R in đậm đã đợc sử dụng để kí hiệu cho các tập hợp số

 Để chỉ rằng a là một phần tử của tập hợp A (hay gọi tắt là: tập A),

ta kí hiệu a∈A (đọc là: a thuộc tập A).

 Còn nếu b không phải là phần tử của tập hợp A ta kí hiệu b∉A (đọc là:

b không thuộc tập A).

Cách mô tả tập hợp

Có nhiều cách mô tả một tập hợp, tuy nhiên ta thờng sử dụng hai cách sau:

a. Liệt kê các phần tử của tập hợp

Thí dụ 1: Tập hợp X gồm các số nguyên, dơng, chẵn nhỏ hơn 11, đợc viết:

X = {2, 4, 6, 8, 10}

Hoạt động : Viết tập hợp Y gồm các nghiệm của phơng trình x 2 – 3x + 2 = 0.

 Chú ý: Khi mô tả tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử, ta quy ớc:

1 Mỗi phần tử của tập hợp chỉ đợc liệt kê một lần, ví dụ tập hợp các chữ cái của dòng chữ " Hiên ngang " là

A = {h, i, ê, n, g, a}.

2 Không cần quan tâm tới thứ tự các phần tử liệt kê, ví dụ tập A cũng có thể đợc viết A = {a, g, h, i, n, ê}.

3 Nếu qui luật liệt kê rõ ràng, ta chỉ cần liệt kê một số

3

phần tử đầu tiên và sau đó sẽ dùng các dấu chấm chấm

" ", ví dụ tập hợp các số nguyên dơng bé hơn 82 có thể

đợc kí hiệu bởi {1, 2, 3, , 81}.

b. Chỉ ra tính chất đặc trng cho các phần tử của tập hợp : để chỉ rằng tập hợp

X gồm tất cả các phần tử có tính chất P, ta viết:

X ={x | x có tính chất P}

Thí dụ 2: Tập hợp X gồm các số nguyên, dơng, nhỏ hơn 10, đợc viết :

X = {x | x là số nguyên, dơng, nhỏ hơn 10}

hoặc X = {x∈Z | 0 < x < 10}

hoặc X = {x∈Z | 1 ≤ x ≤ 9}

Trong trờng hợp này, nếu sử dụng phơng pháp liệt kê ta đợc:

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Hoạt động : Viết tập hợp Y gồm các số nguyên lớn hơn 1 và nhỏ hơn 9 bằng cách

liệt kê các phần tử của nó và bằng cách chỉ ra tính chất đặc trng cho các phần tử của nó.

 Chú ý: Ta thờng sử dụng cách mô tả tính chất đặc trng để mô tả các tập hợp

khi không thể liệt kê hết tất cả các phần tử của tập hợp đó

Thí dụ 3: Tập hợp A các số thực lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8, đợc viết

A = {x∈R | 1 < x < 8}

Tập rỗng

Ta đã thấy, một tập hợp cần có phần tử tạo nên tập hợp ấy Tuy nhiên, tập hợp gồm các nghiệm thực của phơng trình x2 + 1 = 0 không chứa phần tử nào.

Tập hợp nh vậy đợc gọi là tập rỗng, kí hiệu ∅

Hoạt động : Định nghĩa tập rỗng và cho ví dụ.

2 Tập con và tập hợp bằng nahu

Với hai tập hợp A = {1, 2, 3} và B = {0, 1, 2, 3, 5}

Nhận xét gì về các phần tử của

tập A với các phần tử của tập B ? Mọi mọi phần tử của tập A đều là phần

tử của tập B.

Khi đó, ta gọi A là một tập hợp con (hay gọi tắt là tập con) của B, và kí

hiệu A⊂ B hoặc B ⊃A ( đọc là tập B chứa tập A) Vậy:

A⊂B ⇔∀x∈A ⇒ x∈B

Hoạt động : Định nghĩa tập con và chỉ ra một tập con của tập các học sinh lớp 10.

 Nhận xét quan trọng: Từ định nghĩa trên, ta thấy A⊂A, tức là mỗi tập

hợp là tập con của chính nó

Ta quy ớc ∅ là tập con của mọi tập hợp, tức là ∅⊂A với mọi tập A

Tập hợp gồm các tập con của A kí hiệu là P(A).

Hoạt động :

1 Liệt kê tất cả các tập con của tập X = {a, b, c}, từ đó hãy nêu ra một thuật toán để có thể liệt kê hết đợc các tập con của một tập hợp cho trớc.

2 Nếu A ⊂ B và B ⊂ C có thể suy ra đợc A ⊂ C không ?

Và nếu đợc thì đó đợc gọi là tính chất gì ?

3 Tập A khác rỗng có ít nhất bao nhiêu tập con ?

Tập A gồm n phần tử có bao nhiêu tập con ?

Để minh hoạ trực quan khái niệm tập con, ngời

ta sử dụng hình vẽ nh trên Hình 1.

Hình 1 đợc gọi là biểu đồ Ven ứng với khái

niệm tập con

Hai tập hợp A và B đợc gọi là bằng nhau và kí hiệu là A = B nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B và mỗi phần tử của B đều là phần

tử của A.

Nh vậy, A = B khi và chỉ khi mọi phần tử của A đều là phần tử của B (tức là

A⊂B), và mọi phần tử của B đều là phần tử của A ((tức là B⊂A)) Vậy:

A = B ⇔ A⊂B và B⊂A

Nếu hai tập A và B không bằng nhau đợc gọi là khác nhau, kí hiệu A ≠ B

Hoạt động :

1 Chỉ ra các tập hợp bằng nhau trong các tập hợp:

A = {1, 2, 4}, B = {4, 1, 2}, C = {1, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4}.

2 Nếu A = B và B = C có thể suy ra đợc A = C không ?

Và nếu đợc thì đó đợc gọi là tính chất gì ?

3 Các phép toán tập hợp

Định nghĩa: Hợp của hai tập A và B đợc kí hiệu A∪B, là tập chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B

Nh vậy:

A∪B = {x | x∈A hoặc x∈B}

Biểu đồ Ven cho trên Hình 2, phần gạch thẳng

biểu diễn hợp của hai tập A và B

Thí dụ 4: Với hai tập hợp A = {1, 3, 5} và B = {1, 2, 3}, ta đợc:

A∪B = {1, 2, 3, 5}

Hoạt động :

1 Nêu thuật toán đợc sử dụng để xác định tập A ∪ B.

2 Tập A, B có phải là tập con của tập A ∪ B không ?

3 Tìm các tập C sao cho A ∪ C = A.

4 Hai tập A ∪ B và B ∪ A có bằng nhau không ?

5

B A

A⊂B

A⊄B

Hình 1

Hình 2

Và nếu có thì đó đợc gọi là tính chất gì ?

Nêu định nghĩa của tập A ∪ B ∪ C.

Định nghĩa: Giao của hai tập A và B đợc kí hiệu A∩B, là tập chứa tất cả các phần tử thuộc cả A và B

Nh vậy:

A∩B = {x | x∈A và x∈B}

Biểu đồ Ven cho trên Hình 3, phần gạch thẳng

biểu diễn giao của hai tập A và B

Hai tập hợp đợc gọi là rời nhau nếu giao của chúng là tập rỗng.

Hoạt động : Hãy vẽ biểu đồ Ven minh hoạ hai tập rời nhau.

Thí dụ 5: Tập X gồm các học sinh học thi khối A và tập Y gồm các học sinh học thi khối D, ta đợc X∩Y gồm các học sinh học thi môn toán

Hoạt động :

1 Nêu thuật toán đợc sử dụng để xác định tập X ∩ Y.

2 Trong các tập X, Y, X ∩ Y, hãy xem tập nào là tập con của tập nào.

3 Tìm các tập T sao cho X ∩ T = X.

4 Hai tập X ∩ Y và Y ∩ X có bằng nhau không ?

Và nếu có thì đó đợc gọi là tính chất gì ?

5 Nêu định nghĩa của X∩Y∩T.

Định nghĩa: Hiệu của A và B đợc kí hiệu A - B, là tập chứa tất cả các phần tử

thuộc A nhng không thuộc B

Nh vậy:

A - B = {x | x∈A và x∉B}

Biểu đồ Ven cho trên Hình 4, phần gạch thẳng

biểu diễn hiệu của A và B

Thí dụ 6: Với hai tập hợp A = {1, 3, 5} và B = {1, 2, 3}, ta đợc:

A - B = {5} và B – A = {2}

Hoạt động :

1 Nêu thuật toán đợc sử dụng để xác định tập A – B.

2 Phép hiệu hai tập hợp có tính chất giao hoán không ?

3 Tập A – B là tập con của A hay B ?

Tìm các tập C sao cho A – C = ∅

 Chú ý: Trong trờng hợp B ⊂ A, hiệu A\B đợc gọi là phần bù của B trong

A, kí hiệu là CAB

Hoạt động : Hãy vẽ biểu đồ Ven minh hoạ khái niệm phần bù

B

Hình 3

B A

Hình 4

4 Các hằng đẳng thức tập hợp

Bảng sau liệt kê các hằng đẳng thức tập hợp quan trọng nhất:

A∪∅ = A

A∩A = A, với A⊂ A

Luật đồng nhất

A∩∅ = ∅

A∪A = A, với A⊂ A

Luật nuốt

A∪A = A

A∪B = B∪A

A∪(B∪C) = (A∪B)∪C

A∩(B∩C) = (A∩B) ∩C Luật kết hợp

A∪(B∩C) = (A∪B) ∩(A∪C)

A∩(B∪C) = (A∩B) ∪(A∩C) Luật phân phối

5 Các tập số thờng dùng

Ta có:

 Tập hợp các số tự nhiên N = {0, 1, 2, , n, }.

 Tập hợp các số nguyên Z = {0, ±1, ±2, , ±n, }

 Tập hợp các số hữu tỉ Q = {

n

m

| m, n ∈Z, n ≠ 0}

 Tập hợp các số thực R = {x| x hữu tỉ hoặc vô tỉ}.

Với quy ớc R = (−∞, +∞), ta cũng có:

R+ = [0, + ∞), R− = (−∞, 0],

R* = R\{0}.

Trên trục số, ta có:

Tập hợp Cách viết Biểu diễn trên trục số

Khoảng (a; b) {x∈R | a < x < b}

Đoạn [a; b] {x∈R | a ≤ x ≤ b }

Nửa khoảng [a; b) {x∈R | a ≤ x < b }

Nửa khoảng (a; b] {x∈R | a < x ≤ b }

7

x a

////////( )////////b

x a

////////[ ]////////b

x a

////////[ )////////b

x a

////////( ]////////b

x 0

|

N

R

Q Z

Hình 5

Khoảng (-∞; a) {x∈R | x < a }

Nửa khoảng (-∞; a] {x∈R | x ≤ a }

Khoảng (a; +∞) {x∈R | x > a }

Nửa khoảng [a; + ∞) {x∈R | x ≥ a }

bài tập lần 1

Bài tập 1. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:

a A = {x ∈ Ă (2x − x2)(2x2− 3x − 2) = 0}

b B = {n ∈ Ơ3 < n2 < 30}

Bài tập 2. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ các tính chất đặc trng cho các phân tử của nó:

a A = {2, 3, 5, 7} b B = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}

b C = {−5, 0, 5, 10, 15}

Bài tập 3. Cho A là tập hợp các học sinh lớp 10 đang học ở trờng em và B là tập hợp các học sinh đang học môn Tiếng anh của trờng em Hãy diễn đạt bằng lời các tập hợp sau:

a A∩B b A\ B c A∪B d B \ A

Bài tập 4. a Cho A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3} Tìm hai tập hợp (A \ B) ∪ (B \ A)

và (A ∪ B) \ (A ∩ B)

Hai tập hợp nhận đợc là bằng nhau hay khác nhau?

b Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}, B = {1, 2, 4, 6, 8, 9} và C = {3, 4, 5, 6, 7} Hãy tìm A ∩ (B \ C) và (A ∩ B) \ C Hai tập hợp nhận đợc bằng nhau hay khác nhau?

Bài tập 5. Cho hai nửa khoảng A = (0; 2], B = [1; 4) Tìm CR(A ∪ B) và CR(A ∩

B)

Bài tập 6. Cho tập hợp A = {a, b, c, d} Liệt kê tất cả các phần tử của A có:

a Ba phần tử b Hai phần tử c Không quá một phần tử

Bài tập 7. Tìm tập hợp A và B, biết:

=



 =



 ∩ =



A \ B {1; 5; 7; 8}

B \ A {2; 10}

A B {3; 6; 9}

Bài tập 8. Cho hai đoạn A = [a; a + 2] và B = [b; b + 1] Các số a, b cần thoả mãn điều kiện gì để A ∩ B ≠∅?

Bài tập 9. Xét xem hai tập hợp sau có bằng nhau không?

x a

////////(

x )////////a

x a

////////[

x ]////////a

A = {x ∈ ¡ (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0} vµ B = {5, 3, 1}

Bµi tËp 10.Chøng minh r»ng A\ (B∪C) = (A\B)∩(A\C)

Bµi tËp 11.Chøng minh r»ng P(A∩B) = P(A)∩P(B)

Bµi tËp 12.Cho hai tËp:

A = {x ∈ ¢| x lµ béi cña 3 vµ 4}, B = {x ∈ ¢| x lµ béi cña 12},

Chøng minh r»ng A = B

Bµi tËp 13.Cho c¸c tËp hîp:

A = {n ∈ ¢ n = 2k, k ∈ ¢}

B lµ tËp hîp c¸c sè nguyªn cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1, 2, 4, 6, 8

C = {n ∈ ¢ n = 2k − 2, k ∈ ¢}

D = {n ∈ ¢ n = 3k + 1, k ∈ ¢} Chøng minh r»ng A = B, A = C vµ A ≠ D

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 750.000đ.

1 Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

LÊ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

9

bài giảng nâng cao

A Tóm tắt lí thuyết

1 tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học

 Để chỉ rằng a là một phần tử của tập hợp A, ta kí hiệu a ∈ A

 Còn nếu b không phải là phần tử của tập hợp A ta kí hiệu b ∉ A

Có hai cách xác định tập hợp:

Cách 1: Liệt kê các phần tử của nó: tập hợp X gồm các phần tử x, y, z ta viết:

X ={x; y; z; }

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trng cho các phần tử của nó: để chỉ rằng tập

hợp X gồm tất cả các phần tử có tính chất P, ta viết:

X ={x | x có thuộc tính P}

Tập rỗng là tập không có phần tử nào, ký hiệu là ∅

2 Tập con và tập hợp bằng nhau

2.1. Tập con

Tập A đợc gọi là tập con của tập B và kí

hiệu là A⊂ B nếu mọi phần tử của A đều là

phần tử của B.

Từ định nghĩa ta có:

A ⊂ B ⇔∀x ∈ A ⇒ x ∈ B

B A

A⊂

B

A⊄

B

Với tập A bất kỳ luôn có ∅⊂ A và A ⊂ A.

2.2. Tập hợp bằng nhau:

Hai tập hợp A và B đợc gọi là bằng nhau và kí hiệu là A = B nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B và mỗi phần tử của B đều là phần

tử của A.

Từ định nghĩa ta có:

A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A

Ta có các quan hệ Ơ * ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Ơ Â Ô Ă

2.3. Một số các tập con của tập hợp số thực

Với quy ớc Ă = (−∞; +∞), ta có:

Ă + = [0; +∞), Ă −= (−∞; 0],

Ă * = Ă \{0}, *

+

Ă = (0; +∞), *

−

Ă = (−∞; 0)

 Đoạn [a; b] = {x ∈ Ă | a ≤ x ≤ b}}, đợc biểu diễn:

 Khoảng (a; b) = {x ∈ Ă | a < x < b}, đợc biểu diễn:

 Nửa khoảng [a; b) = {x ∈ Ă | a ≤ x < b}, đợc biểu diễn:

Nửa khoảng (a; b] = {x ∈ Ă | a < x ≤ b}, đợc biểu diễn:

 Khoảng (−∞; a) = {x ∈ Ă | x < a}, đợc biểu diễn:

Khoảng (a; +∞) = {x ∈ Ă | x > a}, đợc biểu diễn:

 Nửa khoảng (−∞; a] = {x ∈ Ă | x ≤ a}, đợc biểu diễn:

Nửa khoảng [a; +∞)={x ∈ Ă | x ≥ a}, đợc biểu diễn:

3 Các phép toán trên tập hợp

3.1. Phép hợp

Hợp của hai tập hợp A và B kí hiệu là A ∪

thuộc A hoặc thuộc B.

Từ định nghĩa, ta có:

A∪B = {x| x ∈ A ∨ x ∈ B}

3.2. Phép giao

Giao của hai tập hợp kí hiệu là A ∩ B, là tập

hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc cả A và B.

Từ định nghĩa, ta có:

11

B A∩B A

A∪B

x a

////////( )////////b

x a

////////[ )////////b

x a

////////( ]////////b

x a

////////(

x )////////a

x a

////////[

x ]////////a

x a

////////[ ]////////b

A∩B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ B}.

3.3. Phép lấy phần bù

Cho A là tập con của tập E Phần bù của A

trong E kí hiệu là CEA là tập hợp tất cả các

phần tử của E mà không là phần tử của A.

Hiệu của hai tập hợp A và B kí hiệu là A\B,

là tập hợp tất bao gồm các phần tử thuộc A

nhng không thuộc B.

Từ định nghĩa, ta có:

A\B = {x| x ∈ A ∧ x ∉ B}

B phơng pháp giải toán

Vấn đề 1: Xác định tập hợp

Phơng pháp thực hiện

1 Với tập hợp A ta có hai cách:

Cách 1: Liệt kê các phần tử của A

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trng cho các phần tử cả A

2 Sử dụng định nghĩa về các phép toán của tập hợp:

 Ta có A∪B = {x| x ∈ A hoặc x ∈ B}

Nếu dùng trục số để biểu diễn ta thực hiện các bớc:

Bớc 1: Biểu diễn A trên trục số

Bớc 2: Biểu diễn B trên trục số

Bớc 3: Gạch bỏ phần Ă \(A∪B), phần còn lại trên trục số chính

là A∪B

 Ta có A∩B = {x| x ∈ A và x ∈ B}

Nếu dùng trục số để biểu diễn ta thực hiện các bớc:

Bớc 1: Biểu diễn A trên trục số và gạch bỏ phần Ă \A

Bớc 2: Biểu diễn B trên trục số và gạch bỏ phần Ă \B

Bớc 3: Phần còn lại trên trục số chính là A∩B

 Ta có A\B = {x| x ∈ A và x ∉ B}

 Ta có P(A) = {X| X⊂A}

3 Tìm các tập con của tập A, ta thực hiên theo các bớc:

Bớc 1: Xác định số phần tử của A, giả sử bằng k

Bớc 2: Liệt kê các tập hợp gồm tập ∅, A và các tập con có 1, 2, ,

k − 1 phần tử của A

Ví dụ 2: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:

a A = {x ∈ Ă (2x − x2)(2x2− 3x − 2) = 0}

A A\B

E

AE