Đại số 10-BẤT ĐẲNG THỨC.CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC §1:BẤT ĐẲNG THỨC A.. CÁC TÍNH CHẤT TƯƠNG ĐƯƠNG: 1.. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC: 1.. BÀI TẬP:BT1Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Trang 1Đại số 10-BẤT ĐẲNG THỨC.
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
§1:BẤT ĐẲNG THỨC
A LÝ THUYẾT:
I
ĐỊNH NGHĨA :
a > b ⇔ a – b > 0 ⇔ b – a < 0 ⇔ b < a
a ≥ b ⇔ a – b ≥ 0 ⇔ b – a ≤ 0 ⇔ b ≤ a
II CÁC TÍNH CHẤT:
A CÁC TÍNH CHẤT KHÔNG TƯƠNG ĐƯƠNG:
b c
>
⇒ >
>
c d
>
⇒ + > +
>
Chú ý: Không được trừ 2 bất đẳng thức cùng chiều Vd: 4 3 4 10 3 1
10 1
>
⇒ − > −
>
3 a b 0 ac bd
c d 0
> >
⇒ >
> >
Chú ý: * Không được chia 2 bất đẳng thức cùng chiều Vd: > >4 3 0 10 1 0> > ⇒10 1 4 > 3 sai
* Không được nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều khi có số âm Vd: 1 3 1.4 ( 3)( 2)
4 2
> −
⇒ > − −
> −
a b 0 a b
n 2, 3, 4
a b 0 a b
> > ⇒ > =
> > ⇒ >
B CÁC TÍNH CHẤT TƯƠNG ĐƯƠNG:
1 a > b ⇔ a + c > b + c cộng 2 vế cho c
Hệ quả:
a > b ⇔ a – c > b – c
a > b + c ⇔ a – c > b
2 a > b ⇔ ac > bc khi c > 0 nhân 2 vế cho c
a > b ⇔ ac < bc khi c < 0
Hệ quả:
a > b ⇔ a b khi
c> c c > 0
nhân 2 vế cho 1 c
a > b ⇔ a b khi
c< c c < 0
a > b ⇔ 1 1 khi
a b< ab > 0 Nhân 2 vế cho ab 1
a > b ⇔ 1 1 khi
a b> ab < 0
III CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC:
1 DÙNG ĐỊNH NGHĨA:Để chứng minh : A ≥ B ta chứng minh A – B = (x + y)2 + (x – b)2 + c2 ≥ 0
2 DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG:
A ≥ B ⇔ A1 ≥ B1 ⇔ A2 ≥ B2 ⇔ A3 ≥ B3.nếu A3 ≥ B3 đúng thì A ≥ B đúng
B BÀI TẬP:BT1Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Trang 2Đại số 10-BẤT ĐẲNG THỨC.
2
1 2 a
a 1≤
sin x cos x+ ≥
4
2 2
a 2 2
a 1
+ ≥
BT2Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 (a + b + c)2≤ 3(a2 + b2 + c2)
2 (ab + bc + ca)2≥ 3abc(a + b + c) 3.a4 + b4≥ ab3 + a3b 4 a 3 b 3 a b 3
≥ ÷
khi a + b ≥ 0
5 a3 + b3≥ a2b + ab2 khi a ≥ 0, b ≥ 0
§2:BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI:
1 Bất đẳng thức côsi cho 2 số a ≥ 0, b ≥ 0
a b ab
2
Các dạng tương đương:2 ab a b≤ + hoặc ab ≤
2
a b 2
+
2 Bất đẳng thức côsi cho 3 số a ≥ 0, b ≥ 0, c > 0
3
a b c abc
3
+ + ≥ dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Các dạng tương đương:3 abc a b c 3 ≤ + + hoặc abc ≤
3
a b c 3
+ +
3 Bất đẳng thức côsi cho n số a1, a2, , an ≥ 0
* Với n số a1, a2, , an ≥ 0, ta có:
a a a a a a
n
a a a n a a a
n
a a a a a a
n
+ +
II Áp dụng bất đẳng thức côsi để tìm GTLN – GTNN:
1 a + b = K const.Ta có: ab ≤
+
=
Vậy Max ab =
2
K 2
khi a = b = K 2
2 a b = M const Ta có: a + b ≤ 2 ab 2 M= Vậy Min (a + b) = 2 Mkhi a = b = M
II/BÀI TẬP:BT1Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
a b
+ + ≥
a + b + c ≥ + +
a b c
+ + ≥
BT2Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
− − − ≥
+ + ≥
ab a+ b ≥
(đáp án và phần sau của chuyên đề cập nhật sau)
GV:TRẦN KHÁNH LONG-violet.vn/curi307
2