Ứng dụng đạo hàm khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số

Bạn cần tìm tài liệu để dạy chương Ứng dụng của đạo hàm Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số? Bạn cần tìm tài liệu để ôn tập Ứng dụng của đạo hàm Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số? Đây là phần tài liệu tôi sử dụng để ôn tập cho học sinh lớp học thêm của mình. Bạn cần thêm tài liệu có thể truy cập website của mình bằng cách ấn Ctrl chỉ vào link mình để sẵn nhé

CHỦ ĐỀ 1:

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN,

VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Email: tieutue@gmail.com SĐT: 0815.699.451

Website: lehai88.blogspot.com Facebook: https://www.facebook.com/thaylequanghai/

CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN, VẼ ĐỒ

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

3.Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I

b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó

x y

14

x y x





2 2

11

x x y

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

00

a b c

00

a b c

 Nếu < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

2

b a

yax bx cxd có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng

d thì ta thực hiện các bước sau:

 Tính y

0 0

Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó:

3 2

x m





 đồng biến trên khoảng (1; +)

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp giải:Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

 Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ,  ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định

 Xét dấu f (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng

Bài 1 Giải các phương trình sau:

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0 (a; b) sao cho

f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm

số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc

không có đạo hàm

III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) =

0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

B BÀI TẬP

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1

 Tìm f (x)

 Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

x





Bài 2 Tìm cực trị của các hàm số sau:

2 2

x x y

1

x x y

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x 0

Chú ý:

yax bx cxd có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt

Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

( )

y x ax bx cx d + y x( )0 Ax0B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y

2

ax bx c y

P x

Q x (aa 0) có cực trị  Phương trình y = 0 có hai

'

b a

Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

0 0

0

( ) ( )

bỏ nghiệm ngoại lai

x mx m y

x x m y

x

 



 có một giá trị cực đại bằng 0

Bài 3 Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:

2

53

x mx y

y x mx mx đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1x2 8

4 2

y  ax  bx  c Có 3 cực trị a.b<0

có 3 cực trị trong đó có 1 cực đại a>0;b<0

Có 3 cực trị trong đó có 1 cực tiểu a<0;b>0

A S

 B

x m



 có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung Chứng

minh hai điểm cực trị luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành

d)

21

x mx y

x





 có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10

e) Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thi ̣ hàm số có ba điểm cực tri ̣ ta ̣o thành mô ̣t tam giác vuông cân

f)Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

i)Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông thì giá trị của tham số là?

k) Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 1 4 3 2

y  x  mx có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều là

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Phương pháp giải

( )

y f x ax bx cxd

 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B

 Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:

( )( )

P x y

a b

a b f x  f b f x  f a b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì

[ ; ] [ ; ]

a b

a b f x  f a f x  f b

B BÀI TẬP

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

 Tính f (x)

 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]

1

x x y

x





Bài 2 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

x y x

11

x x y

Bài 4 Cho D = ( ; ) /x y x 0,y 0,x y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị

Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước

Gọi y 0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng Thông thường điều

Vì y 0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:

11

x x y

x x y

4) Bất phương trình f(x)  đúng với mọi x  m 

5) Bất phương trình f(x)  đúng với mọi x  M 

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]

b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]

x y

1

x x y

2

x y

x y

§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

 Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)

– Tính y – Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể

I

y’ = 0 vô nghiệm

I y

x 0

I



34

x y

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1 Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị

x y

x y x

 Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

 Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:

Dạng 1: F(x, m) = 0  f(x) = m (1)

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = m

 d là đường thẳng cùng phương với trục hoành

 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm

của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m

(k: không đổi) Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = kx + m

 Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương

với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m)

 Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C)

có hệ số góc k

 Dựa vào các tung độ gốc m, b1, b2, … của d, d1, d2, …

để biện luận

Dạng 4: F(x, m) = 0  f(x) = m(x – x0) + y0 (4)

Khi đó (4) có thể xem là phương trình

hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = m(x – x0) + y0

 d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0)

 Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, …

của (C) đi qua M0

 Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận

VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo

m số nghiệm của phương trình:

VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành

Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3

Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm  (C) và Ox có 1 điểm chung

f không có cực trị (h.1a) hoặc f có 2 cực trị f CD.f CT 0(h.1b)

m > 0

m = 0

m < 0

d I

Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm  (C) tiếp xúc với Ox

f có 2 cực trị f CD.f CT 0(h2)

Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

f có 2 cực trị f CD.f CT 0(h3)

Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu

Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt

Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt

(y CT = f(x 0 ) = 0)

x (H.2)

Bài 1 Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm M0x y0; 0:

 Nếu cho x 0 thì tìm y 0 = f(x 0 )

Nếu cho y 0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f(x) = y 0

 Tính y = f (x) Suy ra y(x 0 ) = f (x 0 )

 Phương trình tiếp tuyến  là: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 )

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trước

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

 Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Tính f (x 0 )

 có hệ số góc k  f (x 0 ) = k (1)

 Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y 0 = f(x 0 ) Từ đó viết phương trình của 

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

( ) '( )

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể được cho gián tiếp như sau:

+  tạo với chiều dương trục hoành góc  thì k = tan

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết đi qua điểm A x( A;y A)

Cách 1:Tìm toạ độ tiếp điểm

 Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Khi đó: y 0 = f(x 0 ), y0 = f (x 0 )

 Phương trình tiếp tuyến  tại M: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 )

 đi qua A x( A;y A)nên: y A – y 0 = f (x 0 ).(x A – x 0 ) (2)

 Giải phương trình (2), tìm được x 0 Từ đó viết phương trình của 

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

 Phương trình đường thẳng  đi qua A x( A;y A)và có hệ số góc k:

 Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k) Từ đó viết phương trình tiếp tuyến 

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

x y

y x  x  tại các giao điểm của (C) với trục hoành

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra:





 ; d:

324





 ; d: y x

c) (C):

2

31

x x y

x

 



 ; d: x – 2

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc

1 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:

( ) ( ) '( ) '( )

1 Gọi  : y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 )

u là hoành độ tiếp điểm của  và (C 1 ), v là hoành độ tiếp điểm của  và (C 2 )

 tiếp xúc với (C 1 ) và (C 2 ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 Thế (2), (5), (6) vào (3)  v  a  u  b Từ đó viết phương trình của 

2 Nếu (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x 0 thì một tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ) cũng là tiếp tuyến của (C 1 ) (và (C 2 )) tại điểm đó

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị:

(C) :yx  5x 6; (C ) :y  x 5x 11

 Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x 0 Từ đó tìm được M(x 0 ; y 0 )  (C)

Bài 1 Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho trước:

21

x x y

x x y

x

 

 ; d: y = –x

VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)

Giả sử d: ax + by +c = 0 M(x M ; y M )  d

Bài 1 Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):

Bài 5 Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C):

VẤN ĐỀ 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đƣợc 2 tiếp tuyến với đồ thị (C):

y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Gọi M(x M ; y M )

 Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2

 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f (x 1 ).f (x 2 ) = –1

Bài 1 Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B

1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB

2) Chứng minh diện tích của IAB là một hằng số

3) Tìm điểm M để chu vi IAB là nhỏ nhất

Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M

 Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M

Khi đó, M được gọi là điểm cố định của họ (Cm)

 Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M

 Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M

A B C

m x m



VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (C m): y = f(x, m) đi qua

 Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (C m ) đi qua

A B C A

thị không đi qua

Bài 1 Tìm các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:

Bài 1 Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua: a) (Cm):

2

mx m m y

Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất 

 Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình của tập hợp điểm đó

Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M

1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M

2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m

Có các trường hợp xảy ra:

F(x, y) = 0 (gọi là phương trình quĩ tích)

Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng y = b

3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bước 1), ta tìm được điều kiện của x hoặc y để tồn tại điểm M(x; y) Đó là giới hạn của quĩ tích

4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phương trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b) với điều kiện của x hoặc y (ở bước 3)

Dạng 2: Trong trường hợp ta không thể tính được toạ độ của điểm M theo tham số m mà

chỉ thiết lập được một hệ thức chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức để tìm được hệ thức dạng F(x, y) = 0

Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình

F(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của quĩ tích

Bài 1 Tìm tập hợp các điểm đặc biệt của họ đồ thị đã cho

mx



 Tìm tập hợp các tâm đối xứng của (Hm)

Bài 2 Cho (C) và (C) Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng