Bài giảng: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Trang 1

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

G IẢI TÍCH 12

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

Trang 2

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải

như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận

được giải đáp

Trang 3

Đ6 khảo sát một số hàm đa thức

A bài giảng

1 Hàm đa thức bậc ba

Với hàm số:

y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a  0

ta lần lợt có:

a Tập xác định D =

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

y = ax3(1 + + + ) =

 Bảng biến thiên:

y' = 3ax2 + 2bx + c, y' = 0  3ax2 + 2bx + c = 0 Lập bảng biến thiên:

y'

y

Dựa vào bảng biến thiên đa ra kết luận về các khoảng

đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số

 Điểm uốn:

y'' = 6ax + 2b, y'' = 0  6ax + 2b = 0  x = Vì y" đổi dấu khi x qua điểm  nên đồ thị hàm số có

c Đồ thị: Do có bốn trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm bậc ba có bốn dạng sau đây:

Với a > 0 Với a < 0

Có hai cực

trị Không có cựctrị Có hai cựctrị Không có cựctrị

y

x

O

b/

I

y

x I

y

x

O b/

I

y

x I

Trang 4

Một số tính chất của hàm số đa thức bậc ba

Tích chất 1: Đồ thị nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng

Tích chất 2: Tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có hệ số

góc nhỏ nhất nếu a > 0 và hệ số góc lớn nhất nếu a < 0 trong các tiếp tuyến của đồ thị

Tích chất 3: Nếu đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm cách đều

nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành

Thí dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x3

 Giải

Ta lần lợt có:

1 Hàm số xác định trên D =

2 Sự biến thiên của hàm số:

y = [x3(1 +  )]

y' = 3x2 + 6x, y' = 0  3x2 + 6x = 0 



 Điểm uốn:

y'' = 6x + 6, y'' = 0  6x + 6 = 0  x = 1 Vì y" đổi dấu khi x qua điểm  nên đồ thị hàm số có một điểm uốn là I(1; 2)

3 Đồ thị của hàm số:

 Giao của đồ thị hàm số với trục tung là A(0; 4)

 Giao của đồ thị hàm số với trục hoành:

x3 + 3x2  4 = 0  (x  1)(x2 + 4x + 4) = 0   B(1; 0)

Hoạt

động Cho hàm số:

2

 4



2 1

Trang 5

y = x3  3x2 + 1.

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

b Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của

đồ thị.

c Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ

thị

d Tuỳ theo giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của

phơng trình x3  3x2 + m = 0

2 hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phơng

Với hàm số:

y = f(x) = ax4 + bx2 + c, với a  0

ta lần lợt có:

a Tập xác định D =

b Sự biến thiên của hàm số:

y = ax4(1 + + ) =

y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b), y' = 0  2x(2ax2 + b)

= 0

Lập bảng biến thiên:

y'

y

Dựa vào bảng biến thiên đa ra kết luận về các khoảng

đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số

 Điểm uốn:

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt ta lập bảng:

y"

y

Đồ thị hàm số có hai điểm uốn I1(x1; f(x1)) và I2(x2; f(x2))

c Đồ thị: Do có bốn trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm trùng phơng có bốn dạng sau đây:

Với a > 0 Với a < 0

Có một cực

trị Có ba cực trị Có một cựctrị Có ba cực trị

Trang 6

Một số tính chất của hàm trùng phơng

Tích chất 1:Hàm số có cực trị với mọi giá trị của tham số sao cho a

 0

Tích chất 2:Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

Thí dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x4

 Giải

Ta lần lợt có:

y = [x4(1 + + )] = +

y' = 4x3 + 4x, y' = 0  4x3 + 4x = 0  x = 0

x 

+

y +

 Điểm uốn:

y'' = 12x2 + 4 > 0, xD  Đồ thị hàm số không có

điểm uốn

3 Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm A(1; 4) và B(1; 4) Hoạt

động Cho hàm số:

y = x4  3x2 + 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

b Viết phơng trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của

đồ thị

d Tuỳ theo giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của

phơng trình x4  3x2 + m = 0

bài tập lần 1

y

x O

y

x O

y

x O

y

x O

y

B

S O

1 1

1

A

Trang 7

Bài tập 1: Cho hàm số (C): y = x3  3x2 + 3x + 1.

luôn có nghiệm duy nhất

Bài tập 2: Cho hàm số:

x = –1 và đồ thị của nó đi qua điểm (1; 4)

a, b vừa tìm đợc

trình :

điểm x = 3 và đồ thị (C) của nó tiếp xúc với đờng thẳng

y = 3x – tại giao điểm của (C) với trục tung

vừa tìm đợc của a, b, c

Bài tập 4: Cho hàm số (C): y = x4  3x2 + 2

+ 2

nghiệm phân biệt

điểm cố định với mọi giá trị của m

nghiệm dơng

điểm uốn của nó

Trang 8

Bài tập 6: Cho hàm số (Cm): y = x4  2mx2 + 2m.

uốn

 Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần “Bài giảng nâng cao”

Trang 9

Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 350.000đ.

1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

Lấ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.

LUễN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

bài giảng nâng cao

Bài toán 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức

bậc ba

Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = x3  3x2 + 3x + 1

luôn có nghiệm duy nhất

 Giải

a Ta lần lợt có:

Trang 10

y = =

y' = 3x2  6x + 3 = 3(x2  2x + 1) = 3(x  1)2  0, xD

 Hàm số đồng biến trên D



 Điểm uốn:

y'' = 6x  6, y'' = 0  6x  6 = 0  x = 1

Vì y" đổi dấu khi x qua điểm  nên đồ thị hàm số có một điểm uốn là I(1; 2)

3 Đồ thị của hàm số:

 Giao của đồ thị hàm số với trục tung là A(0; 1)

 Lấy thêm điểm B(2; 3):

b Viét lại phơng trình dới dạng:

trình (1) luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

c Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn I có dạng:

(dI): y  2 = y'(1)(x  1)  (dI): y  2 = 0

d Công thức chuyển hệ toạ độ trong phép tịnh tiến theo vectơ là:



và khi đó trong hệ tọa độ IXY (C) có phơng trình:

(C): Y + 2 = (X + 1)3  3(X + 1)2 + 3(X + 1) + 1

 (C): Y = X3 + 3X

Nhận xét rằng, trong hệ tọa độ IXY hàm số Y = X3 + 3X là hàm

số lẻ dó đó nó nhận gốc I làm tâm đối xứng

Vậy, điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị

Ví dụ 2: Cho hàm số:

x = –1 và đồ thị của nó đi qua điểm (1; 4)

a, b vừa tìm đợc

y

x O

I

1 A

2 1

B

2 3

Trang 11

c Tuỳ theo giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phơng trình :

 Giải

a Trớc tiên, ta có:

y' = 3x2 + a; y" = 6x

Ta lần lợt sử dụng các điều kiện:

 Đồ thị của hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 khi:

 Đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; 4)) ta đợc:

4 = 1 + a + b

Vậy, với a = 3, b = 2 thoả mãn điều

kiện đầu bài

b Với kết quả câu a), hàm số có dạng:

(C): y = x3 + 3x + 2

Ta lần lợt có:

y' = 3x2 + 3, y' = 0  3x2 + 3 = 0  x = 1



 Điểm uốn:

y'' = 6x, y'' = 0  6x = 0  x = 0

Vì y" đổi dấu khi x qua điểm 0 nên đồ thị hàm số có một điểm uốn là I(0; 2)

4 Đồ thị của hàm số: Ta tìm thêm điểm A(2; 4) và B(2; 0) trên

đồ thị

c Viết lại phơng trình dới dạng

x3 + 3x + 2 = m + 2

y

x

I

1

4

2

B

y = m (C)

2 A

2

Trang 12

Nhận xét rằng số nghiệm của phơng trình chính bằng số giao

điểm của đồ thị hàm số với đờng thẳng y = m + 2, do đó ta có kết luận:

 Với:

 Phơng trình có nghiệm duy nhất

 Với:

 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

 Với:

0 < m + 2 < 4  2 < m < 2  Phơng trình có ba nghiệm phân biệt

điểm x = 3 và đồ thị (C) của nó tiếp xúc với đờng thẳng

y = 3x – tại giao điểm của (C) với trục tung

vừa tìm đợc của a, b, c

 Giải

a Trớc tiên, ta có:

y' = x2 + 2ax + b; y" = 2x + 2a

Ta lần lợt sử dụng các điều kiện:

 Đồ thị của hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 khi:

 Đồ thị của hàm số tiếp xúc với đờng thẳng (d): y = 3x – tại giao điểm của (C) với trục tung (là điểm A(0; c)) ta đợc:

 Vậy, với a = 1, b = 3 và thoả mãn điều kiện đầu bài

b Với kết quả câu a), hàm số có dạng (C): y =  x3 + x2 + 3x 

Trang 13

Ta lần lợt có:

y' = x2 + 2x + 3, y' = 0  x2 + 2x + 3 = 0



y  CT2 26/CĐ

3



 Điểm uốn:

y'' = 2x + 2, y'' = 0  2x + 2 = 0  x = 1 Vì y" đổi dấu khi x qua điểm  nên đồ thị hàm số có một điểm uốn là

5 Đồ thị của hàm số: Ta tìm thêm điểm trên đồ thị là

Bạn đọc tự vẽ đồ thị.

Bài toán 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm đa thức bậc bốn

dạng trùng phơng

Ví dụ 4: Cho hàm số (C): y = x4  3x2 + 2

+ 2

nghiệm phân biệt

 Giải

Trang 14

=

y' = 4x36x, y' = 0  4x36x = 0 

+ 0

+

1/4 CĐ2 1/4CT +

 Điểm uốn:

y'' = 12x26, y'' = 0  12x26 = 0  x =  Vì y" đổi dấu khi x qua các điểm  nên đồ thị hàm

số có hai điểm uốn là và

3 Đồ thị của hàm số: Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thị

b Đồ thị y = f(x) gồm:

Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x)

Đối xứng phần đồ thị phía dới trục hoành qua trục hoành

c Viết lại phơng trình dới dạng:

x4  3x2 + 2 = m + 1

điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đờng thẳng y = m + 1, do

đó để phơng trình có tám nghiệm phân biệt điều kiện là:

x O

y

y=f(

x)

1/

4

2

B A

y = m + 1

1/4

Trang 15



điểm cố định với mọi giá trị của m

nghiệm dơng

điểm uốn của nó

 Giải

1 Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của họ (Cm), khi đó:

y0 = (m  1) + m, m  (1  )m + +  y0 = 0, m

Vậy, họ (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định M1(1; 2) và M2(1; 2)

2 Với m = 1 hàm số có dạng (C): y = x4 + 2x2  1

=

y' = 4x3 + 4x, y' = 0  4x3 + 4x = 0  x = 0

x 

+

y +

 Điểm uốn:

y'' = 12x2 + 4 > 0, xD  Đồ thị hàm số không có

điểm uốn

3 Đồ thị của hàm số: Lấy thêm các điểm A(1; 2) và B(1; 2)

Trang 16

3 Viết lại phơng trình dới dạng:

x4 + 2x2  1 = k  1

điểm của đồ thị hàm số với đờng thẳng y = k  1, do đó để

ph-ơng trình có đúng một nghiệm dph-ơng điều kiện là:

1  k > 0  k < 1

Vây, với k < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 6: Cho hàm số (Cm): y = x4  2mx2 + 2m

uốn

 Giải

1 Với m = hàm số có dạng (C): y = x4  x2  1

=

y' = 4x32x, y' = 0  4x32x = 0 

+ 0

+

5/4 CĐ1 5/4CT +

 Điểm uốn:

y'' = 12x22, y'' = 0  12x22 = 0  x =  Vì y" đổi dấu khi x qua các điểm  nên đồ thị hàm

Trang 17

4 Đồ thị của hàm số: Ta tìm thêm các A(1; 1), B(1; 1).

b Ta lần lợt có:

 Phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn có dạng:

 (d1): y =

 Phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn có dạng:

 (d2): y =

2 Miền xác định D =

Đạo hàm:

y' = 4x34mx

y' = 0  4x34mx = 0  4x(x2m) = 0

(1)

Để hàm số có ba cực trị điều kiện là:

Phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt  m > 0

Vậy, với m > 0 thỏa mãn điều kiện đầu bài

C bài tập rèn luyện

hàm số bậc ba

Bài tập 1:

a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số:

y = x3  3x2 + 1

b Tuỳ theo giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phơng trình:

x3  3x2 + m + 2 = 0

(C): y = ax3 + 3x21

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với a = 1

b Với giá trị nào của a thì đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt

y = 2x3 + 3(m1)x2 + 6(m2)x1

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 3

b Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu và lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

Bài tập 4: Cho hàm số

Trang 18

(Cm): y = x33(m + 1)x2 + 2(m2 + 7m + 2)x2m(m + 2)

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0

b Tìm m để phơng trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt 1

c Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu Viết phơng trình đ-ờng thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

y = x33x2 + m2x + m

b Xác định m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đờng thẳng x2y = 5

y = x3 + mx2 4

b Với mỗi giá trị của tham số m, tìm toạ độ của điểm cực đại

và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

y = x3 + (m + 1)x2 + (m + 2)x3

b Với mỗi giá trị của tham số m, tìm toạ độ của điểm cực đại

và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

y = x3 + 3mx2 + 3(m21)x + m33m

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b CMR với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu,

đồng thời chứng minh rằng khi m thay đổi các điểm cực đại

và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn chạy trên hai đờng thẳng

cố định

y = x33(m1)x2 + (2m23m + 2)xm(m1)

c Xác định m để (d) vuông góc với đờng thẳng x + y + 2 = 0

y = 3x3 + 3(m3)x2 + 113m

Tiêu đề	Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức
Người hướng dẫn	Lê Hồng Đức
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Giải tích
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	532 KB