Chủ đề: Sự biến thiên của hàm số chứa tham số

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số

PHẦN V: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

A TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

chủ đề 2

sự biến thiên của hàm số chứa tham số

I Kiến thức cơ bản

Bài toán 1 Cho hàm số y=f(x, m) Tuỳ theo giá trị của tham số m hãy khảo sát sự biến thiên của

hàm số

phơng pháp chung Chúng ta cần thực hiện các bớc sau:

Bớc 1: Tìm miền xác định của hàm số

Bớc 2: Tính đạo hàm y', thiết lập phơng trình y'=0 (1) Bớc 3: Giải và biện luận phơng trình (1) từ đó đa ra bàng biến thiên cho

mỗi trờng hợp

Chú ý:

1 Nếu y' là hàm bậc nhất dạng: ax+b thì cần xét ba khả năng: a=0, a>0, a<0

2 Nếu y' là hàm số bậc hai dạng: ax2+bx+c thì cần xét xét 2 khả năng:

a Với a=0

b Với a0: lập bảng xét dấu của a và , từ đó có đợc các trờng hợp riêng lẻ

Ví dụ 1: Hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số y=

2

1 (m2-4)x2-(3m-6)x+

2 9

theo m

Giải

Miền xác định D=R

Đạo hàm:

y'=(m2-4)x-3m+6 suy ra y'=0  (m2-4)x-3m+6=0 (1)

Ta đi xét ba trờng hợp:

Trờng hợp 1: a=0  m2-4=0  m=2

- Với m=2  y'=0  Hàm số là hàm hằng

- Với m=-2  y'=12>0 x  Hàm số luôn đồng biến

Giới hạn:





xlim y=





xlim (12x+

2

9 )= -





xlim y =





xlim (12x+

2

9 )= +

Bảng biến thiên

Trờng hợp 2: a<0  m2-4<0  |m|<2.m|m|<2.<2

Khi đó phơng trình (1) có nghiệm x0=

2 m

3

 Giới hạn:





xlim y=





xlim y = -.

Bảng biến thiên

Trong đó: y(x0)=y(

2 m

3

 )=

2 m 18



Trờng hợp 3: a>0  m2-4>0  |m|<2.m|m|<2.>2

Khi đó phơng trình (1) có nghiệm x0=

2 m

3

 Giới hạn:





xlim y=





xlim y = +.

Bảng biến thiên

y(x0) +

Ví dụ 2: Hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số y=mx3-3(m-1)x2+3(m-2)x+1 theo m

Giải

Miền xác định D=R

Đạo hàm: y'=3mx2-6(m-1)x+3(m-2)

Trờng hợp 1: m=0

Khi đó:

(1)  2x-2=0  x=1

Giới hạn:





xlim y= 

xlim ( 3x2-6x+1)=+

Bảng biến thiên

-2 +

Trờng hợp 2: m>0

Khi đó:

(1)  x1=1, x2=

m

2

m 

và x1>x2 Giới hạn:





xlim y=- &





xlim y = +.

Bảng biến thiên

Trờng hợp 3: m<0

Khi đó:

(1)  x1=1, x2=

m

2

m 

và x1<x2 Giới hạn:





xlim y=+ &





xlim y =-.

Bảng biến thiên

II các bài toán chọn lọc

Bài 1 (Đề 12): Hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số y=xn+(c-x)n với c>0 và n nguyên lớn hơn 1

bài giải

Miền xác định D=R

Đạo hàm:

y'=nxn-1-n(c-x)n-1, y'=0  nxn-1-n(c-x)n-1=0  xn-1=(c-x)n-1 (1)

Ta đi xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: Nếu n chẵn  n-1 lẻ

Suy ra (1) có nghiệm là x=

2

c . Trờng hợp 2: Nếu n lẻ  n-1 chẵn

Suy ra (1) có nghiệm là x=

2

c

Vậy phơng trình (1) luôn có nghiệm duy nhất là x=

2

c

và f(

2

c )=2( 2

c )n Giới hạn:





xlim y=





xlim y = + 

Bảng biến thiên

Bài 2 (Đề-47): Hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số y=4x3+ax theo a

bài giải

Miền xác định D=R

Đạo hàm:

ta có =-48a

Ta đi xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: 0  a0

Khi đó y'=12x2+a 0 x  Hàm số luôn đồng biến

Giới hạn:





xlim y=





xlim (4x3+ax)=-,





xlim y =





xlim (4x3+ax)=+ Bảng biến thiên

y

Trờng hợp 2: >0  a<0

Suy ra phơng trình (1) có hai nghiệm là x=  a / 12

Bảng biến thiên

y

+ Trong đó:

yCĐ

=y(-12

a

)=-3

a 2

12

a

 , yCT=y(

12

a

3

a 2

12

a

Bài 3 (Đề-101): Khảo sát sự biến thiên của hàm số y=

1 x

a x

2



 theo a

bài giải

Miền xác định D=R

Đạo hàm:

1 x ) 1 x

(

1 ax

2





Ta đi xét ba trờng hợp:

Trờng hợp 1: a=0

Suy ra y'=

1 x ) 1 x

(

1 2

2  >0 x  Hàm số luôn đồng biến

Giới hạn:





xlim y=





xlim

1 x

a x

2



=





xlim

2 x / 1 1

x / a 1







=-1;





xlim y =





xlim

1 x

a x

2



=





xlim

2 x / 1 1

x / a 1





=1

Bảng biến thiên

Trờng hợp 2: a>0

Khi đó phơng trình (1) có nghiệm x=

a

1 Bảng biến thiên

Trong đó: y(

a

1 )=

1 a 1

a a 1

2

















a

1 

Trờng hợp 3: a<0

Khi đó phơng trình (1) có nghiệm x=

a

1 Bảng biến thiên

y -1

Chú ý Nếu phơng trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 phụ thuộc tham

số thì cần xét hai khả năng: x1<x2 và x1>x2

Bài 4 (Đề-84): Tuỳ theo a, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số y=4x3+(a+3)x2+ax

bài giải

Miền xác định D=R

Đạo hàm:

y'=12x2+2(a+3)x+a  y'=0  12x2+2(a+3)x+a =0 (1)

ta có '=(a+3)2-12a=(a-3)20

Ta đi xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: =0  a=3

Suy ra

y'=3(2x+1)2 0 x  Hàm số luôn đồng biến

Giới hạn:



xlim y=- và





xlim y =+.

Bảng biến thiên

y

-

+

Trờng hợp 2: >0  a3

Suy ra phơng trình (1) có hai nghiệm là x1= -

2

1 hoặc x2= -

6

a Xét hai khả năng sau:

Khả năng 1 x1<x2 

-2

1

<-6

a  a<3

Khi đó ta có bảng biến thiên

y

-

y(-1/2)

y(-a/6)

+

Khả năng 2 x1>x2  a>3

Khi đó ta có bảng biến thiên

y

-

y(-a/6)

y(-1/2)

+

Trong đó:

y(-2

1 )=

4

a

1 

và y(-6

a )=

108

a

a3  2

III Bài tập đề nghị

Bài tập 1 Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số tuỳ theo giá trị của m

a y=x3+3mx2+3(m2-1)x+m3-3m

b y=-x3+mx2 -4

c y=x3+3x2+mx+m

d

y=-3

1

mx3+mx2-x

e y=

3

1

x3-mx2+(2m-1)x-m+2

Bài tập 2 Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số tuỳ theo giá trị của m

a y= x4-2mx2+2m+m4

b y=xm.(4-x)2

Bài tập 3 Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số tuỳ theo giá trị của m

a y=

1 x

8 m mx

x2









b y=

m x

1 mx

x2







c y=

1 x

1 mx

x2







d y=

m 2 x

m 3 mx 2







e y=

2 x

2 x

mx2







f y=

m x

m m 4 x ) 1 m (











Bài tập 4 Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số tuỳ theo giá trị của m

x

4 

b y=x- x2  xm

Bài tập 5 (HVNH 99): Cho hàm số : y=-x3+ax2-4

a Với mỗi giá trị của tham số a khảo sát chiều biến thiên của hàm số

b Xác định a để mọi đờng thẳng y=m với -4<m<0 cắt đồ thị hàm số tại ba

điểm phân biệt