Giáo án Hình học 12 - Bài 1: Hệ toạ độ trong không gian (5 tiết)

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng : Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d với mặt Lop12.net... GV : Vị trí tương đối của một.[r]

CHƯƠNG IV: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNGGIAN

§ 1 : HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (5 tiết)

A Mục tiêu : Yêu cầu học sinh

- Nắm vững định nghĩa về toạ độ của 1 điểm 1 vectơ đối với hệ toạ độ đã xác định

- Hiểu và nhớ các biểu thức toạ độ của phép toán các công thức biểu thị các quan hệ giữa

các v ectơ

- Hiểu và nhớ các công thức biểu thị mối quan hệ giữa các điểm

- Viết được phương trình của mặt cầu với các điều kiện cho trước Xác định tâm và bán

kính của mặt cầu khi biết phương trình

- Biết vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian đơn giản

B Nội dung bài giảng :

1 Hệ trục tọa độ trong không gian:

Trong không gian, xét 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz đôi

một vuông góc nhau Gọi các vectơ đơn vị trên Ox,

Oy, Oz lần lượt là : OI i , Oj  j , OK=k  

* Định nghĩa :

Hệ gồm 3 trục Ox; Oy; Oz đôi một vuông góc được

gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian

và kí hiệu : Oxyz

+ Điểm O gọi là gốc , Ox : trục hoành ; Oy : trục

tung ; Oz : trục cao

+ Các mặt phẳng tọa độ : (Oxy); (Oyz); (Oxz)

Ta cần chú ý: 2 2 2

1 0

i   j k       i j j kk i

2 Tọa độ của điểm :

Trong không gian Oxyz mỗi điểm M được hoàn

toàn xác định bởi OMta co ù =

OM

xi yj zk

  

Như vậy : M(x;y;z)  OM=

xi yj zk

  

x : hoành độ ; y : tung độ; z : cao độ

* Chú ý :

1) M  (Oxy)  z = 0 hay M (x;y;O)

M  (Oyz)  x = 0 hay M (O;y;z)

M  (Oxz)  y = 0 hay M (x;O;z)

2 M  Ox  M (x;0;0)

M  Oy  M (0;y;0)

M  Oz  M (0;0;z)

HĐ1 ( SGK)

3 Tọa độ của vectơ:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho có duy nhất u

bộ ba (x;y;x) sao cho : = x + y + zu

i



j



k



Bộ ba đó gọi là tọa độ đối với hệ tọa độ Oxyz u

Kí hiệu : = (x;y;z)u

Giáo viên có thể dùng hình ảnh trực quan để mô tả hệ trục tọa độ

1 Tại sao có đẳng thức bên cạnh + Vì các vectơ   i j k, , là các vectơ đơn vị và đôi một vuông góc

2 Tại sao

x = OM ; y = ?

i



OM j  zOM k 

vì OM i      (xi+y j+zk).i= 2= x

xi

Tương tự cho các trường hợp còn lại

k

i j

x

y z

o 1

Ta có : i(1; 0; 0); j(0;1; 0); k (0; 0;1)

* Các tính chất:

Cho = (xu1 1; y1; z1); = (x2; y2; z2) và số k tùy ý

2

u

Ta có :

1 =  u1

2

1 2

1 2





 



 



2 + = (xu1 1+x2; y1+y2; z1+z2)

2

u

3 - =(xu1 1-x2; y1+y2; z1-z2)

2

u

4 k = (kxu 1;ky1;kz1)

5 =(xu1 1x2 + y1y2 + z1z2

2

u

6 =u 2 2 2 2

1 2 3

u  x x x



 

1

u

0

2 0

u 

8.u 1u2 u u 1 2  0 x x1 2y y1 2z z1 2 0

4) Liên hệ giữa toạ độ vectơ và tọa độ 2 điểm

mút:

Cho hai điểm : A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB) ta có

1 AB(x Bx A;y By A;z Bz A)

AB x x  y y  z z

HĐ2 : Trong không gian toạ độ Oxyz

Cho 4 điểm không đồng phẳng A(x A ; y A ; z A );

B(x B ; y B ; z B ); C(x C ; y C ; z C ); D(x D ; y D ; z D )

a Toạ độ trung điểm đoạn thẳng AB

2 2 2

A B

A B

A B

x

y

z



 







 







 



b Toạ độ trọng tâm ABC

Cần nhấn mạnh tọa độ các véc tơ đơn vị

GV : Nếu I là trung điểm của đoạn AB thì mối quan hệ giữa các vectơ OI OA OB  , , như thế nào?

+ Tương tự cho trọng tâm của tam giác và tứ diện

* Giáo viên nhắc lại tính chất trọng tâm của tam giác và tứ

( ; ; )

u  x y z   u xi y jzk

3 3 3

x

y

z

 





 





 



c) Toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD

4 4 4

x

y

z

 





 





 



Ví dụ : Trong không gian toạ độ Oxyz, cho

A (5; 3; -1); B (2; 3; -4); C (1; 2; 0); D (3; 1; -2)

1 CMR :

a A,B,C,D không đồng phẳng

b Tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc

c Hình chóp D ABC là hình chóp đều

2 Tìm toạ độ điểm H là chân đường cao của hình

chóp D.ABC

ĐS : 2) H(8/3 ; 8/3; -5/3)

5 Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ

* Định nghĩa : Tích có hướng (hay tích vectơ) của

u  a b c  a b c

và v

Là 1 vectơ được kí hiệu [u;v] hay(uv) và có toạ

độ được xác định : , ' c' ; ' a' ; ' b'

b c c a a b

 

Ví dụ 2 : Cho

u (1; 0; 1)   (2;1;1)u v ; (1; 3;1)

và v

HĐ3 : Đối với hệ toạ độ (0; ; ; )  i j k

,j k; j,k i; k,i j

Ta co ù: i

* Tính chất của tích có hướng:

1).u v ,    0 u cùng phương v

2).u v , u u v , v

và

diện

Hướng dẫn cho học sinh hoạt động, rèn luyện kỹ năng tính toán

Cần nhấn mạnh cho học sinh tích có hướng của 2 véc tơ là 1 véc tơ

Tức là :   u v u    ,   = 0 và   u v v    ,    0

3).u v ,   u v  .sin( , )u v 

CM (SGK)

4)  u   v   u  v   0

 vàvcùng phương [u,v] 0





u

 u  , w đồng phẳng 

, v u v w  ,   0

Ví dụ 3 : Trong không gian Oxyz cho 4 điểm

A(0; 1; 1); B(-1; 0; 2); C(-1; 1; 0); D(2; 1; -2)

a) CMR ABCD là 1 tứ diện

b) Tính độ dài của đường cao  ABC kẻ từ đỉnh A và

bán kính đường tròn nội tiếp của 

c) Tính góc CBD và góc giữa AB và CD.

d) Tính thể tích từ diện ABCD Suy ra đường cao

của tứ diện kẻ từ D

* Áp dụng tích vô hướng để tính diện tích hình

bình hành và thể tích khối hộp:

 Diện tích của Hình bình hành ABCD là :

S  ( AB AD, )

 Thể tích hình hộp ABCDA’B’C’D’

V ABCD. 'B'C'D' [AB;AD].AA'

6) Phương trình mặt cầu :

Trong không gian toạ độ Oxyz cho mặt cầu S(I,R)

tâm I(x0 ;y0 ;z0), bán kính R

M(x; y; z)S(I; R)  IM = R  IM2 = R2

 (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = R2

Vậy : Mặt cầu tâm I (x 0 ; y 0 ; z 0 ), bán kính R có

phương trình : (x-x 0 ) 2 + (y-y 0 ) 2 + (z-z 0 ) 2 = R 2

HĐ5 : Viết phương trình mặt cầu đường kính AB ,

A(a 1 ; b 1 ; c 1 ); A(a 2 ; b 2 ; c 2 ) theo 2 cách :

- Tính toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu:

M  (S)  A M A M1 2 0

GV:Nếu [u,v] 0 thì sao ?



Nếu [u,v].w 0 ?

GV : gợi ý cho học sinh giải VD3

r

c) Góc CBD 37 o 52’

(AB,CD) 36 0 49’

d) V = 5/6 ; DH = 5 / 6

GV:Thể tích tứ diện ABCD ¿ Được tính bỡi công thức :

6

1



ABCD

V [AB;AC].AD

HĐ6 : Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm: A(0; 0; 0;); B(1; 0; 0); C(0; 1; 0); D(0; 0;-1)

* Chú ý : Phương trình :

x 2 + y 2 + a 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu  a 2 + b 2 + c 2 – d > 0

Khi đó tâm mặt cầu I(-a; -b; -c) và bán kính mặt cầu 2 2 2

R a b  c d

HĐ7 : Mỗi phương trình sau đây có phải là phương trình mặt cầu hay không? Nếu có hãy xác định tâm và bán kính

a) x2 + y2 –z2 + 2x – y + 1 =0

b) x2 + y2 + z2 - 2x = 0

c) 2x2 + 2y2 = (x+y)2 – z2 + 2x -1

d) (x + y)2 = 2xy – z2 +1

Củng cố : Cho học sinh làm BT 1), 9a, 13a,

Bài tập về nhà : BT 2 đến 14, (SGK, trang 77, 78, 79)

§ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (4 tiết)

A Mục tiêu : Yêu cầu học sinh

- Hiểu được trong không gian mỗi mặt phẳng đều có phương trình có dạng :

Ax + By + Cz + D = 0 A2 + B2 + C2  0

- Học sinh xác định đưcợ vectơ pháp tuyến, toạ độ điểm, các TH đặc biệt

- Nắm vững cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến

- Có thể nhận biết nhanh chóng vị trí tương đối của 2 mặt phẳng căn cứ vào phương trình của chúng

- Nhớ và vận dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng và áp dụng các bài toán

B Nội dung bài giảng:

1 Phương trình mặt phẳng:

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng() qua

M(x0; y0; z0) và VTPT n( ; ; )A B C

0

M x y z   M M n 

 A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 (1)

Phương trình (1) là phương trình của mặt phẳng ()

Ví dụ 1 : Viết PT (  ) qua 3 điểm M(0;1;1) ;

N(1;-2;0) ; P(1;0;2)

VTPT nMN MP ;   ( 4; 2; 2)

 Phương trình của () : 2x + y – z = 0

HĐ1 : Viết PT mặt phẳng (P) trung trực của AB

Biết A(1;-2;3) và B(-5;0;1)

 Nhận xét : PT mp () viết dưới dạng :

* Định lý : Trong không gian Oxyz mỗi phương

trình Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 > 0

đều là phương trình của 1 mp xác định

2 Các trường hợp riêng :

Trong không gian Oxyz cho mp ()

Nhấn mạnh cho học sinh các trường hợp riêng của pt mặt phẳng

Ax + By + Cz + D = 0

Với A2 + B2 + C2 + D2 > 0



n 

0

M

M

x

y z

o1

Ax + By + Cz + D = 0

* A = 0  () : By + Cz + D = 0 : () song song

hoặc chứa Ox

* B = 0  () : Ax + Cz + D = 0 : () song song

hoặc chứa Oy

* C = 0  () : Ax + By + D = 0 : () song song

hoặc chứa Oz

* D = 0  (): Ax + By + Cz = 0

 () đi qua gốc tọa độ

 A = B = 0  () : Cz + D = 0

 () // (Oxy) D  0

()  (Oxy) D = 0

 A = C = 0  () : By + D = 0

 () // (Oxz) D  0

()  (Oxz) D = 0

 B = C = 0  () : Ax + D = 0

 () // (Oyz) D  0

()  (Oyz) D = 0

* Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :

() cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm

M(a;0;0) ; N(0;b;0) ; P(0;0;c) Phương trình () có

dạng :

Ví dụ 2 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho các

điểm M(30; 15; 6)

a) Hãy viết phương trình () đi qua các hình chiếu

của M trên các trục tọa độ

b)Tìm tọa độ hình chiếu H của O trên ()

3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

* Thuật ngữ và KH :

Hai bộ n số (A1 : A2 : :An) và (B1 :B2 : :Bn)

được gọi là tỉ lệ với nhau nếu có số t sao cho :

A1 = tB1, A2 = tB2 An = tBn

hay có số t’ : B1 = t’A1, B2 = t’A2 Bn = t’An

Pt không chứa x

Pt không chứa y

Pt không chứa z

Cho học sinh nhận xét tương tự như các trương hơp trên

Giải thích rõ cho học sinh 2 bộ số tỷ lệ

1

a  b c

Ta quy ước A1 :A2 : :An =B1 :B2 : :Bn

Hay : 1 2

1 2

n n

A

Nếu Bi = 0 thì Ai = 0

* Cho hai mặt phẳng có PT

() : Ax + By + Cz + D = 0

(’) : A’x + B’y + C’z + D’ =0

a) () cắt (’) A : B : C ≠ A’ : B’ : C’

b) () // (’)  A' B' C' D'

A  B C  D

c) ()  (’)  A' B' C' D'

A  B C  D

HĐ5 : Cho 2 mp :

(  ) : 2x – my + 10z + m +1 = 0

(  ) : x – 2y + (3m + 1)z - 10 = 0

Hãy tìm giá trị m để :

a) Hai mặt phẳng đó song song

b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau

c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau

d) Hai mặt phẳng đó vuông góc nhau

4 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.

Trong không gian oxyz cho điểm Mo( xo ; yo ; zo) và

mp () : Ax + By + Cz + D = 0 Khoảng cách từ

điểm Mo đến mp( ) là :

( o; ( )) Ax o By o Cz o D

d M

HD 6 : Tính khoảng cách giữa hai mp lần lượt có

phương trình :

3x – y + 2z - 6 = 0 và 6x – 2y + 4z + 4 = 0

VD 4 : Cho tứ diện ABCD có ba cạnh OA, OB, OC

đôi một vuông góc, OA = a, OB = b, OC = c Tính độ

dài đường cao của tứ diện kẻ từ O

VD 5 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh

a Trên các cạnh AA’, BC, C’D’ lần lượt lấy các

GV : Hướng dẫn học sinh chọn hệ trục, tính tọa độ các điểm

ĐS :

2 2 2 2 2 2

abc h



điểm M, N, P sao cho AM = CN = D’P = t, với

0 < t < a CMR : mp(MNP) song song với mp(ACD’)

và tính khoảng các giữa hai mặt phẳng đó

GV : Hướng dẫn học sinh chọn hệ trục, tính tọa độ các điểm

* GV : Hai mp song song khi nào ?

ĐS : d = t 3 / 3

Củng cố : Cho học sinh làm BT15ab, 16a, 17a, 21a,

Bài tập về nhà : Từ 15 đến 23 SGK trang 85,86,87

§ 3 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (7 tiết)

A Mục tiêu : Yêu cầu học sinh

- Nắm chắc 2 dạng phương trình đường thẳng

 PT tổng quát Và PT tham số (chính tắc)

 Biết cách chuyển từ PT dạng này sang dạng kia

- Biết cách xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng, vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Biết cách viết phương trình đường thẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước

- Biết tính góc và khoảng cách giữa các đối tượng Điểm đường thẳng và mặt phẳng

B Nội dung bài giảng :

1 Phương trình tổng quát của đường thẳng :

Trong không gian Oxyz ta xem

d = (’)  ( ) Xét hệ phương trình

Hệ PT trên gọi là PT tổng quát của đường thẳng (d) :

HĐ1 : Cho hệ PT :

2x – y + z – 1 = 0

x + y = 0

a) CMR đó là PT tổng quát của đường thẳng

b) Tìm tọa độ 2 điểm nằm trên đường thẳng tìm 1

VTCP

c) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng đó với các

mp tọa độ

2 PT tham số và PT chính xác của đường thẳng :

a) Phương trình tham số :

Trong không gian Oxyz (d) qua M(x0 ; y0 ; z0) và có

VTCP u ( ; ; )a b c a2 + b2 + c2 > 0

Lấy M(x ; y ; z)  (d)  M M0 tu

GV : Hướng dẫn cho học sinh thực hiện HĐ1

Ax + By + Cz + D = 0

A’x + B’y + C’ z + D’ = 0

A2 + B2 + C2 > 0;

A’2 + B’2 + C’2 >0

và A : B : C ≠ A’: B’:C’

x = x0 + ta

y = y0 + tb (1)

z = z0 + tc

a2 + b2 + c2 > 0

Hệ phương trình trên gọi là phương trình tham số của đường thẳng

HĐ2 : Cho đường thẳng (d) có PTTS

x = 1 – 2t

y = 2 + t

z = 2t

a) Hãy tìm tọa độ 1 VTCP của (d)

b) Xác định tọa độ của các điểm thuộc (d) ứng với

t = 0 ; t = 1 ; t = -2

c) Trong các điểm A(5 ;0 ;-4) ; B(-3 ;4 ;2) ; C(0 ;2,5 ;1) điểm nào thuộc (d)

b) Phương trình chính tắc :

* Xét đường thẳng (d) có PTTS (1)

Với abc ≠ 0, bằng cácch khử t từ các phương trình của hệ (1), ta được :

PT (2) gọi là PT chính tắc của d đi qua M(x0 ;y0 ;z0) và có VTCP u( ; ; )a b c

Ví dụ 1 : Cho 2 đường thẳng d1 và d2 có PT :

d1 : 2x + 2y + z – 4 = 0

2x – y – z + 5 = 0

a) Viết PTTS và PTCT của d1

b) Viết PTCT và PTTQ của đường thẳng d3 đi qua M(1 ;-1 ;2) vuông góc với cả d1 và d2

3 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng :

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d với mặt

(2)

phẳng () có phương trình :

x = x0 + at

d : y = y0 + bt (t  R) ():Ax+By+ Cz + D = 0

z = z0 + ct

Xét vị trí tương đối giữa d và ()

- Xét hệ phương trình : PT của d

PT của 

- Thay các giá trị a, y, z của d vào PT () ta có :

(Aa + Bb + Cc)t + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 (*)

Mỗi nghiệm của (*) ứng với 1 giao điểm của d và ()

TH1 : Aa + Bb + Cc = 0

PT (*) có 1 N0 duy nhất  d cắt ()

TH2 : Aa + Bb + Cc = 0

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 (M0  )

PT (*) VN  d// ()

TH3 : Aa + Bb + Cc = 0

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

PT (*) VSN  d ()

HĐ3 : Cho đường thẳng d qua điểm Mo(xo ; yo ; zo) có

VTCP ; mặt phẳng u có VTPT là Ta có :

+ u n  0  d và cắt nhau

( )

+ . 0  d //

( )

o

u n









 

( )

+ . 0  d

( )

o

u n









 

 ( )

Ví dụ 2 : Trong không gian Oxyz, với mỗi số m, xét

đường thẳng dm có phương trình :

2

1

x mt

y m t

  

  



    

 Với gia trị nào của m đường thẳng dm : cắt mp(Oxy),

song song với mp(Oxy), nằm trên mp(Oxy) ?

GV : Vị trí tương đối của một đường thẳng và mặt phẳng ?

GV : Cho học sinh chứng minh

HĐ 3 và nhớ kết quả để áp dụng giải toán

Giải :

CÁCH 1 : mp(oxy) : z = 0 Kết hợp với phương trình

của dm ta được : 1 – m +( 1 – m2) t = 0 (*)

* Nếu 1 – m2  0 , tức là m  1 : (*) có nghiệm duy 

nhất  dm cắt mp(Oxy)

* Nếu m = 1 thì (*) có vô số nghiệm  d1 nằm trên

mp(Oxy)

* Nếu m = –1 thì (*) vô nghiệm  d1 song song với

mp(Oxy)

CÁCH 2 :

dm đi qua I(1 ; m ; 1 – m) có VTCP 2 ,

( ;1;1 )

m

u  m m



mp(Oxy) có VTPT k (0;0;1)

* Nếu 1 – m2  0 , tức là m  1 thì  d m cắt

mp(Oxy)

* Nếu m = 1 thì u k 1 0và d1 đi qua

I(1 ; 1 ; 0) mp(Oxy) nên d1 nằm trên mp(Oxy)

* Nếu m = –1 thì u k 1 0và d-1 đi qua

I(1 ; 1 ; 0) không nằm trên mp(Oxy) nên d-1 song song

với mp(Oxy)

Chú ý : (SGK trang 93)Nếu đường thẳng d được cho

bởi phương trình tổng quát thì ta có thể làm một trong

hai cách sau :

* Đưa phương trình d về dạng tham số rồi giải như

trên.

* Kết hợp phương trình tổng quát của d và phương

trình của mp ( ) ta được hệ ba phương trình ba ẩn 

Giải hê phương trình đó ta biết về vị trí tương đối của

d và mp ( ) 

4) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng :

Trong không gian cho đường thẳng d và d’ lần lượt có

VTCP là u u , ' và qua M và M’

* [ , '].u u MM  '0 d và d’ chéo nhau

GV : Cho học sinh làm VD2

GV : Các vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian ? Từ các vị trí tương đối của hai đường thẳng , GV gợi ý đưa ra các điều như bên cạnh