Ôn thi TN-Tính đơn điệu của hàm số

Lý Thuyết: Hàm số đơn điệu: Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng.. Khi đó : * Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì với mọi * Nếu hàm s

Tính đơn điệu của hàm số

A Lý Thuyết:

Hàm số đơn điệu:

Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng

* f đồng biến trên K nếu với mọi

* f nghịch biến trên K nếu với mọi

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Khi đó :

* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì với mọi

* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì với mọi

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Định lý 1:Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange)

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm

sao cho f(b)-f(a)=f'( c) ( b-a)

Định lý 2:1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

* Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I

* Nếu và chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I

* Nếu thì hàm số f không đổi trên I

2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b)

* Nếu với mọi thì hàm số f đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a,b)

* Nếu với mọi thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a,b)

B Bài Tập :

Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi phương trình có một nghiệm duy nhất

thuộc đoạn

Bài giải:

Xét hàm số liên tục trên đoạn

Ta có

Vì sinx > 0 nên

Hàm số đồng biến trên đoạn và nghịch biến trên đoạn

* Hàm số f liên tục trên đoạn , ta có , nên phương trình cho không có

nghiệm

* Hàm số f liên tục trên đoạn ta có Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục

( lớp 11) , với mọi , tồn tại một số thực sao cho f( c) = 0 , với c

là nghiệm phương trình , đồng thời hàm số f nghịch biến trên đoạn phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc

Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R

Bài giải:

Để hàm số đồng biến trên R thì

*

!!/ m = 0 thì đúng Vậy m = 0 thỏa

Vậy hàm số đổng biến trên R

đoạn có độ dài bằng 5

Bài giải :

* Tập xác định : D = R

*

* , khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt

Để hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì thỏa mãn

Bài tập tự luyện:

1/Chứng minh rằng phương trình có 1 nghiệm duy nhất

a Tìm m để hàm số đồng biến trên R

b Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4

c Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1

Bài tập 4:Với giá trị nào của m thì hàm số luôn luôn đồng biến? Bài giải:

* Tập xác định D = R

* Để hàm số đồng biến trên D khi

trong khoảng

Bài giải:

Để hàm số đồng biến trong khoảng

PP1:

, do đó

PP2:

*

!/ Hàm số đồng biến trên D khi Do đó với thì hàm số cũng đồng biến trong khoảng

!!/ Giả sử thì pt y'=0 có hai nghiệm phân biệt

Hàm số đồng biến trong khoảng khi ta có hệ Kết hợp các trường hợp được giá trị

m cần tìm

Bài tập tự luyện:

6/ Định m để hàm số nghịch biến trong khoảng