Chữ số đứng liền giữa hai chữ số và nên ta có thể có hoặc Gọi số cần tìm là các chữ số khác nhau từng đôi một và , , c thuộc , sau đó ta chèn thêm hoặc để có được số gồm 6 chữ số cần tìm
Trang 1Câu 39 [1D2-2.1-2] (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - L1 - 2018) Đội văn nghệ của nhà trường gồm
học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B và học sinh lớp 12C Chọn ngẫu nhiên học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
Lời giải Chọn B
Số cách chọn ngẫu nhiên học sinh cách
Số cách chọn học sinh chỉ có lớp:
Vậy số cách chọn học sinh có cả lớp là
Câu 40 [1D2-2.1-2] (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - L1 - 2018) Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số có
chữ số đôi một khác nhau?
Lời giải Chọn D
Số có chữ số khác nhau đôi một:
Số có chữ số lẻ khác nhau đôi một:
Vậy số có chữ số chẵn khác nhau đôi một:
Câu 48 [1D2-2.1-2] (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có
sáu chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số đứng liền giữa hai chữ số và ?
Lời giải Chọn B
Chữ số đứng liền giữa hai chữ số và nên ta có thể có hoặc
Gọi số cần tìm là (các chữ số khác nhau từng đôi một và , , c thuộc ), sau đó
ta chèn thêm hoặc để có được số gồm 6 chữ số cần tìm
TH1: , số cách chọn là , số cách chọn và là , sau đó chèn hoặc vào vị trí còn lại nên có cách
TH2: , số cách chọn là 1, số cách chọn và là , sau đó chèn hoặc vào vị trí trước có duy nhất 1 cách nên có cách
Câu 26 [1D2-2.1-2] (THPT XUÂN HÒA-LẦN 1-2018) Từ các chữ số , , , , có thể lập được bao
nhiêu số gồm chữ số khác nhau và không chia hết cho ?
Lời giải
Chọn C
Gọi số cần tìm dạng: ,
Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau: số
Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5:
Trang 2 Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau không chia hết cho 5 là: số.
Câu 29 [1D2-2.1-2] (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Có nhà toán học nam, nhà toán học
nữ và nhà vật lý nam Lập một đoàn công tác gồm người cần có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật
lý thì có bao nhiêu cách.
Lời giải
Chọn B
Ta có các trường hợp sau:
TH1: Chọn được nhà vật lý nam, hai nhà toán học nữ có cách chọn.
TH2: Chọn được nhà vật lý nam, một nhà toán học nữ và một nhà toán học nam có cách chọn.
TH3: Chọn được nhà vật lý nam, một nhà toán học nữ có cách chọn.
Vậy, có cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 13: [1D2-2.1-2] (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho các số tự nhiên ,
, lần lượt là số lượng chỉnh hợp chập của phần tử, số lượng tổ hợp chập của phần
tử và số lượng hoán vị của phần tử Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Lời giải Chọn D
nên B sai nên C sai
Phương án D đúng
Câu 40 [1D2-2.1-2] (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Có bao nhiêu số có
bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số ?
Lời giải Chọn A (giống câu 47)
Số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số là một chỉnh hợp chập của phần tử
Vậy có số cần tìm
Câu 47 [1D2-2.1-2] (THPT Nguyễn Đức Thuận-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Có bao nhiêu số có
chữ số khác nhau được tạo thành từ các số ?
Trang 3Lời giải Chọn C (Giống câu 40)
Mỗi số cần tìm là chỉnh hợp chập của Do đó có số thỏa mãn đề bài
Câu 16 [1D2-2.1-2] (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Trong mặt phẳng có
đường thẳng song song với nhau và đường thẳng song song khác cùng cắt nhóm đường thẳng đó Đếm số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các giao điểm nói trên
Lời giải Chọn C
Mỗi hình bình hành tạo thành từ hai cặp cạnh song song nhau Vì vậy số hình bình hành tạo thành chính là số cách chọn 2 cặp đường thẳng song song trong hai nhóm đường thẳng trên
Chọn đường thẳng song song từ đường thẳng song song có (cách)
Chọn đường thẳng song song từ đường thẳng song song có (cách)
Vậy có (hình bình hành)
Câu 11 [1D2-2.1-2] (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Tìm tập nghiệm của phương trình
Lời giải Chọn C
Điều kiện ,
Ta có
Đối chiếu điều kiện, phương trình có nghiệm
Câu 23 [1D2-2.1-2] (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Có bao nhiêu số tự
Lời giải Chọn D
Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng với , , sao cho nên , ,
Suy ra số các số có dạng là
Trang 4Câu 33 [1D2-2.1-2] (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018) Một tổ có học
sịnh nam và học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn học sinh đi lao động, trong đó có đúng học sinh nam?
Lời giải Chọn D
Chọn học sinh nam, có cách
Chọn học sinh nữ, có cách
Vậy có cách chọn thỏa yêu cầu bài toán
Các phương án A, B, C, D chỉ gõ mò nên không được chính xác do ảnh mờ quá không nhìn rõ được
Câu 4 [1D2-2.1-2] (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Một tổ có học sinh nam và
học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn học sinh đi lao động, trong đó học sinh nam?
Lời giải Chọn B
Để chọn được học sinh theo yêu cầu ta cần chọn liên tục học sinh nam và học sinh nữ
Chọn học sinh nam có cách
Chọn học sinh nữ có cách
Theo quy tắc nhân, ta có cách chọn thỏa yêu cầu
Câu 16 [1D2-2.1-2] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho tập
Từ tập có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau ?
Lời giải Chọn B.
Tập gồm có phần tử là những số tự nhiên khác
Từ tập có thể lập được số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau
Câu 25 [1D2-2.1-2] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Một tổ công nhân có
người Cần chọn người, một người làm tổ trưởng, một tổ phó và một thành viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải Chọn C.
Số cách chọn người, một người làm tổ trưởng, một tổ phó và một thành viên là
(cách chọn) Câu 29 [1D2-2.1-2] (THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình lần 1 năm 2017-2018) Bình A chứa
quả cầu xanh, quả cầu đỏ và quả cầu trắng Bình B chứa quả cầu xanh, quả cầu đỏ và quả cầu trắng Bình C chứa quả cầu xanh, quả cầu đỏ và quả cầu trắng Từ mỗi bình lấy ra một quả cầu Có bao nhiêu cách lấy để cuối cùng được quả có màu giống nhau
Trang 5A B C D
Lời giải Chọn A
Trường hợp 1: Lấy được quả cầu xanh từ bình: Số cách lấy: (cách)
Trường hợp 2: Lấy được quả cầu đỏ từ bình: Số cách lấy: (cách)
Trường hợp 3: Lấy được quả cầu trắng từ bình: Số cách lấy: (cách)
Vậy có cách lấy được quả cùng màu từ bình
Câu 30 [1D2-2.1-2] (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Tổ lớp 11A có học sinh nam và
học sinh nữ Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra học sinh của tổ để lao động vệ sinh cùng cả trường Hỏi có bao nhiêu cách chọn học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam?
Lời giải Chọn C
Trường hợp 1: Chọn nam và nữ.
Trường hợp 2: Chọn nam và nữ.
Trường hợp 3: Chọn nam và nữ.
Trường hợp 4: Chọn nam.
Câu 37 [1D2-2.1-2] (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Có tấm thẻ đánh số từ đến
Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn.
Lời giải Chọn A
Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ từ tấm thẻ nên số phần tử của không gian mẫu là Gọi là biến cố: “Tích hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn”, khi đó ta có:
: “Tích hai số trên hai tấm thẻ là một số lẻ”,
Câu 20 [1D2-2.1-2] (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hai đường thẳng và song
song với nhau Trên lấy điểm phân biệt, trên lấy điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các điểm trên hai đường thẳng và
Lời giải Chọn B
TH1: Hai đỉnh thuộc và một đỉnh thuộc : Có tam giác
TH2: Hai đỉnh thuộc và một đỉnh thuộc : Có tam giác
Vậy số tam giác được tạo thành là
Trang 6Câu 30 [1D2-2.1-2] (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Một câu lạc bộ có thành viên Số
cách chọn một ban quản lí gồm chủ tịch, phó chủ tịch và thư kí là:
Lời giải Chọn A
Mỗi cách chọn người ở vị trí là một chỉnh hợp chập của thành viên
Số cách chọn là:
Câu 21 [1D2-2.1-2] (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Một nhóm gồm học sinh
nam và học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ đó ra học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam
Lời giải Chọn D
Chọn ra học sinh tham gia văn nghệ trong học sinh tùy ý có cách
Chọn ra học sinh tham gia văn nghệ trong học sinh nữ có cách
Vậy chọn ra học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam có
Câu 12: [1D2-2.1-2] (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Cho một tam giác,
trên ba cạnh của nó lấy điểm như hình vẽ Có tất cả bao nhiêu tam giác có ba đỉnh thuộc điểm đã cho ?
C3
C2
B1
A4
A3
A2
A1
Lời giải Chọn A.
Bộ điểm bất kỳ được chọn từ điểm đã cho có bộ
Bộ điểm không tạo thành tam giác có bộ
Vậy số tam giác tạo thành từ điểm đã cho có:
Câu 33 [1D2-2.1-2] (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Một giải thi đấu bóng đá quốc tế có
đội thi đấu vòng tròn lượt tính điểm (Hai đội bất kỳ đều thi đấu với nhau đúng trận) Sau mỗi trận đấu, đội thắng được điểm, đội thua điểm; nếu hòa mỗi đội được điểm Sau giải đấu, Ban tổ chức thống kê được trận hòa Hỏi tổng số điểm của tất cả các đội sau giải đấu bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Trang 7Chọn D.
Số trận đấu xảy ra trong giải là:
Tổng số điểm cho các trận thắng:
Tổng số điểm cho các trận hòa:
Tổng số điểm của tất cả các đội sau giải giải đấu là:
Câu 13: [1D2-2.1-2] (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Có bao nhiêu đoạn
thẳng được tạo thành từ điểm phân biệt khác nhau
Lời giải Chọn A.
Giả sử ta có hai điểm , phân biệt thì cho ta một đoạn thẳng (đoạn
và đoạn giống nhau)
Vậy số đoạn thẳng được tạo thành từ điểm phân biệt khác nhau là:
Câu 19: [1D2-2.1-2] (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Có bao nhiêu số tự
nhiên gồm chữ số khác nhau được lập từ các chữ số , , , , ,
Lời giải Chọn D.
Số các số có chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho là số chỉnh hợp chập của và bằng số
Câu 25: [1D2-2.1-2] (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Có người gồm nam và
nữ Số cách chọn người trong đó có đúng nữ là
Lời giải Chọn C.
Số cách chọn người trong đó có đúng nữ là cách
Câu 30: [1D2-2.1-2] (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Ngân hàng đề thi gồm câu
hỏi trắc nghiệm khác nhau và câu hỏi tự luận khác nhau Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề thi sao cho mỗi
đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và câu hỏi tự luận khác nhau.
Lời giải Chọn A
Để lập được được một đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và câu hỏi tự luận khác nhau ta thực hiện qua giaoi đoạn.
Giai đoạn 1: Chọn 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau từ câu hỏi trắc nghiệm khác nhau có cách chọn. Giai đoạn 2: Chọn câu hỏi tự luận khác nhau từ câu hỏi tự luận khác nhau có cách chọn.
Theo quy tắc nhân có cách lập đề thi.
Trang 8Câu 34: [1D2-2.1-2] (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Một tổ có
học sinh nữ và học sinh nam Số cách chọn ngẫu nhiên học sinh của tổ trong
đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là ?
Lời giải Chọn C.
Chọn học sinh bất kỳ từ tổ học sinh có số cách chọn là
Số cách chọn học sinh mà chỉ toàn nữ hoặc toàn nam là
Số cách chọn ngẫu nhiên học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học
Câu 29: [1D2-2.1-2] (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho tập hợp
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số thuộc ?
Hướng dẫn giải Chọn D.
Số các số tự nhiên có chữ số khác nhau lập từ các chữ số của bằng số chỉnh hợp chập ba của Vậy có (số)
Câu 21 [1D2-2.1-2] (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Từ các chữ số , , lập được bao nhiêu số tự
nhiên có chữ số, trong đó chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần?
Lời giải Chọn A
Cách 1: dùng tổ hợp
Chọn vị trí cho chữ số có cách
Chọn vị trí cho chữ số có cách
Chọn vị trí cho chữ số có cách
Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là số
Cách 2: dùng hoán vị lặp
Số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là số
Câu 28 [1D2-2.1-2] (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Trong mặt phẳng cho tập
hợp gồm điểm phân biệt trong đó không có điểm nào thẳng hàng Số tam giác có điểm đều thuộc là
Lời giải Chọn C
Với điểm phân biệt không thằng hàng, tạo thành duy nhất tam giác.
Vậy, với điểm phân biệt trong đó không có điểm nào thẳng hàng, số tam giác tạo thành là
Trang 9Câu 23 [1D2-2.1-2] (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Có học sinh
giỏi gồm học sinh khối , học sinh khối và học sinh khối Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất học sinh?
Lời giải Chọn B.
Số cách chọn học sinh bất kỳ trong học sinh là
Số cách chọn học sinh chỉ có khối là cách
Số cách chọn học sinh chỉ có khối và là cách
Số cách chọn học sinh chỉ có khối và là cách
Số cách chọn học sinh chỉ có khối và là cách
Do đó số cách chọn học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất học sinh là
cách
Câu 28 [1D2-2.1-2] (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Từ một tập gồm câu hỏi, trong
đó có câu lý thuyết và câu bài tập, người ta cấu tạo thành các đề thi Biết rằng trong một đề thi phải gồm câu hỏi trong đó có ít nhất câu lý thuyết và câu hỏi bài tập Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên?
Lời giải Chọn B
TH1: chọn câu lý thuyết và câu bài tập có: cách
TH1: chọn câu lý thuyết và câu bài tập có: cách
Vậy số cách lập đề thỏa điều kiện bài toán là cách
Câu 11 [1D2-2.1-2] (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 2 năm 2017-2018) Lục giác đều
có bao nhiêu đường chéo?
Lời giải Chọn D
Số đường chéo của lục giác đều (6 cạnh là):
Câu 14 [1D2-2.1-2] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Lớp 12A2 có học sinh giỏi, trong
đó có nam và nữ Cần chọn ra học sinh đi dự hội nghị “Đổi mới phương pháp dạy và học” của nhà trường Tính xác suất để có đúng hai học sinh nam và một học sinh nữ được chọn Giả sử tất cả các học sinh
đó đều xứng đáng được đi dự đại hội như nhau.
Lời giải Chọn D
Số cách chọn ba học sinh tùy ý từ 10 học sinh giỏi là cách
Số cách chọn để có đúng hai học sinh nam và một học sinh nữ là cách
Trang 10Vậy xác suất cần tìm là
Câu 22 [1D2-2.1-2] (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Một lớp có học sinh Số cách
chọn học sinh trực nhật là
Lời giải
Mỗi cách chọn học sinh trong là một tổ hợp chập của phần tử.
Suy ra số cách chọn là
Câu 22 [1D2-2.1-2] (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) Một lớp có học sinh Số cách
chọn học sinh trực nhật là
Lời giải
Mỗi cách chọn học sinh trong là một tổ hợp chập của phần tử.
Suy ra số cách chọn là
Câu 10 [1D2-2.1-2] (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Kí hiệu là số các chỉnh
hợp chập của phần tử Mệnh đề nào sau đây đúng?
Lời giải Chọn D
Lý thuyết
Câu 18 [1D2-2.1-2] [1D2-2] (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Từ
các số , , , , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau.
Lời giải Chọn D
Có thể lập số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau
Câu 29 [1D2-2.1-2] (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018) Một lớp có học sinh gồm
nam và nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn em trực cờ đỏ Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu ít nhất phải có một nam?
A (cách) B (cách) C (cách) D (cách)
Lời giải Chọn A
Số cách chọn em tùy ý trong lớp:
Số cách chọn em nữ trong lớp:
Số cách chọn em trong đó ít nhất phải có một nam:
Câu 11: [1D2-2.1-2] (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG LẦN 01 NĂM 2018)Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ
số, các chữ số khác nhau và đều khác ?