Một chuyên đề giúp có cái nhìn tổng quan hơn về lĩnh vực bất đẳng thức cũng như một phần cực trị của THCS và THPT. Chỉ cần đọc, học và hiểu bạn sẽ cảm tưởng như mình đang..............................
Trang 1Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số:
CHUYÊN ĐỀ : CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC
I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC
II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN
1/ Tam thức bậc hai:
Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c
Tìm GTNN của P nếu a〉 0
Tìm GTLN của P nếu a 〈 0
Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 +
a
b
x ) + c = a( x +
a
b
2 )2 + c - 22
4
b a
Đặt c -
a
b
4
2
=k Do ( x +
a
b
2 )2 ≥ 0 nên :
- Nếu a 〉 0 thì a( x +
a
b
2 )2 ≥0 , do đó P ≥ k MinP = k khi và chỉ khi x = -
a
b
2
-Nếu a 〈0 thì a( x +
a
b
2 )2 ≤ ` 0 do đó P ≤ ` k MaxP = k khi và chỉ khi x = -
a
b
2
2/ Đa thức bậc cao hơn hai:
Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai
Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7)
Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)
Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 ≥ -36
minA = -36 ⇔ y = 0 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x1 = 1, x2 = 6
b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
1 2
6 8 3 2
2 +
−
+
−
x x
x x
Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm
A = ( 2 ) ( 2 )
2
2 1
− + + − +
2 ) 1 (
) 2 (
−
−
x
x
≥ 2 minA = 2 khi và chi khi x = 2
Trang 2Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :
A = ( ) ( )
2 1 2 2 1
+ − + + = + + − − + = − +
+ + − − +
2
+ 2
1
y = ( 1y -1)2 + 2 minA = 2 ⇔ y = 1 ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2
Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt: P 2 2 1
1
x
x x
+
=
− +
2, (36/210) Tìm GTNN của bt : B x2 2x2 2006
x
− +
=
3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt: C 2 2
5 7
x
=
− +
4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN của bt : a, D 22 2 2
2 3
+ +
= + + b,
2 2
2 1 E
+ −
= + + Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a, A 2
2
x x
= + b, ( )
2 3 2
B
2
x x
= +
3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: a, C x2 4x 4
x
+ +
= Với x > 0; b, D x5 3 2
x
+
= Với x > 0
4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN của bt: a, 2
3
2
E x
x
= + với x > 0; b, F= x3+21
x Với x > 0
6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: ( )
2 2 17
Q
x
+ +
=
+ Với x > 0
7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: R 6 34
3
x
=
+ Với x > 0
8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: S x3 2000
x
+
= Với x > 0 III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN
IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị :
Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN của A = 2x + 3y
Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ≤( 22+32 ).52 ⇒( 2x + 3y )2 ≤ 13.13.4
Trang 3⇒ 2x + 3y ≤ 26 Vậy maxA = 26 ⇔ 2 3
x y
x y
=
+ ≥
Thay y = 3
2
x
vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 hoặc x= -4 Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y ≥ 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y ≥ 0
Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = 6
3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau
- Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau
- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y ∈ N thoả mãn x + y = 2005
Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2
xy lớn nhất ⇔ x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất ⇔ x – y lớn nhất
giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y)
Do 1 ≤ y ≤ x ≤ 2004 nên 1 ≤ x-y ≤ 2003
Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002
max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1
Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002
Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1
================================================================== Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số:
MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
1, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau
VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN của biểu thức : A = 1 4
x + y
Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 4,
x y ta có: 1x+ ≥4y 4xy (1) Lại có: 1
x y
xy
+
Trang 4Từ (1) và (2) suy ra :
1 x
2
y xy
Vậy Min A = 8
Phân tích sai lầm:
Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 1 4 4
x = ⇔y x= y Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1)
Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai
Giải đúng: Vì x + y = 1 nên A = x+y( ) 1 4 5 4
x
x y
+ = + +
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm 4x y,
y x Ta có : 4x y 2 4x y 4
y + ≥x y x =
Dấu “=” xẩy ra khi
1 4
1
3
y x
y x
x y
y
x y
Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy ra dấu bằng không Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.
2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán:
VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1 Tìm GTNN của BT :
2 2
A = x+
+ + ÷
Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x, 1
x Ta có: x+1 2 x.1 2
x ≥ x = (1)
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm y, 1
y Ta có: y+1 2 y.1 2
y ≥ y = (2)
Từ (1) và (2) =>A ≥ 8 => Min A = 8
Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 1 2
1
x = ⇔x x = Đẳng thức sảy ra ở (2) khi 1 2 1
y = ⇔y y = Từ đó suy ra x = y = 1 ( Loại vì x + y = 1)
Trang 5Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có :
2 ≥ xy ⇒ xy≤ ⇒ 2 xy≤ 4
Ta có :
2 2
A = 4 + x +y +
+ ÷ ÷
Khi đó: x
2 + y2 = (x + y)2 – 2xy ≥ 1 - 1
2= 1
2 (1)
x + y ≥ x y = xy ≥ (2) Từ (1) và (2) =>A ≥ 8 +1
2+4 =25
2 =>Min A = 25
2 khi x=y =1
2
Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.
3,
Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
VD1: Tìm GTLN của bt: A = 2 1
6 17
x − x+ Lời giải sai: A đạt Max khi x2 − 6x+ 17 đạt Min Ta có : 2 ( )2
x − x+ = −x + ≥
Do đó Min (x2 − 6x+ 17) = ⇔ = 8 x 3 Vậy Max A = 1
8 ⇔ =x 3 Phân tích sai lầm: Kết quả đúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A có tử không đổi nên đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đua ra nhận xét tử và mẫu là các số dương
Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét 2 ( )2
x − x+ = −x + ≥ nên tử và mẫu của A là dương
VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4
Ta có : A = x2 + y2 ≥2xy => A đạt GTNN
2 2 2
2 4
x y
x y
+ =
+ =
Khi đó MinA = 8
Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới c/m được f(x,y) ≥g(x,y) chứ chưa c/m được f(x,y) ≥m với m là hắng số
Chẳng hạn: Từ x2 ≥ 4x – 4 => x2 đạt nhỏ nhất ⇔ x2 = 4x – 4 ⇔(x – 2 )2 = 0 ⇔ x =2
Đi đến min x2 = 4 ⇔ x = 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là Min x2 = 0 ⇔ x =0
Lời giải đúng: Ta có x + y =4 ⇔ ( )2
x + y =16 (1)
Ta lại có : ( )2 2 2
x - y 0 ≥ ⇒ x -2xy+y 0 ≥ (2)
Trang 6Từ (1) và (2) => 2( x2 + y2 ) ≥ 16 => A = x2 + y2 ≥ 8
Vậy Min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2
Lưu ý: Cần nắm vững t/c của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số có tử
và mẫu là số tự nhiên, số nguyên … Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.
4, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2
VD1: Tìm GTNN của bt: A = x + x
+ − = − ÷ − ≥ −
1 4
−
P/tích sai lầm: sau khi c/m f(x) ≥ 1
4
− chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x)= 1
4
2
x = − (vô lí ) Lời giải đúng: ĐKTT x là x≥ 0 do đó : A = x + x ≥ 0 => Min A = 0 ⇔ =x 0
VD2: Tìm GTLN của A = xyx z+y y+z z+x( ) ( ) ( ) với x, y , z là các số không âm và x +y+ z =1
Lời giải sai: Áp dụng BĐT ( )2
4xy≤ +x y ta có :
2
2
2
4x z+y x+y+z 1 4y z+x x+y+z 1 4z x+y x+y+z 1
=> 64xyx z+y y+z z+x( ) ( ) ( ) 1 =>xyx z+y y+z z+x( ) ( ) ( ) 1
64
64 Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chi ra khả năng xảy ra dấu “=”
ĐK để Max A = 1
64 là :
z+y = x
x+z = y x + z + y = 1
x + z + y = 1 x, y, z 0
x, y, z 0
x y z
≥
( vô lí )
Lời giải đúng: Ta có : 1 = x +y+ z 3 x.y.z ≥ 3 (1)
2 = x +y + z+x + y+ z 3 x +y z+x y+ z ≥ (2)
Từ (1) và (2) => 2 3 ≥ 3 x y z x +y z+x y+ z( ) ( ) ( ) hay: 3 2 3
2 3 A A
9
≥ => ≤ ÷
Trang 7Max A =
3 2
9
÷
khi
(x +y = z+x = y+ z) ( ) ( )
1 1
3 , , 0
x y z
VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A (x a)(x b)
x
= với x > 0, a, b là các hằng số dương
Lời giải sai: Ta có: 2 ax ( ) ( ) 2 ax.2 bx 4 ab
2 bx
x a
x b
+ ≥
+ ≥
Do đó: A (x a)(x b) 4x ab 4 ab
Phân tích sai lầm: Nếu a b≠ thì không có: A = 4 ab
Lời giải đúng : Ta có
2
Theo bất đẳng thức Cauchy : x ab 2 ab
x
+ ≥ nên A ≥ 2 ab + a + b = ( )2
min A = ( )2
a + b khi và chi khi
ab x
x ab x
x 0
=
>
.
Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số:
VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk 1x+ =1y 12 Tìm GTNN của bt: A = x+ y
Do x > 0, y > 0 nên 1 0, 1 0
y
x > > áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số 1 1,
x y
ta có: 1 1 1 1 1.
+ ≥
Hay
4 ≥ xy => xy ≥4 Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => x ≥ 0, y ≥ 0 áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
x+ y≥ xy ≥ =
Trang 8Vậy: Min A = 4 khi : 1 1 1 4
2
x y
x y
x y
=
+ =
VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức : 2 2
A = x − + + x 1 x + + x 1
Ta có:
2
2
Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số x 2 − + x 1, x 2 + + x 1 ta có :
x − + + x 1 x + + ≥ x 1 2 x − + x 1 x + + = x 1 2 x + x + ≥ 1 2
Max A = 2 khi
4 2
x 0
+ + =
VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : A x y z
= + + với x, y, z > 0.
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương: x y z 3 x y z
Cách 2 : Ta có : x y z x y y z y
+ + = + ÷ + + − ÷
2
y + ≥ x (do x, y > 0) nên để
chứng minh x y z 3
y + + ≥ z x ta chỉ cần chứng minh : y z y 1
z + − ≥ x x (1) (1) ⇔ xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
⇔ xy + z2 – yz – xz ≥ 0 ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 ⇔ (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của x y z
y + + z x.
Trang 9VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3.3 xyz (1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có :
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3 (x y)(y z)(z x) + + + (2) Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9.3 A ⇒ A ≤
3
2 9
÷
max A =
3
2
9
÷
khi và chỉ khi x = y = z =
1
3
VD 5: Tìm GTNN của A xy yz zx
= + + với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : xy yz 2 xy yz 2y
Tương tự : yz zx 2z ; zx xy 2x
x + y ≥ y + z ≥ Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.
min A = 1 với x = y = z = 1
3
VD 6: Tìm GTNN của 2 2
+ với : x > 0, y > 0, x + y < 1
Ta có:
2 4
2
x y
+
+ ≥
VD 7: : Cho 1
2
x≥ − , Tìm GTLN của A = 2x 2 + 5x+ 2 + 2 x+3 - 2x
Giải : Ta có : A = 2x 2 + + 5x 2 + 2 x+3 - 2x = 2x 1( + ) (x+ 2 + 2 x+3 - 2x ) Với 1
2
x≥ − ta có: 2x 1 0
2 0
x
+ ≥
+ >
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x 1, x+2 + Ta có: 2x 1 x+2+ + ≥ (2x 1 x+2+ ) ( )
Trang 10Hay : 3x 3 (2x 1 x+2) ( )
2
Dấu “ = ” xảy ra khi 2x 1 x+2 + = ⇔ x=1
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số x 3, 4 + Ta có: x 3 4 4( 3) 2 3
Hay : x 7 2 3
+ ≥ + . Dấu “ = ” xảy ra khi x 3 4 + = ⇔ x=1
Do đó: A x 7
2
+
≤ + 3x 3
2
+
- 2x = 5 Dấu “ = ” xảy ra khi x=1
VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của: S =1 4 9
x+ +y z
Ta có: S = (x + y + z ) 1 4 9
x y z
+ +
+ + + + +
÷ ÷ ÷
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương y,4x
x y ta có : y 4x 2 y.4x 4
x+ y ≥ x y =
Tương tự ta có : 4z 9y 2 4 9z. y 12
y + z ≥ y z = ; 9x z 2 9x z 6
z + ≥x z x =
S ≥ 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36
Dấu “=” sảy ra khi :
2 2
4
1
2
3
6
1
2 1
y x
x z
z x
x y z
=
=
+ + =
Vậy Min S = 36 khi 1, 1, 1
y= x= z=
Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề bài Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó:
Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó
VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của A = 3x− + 5 7 3 − x, ĐKXĐ : 3 5 0 5 7
x
x x
− ≥
− ≥
Trang 11Bình phương hai vế ta có : A2 = 2 + 2 3( x− 5 7 3) ( − x)
Với 5 7
3 ≤ ≤x 3 áp dụng bất đẳng thức côsi cho (3x− 5) và (7 3x− ) ta có:
(3x− + − 5) (7 3x)≥ 2 3( x− 5 7 3) ( − x) hay 2 2 3 ≥ ( x− 5 7 3) ( − x)
A2 ≤ 4 =>A ≤ 2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2
VD2: Tìm GTNN của biểu thức: A = -x 2 + 2x+ − 8 -x 2 + +x 2 (*)
2
2
x x
x
Khi đó -x 2 + 2x+ − 8 (-x 2 + + = + >x 2) x 6 0=> A > 0
Từ (*) => A = -x 2 2 + 2x+ + 8 (-x 2 + + −x 2) 2( -x 2 + 2x+ 8 -x 2 + +x 2)
= -2x 2 + 3x+ − 10 2 (x+ 2 4) ( −x x) ( + 1 2) ( −x) = 2( −x x) ( + + + 2) (x 1 4) ( − + −x) 2 2 2( −x x) ( + 2 ) (x+ 1 4) ( −x)
2
= 4 −x − 2 2 −x x+ 2 x+ 1 4 −x + x+ 1 4 −x + 2 ( ( ) ( ) )2
2
A = 2 ⇔ − 4 x2 = +(x 1 4) ( − ⇔ =x) x 0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số : y= 1 − +x 1 +x
Bài 2: Tìm GTLN của hàm số : y= x− + 2 4 −x
Bài 3: Tìm GTLN của hàm số : A = x− + 5 23 −x
Bài 4: Tìm GTLN của hàm số : A = 2x− + 3 23 2 − x
Bài 5: Tìm GTLN của hàm số : A = 5x− + 7 17 5 − x
Bài 6: Tìm GTLN của hàm số : A = 3x− + 2 20 3 − x
Bài 7:Tìm GTLN của : A = x 1 − + y 2 − biết x + y = 4
Trang 12Bài 9( 76/29) Tìm GTNN của : A = xy + yz + zx với x, y, z dương và x + y + z ≥ 12
Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của : A = x 4 − + y 3 − biết x + y = 15
Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không.
VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x - 9
5x
Giải: ĐKXĐ: x≥ 9 Ta có: A = x - 9
5x =
1 x - 9
.3
1
2 3
x
+
Dấu “=” xảy ra khi
x - 9
3
18 3
9
x x
≥
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 7x - 5
7x-9
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = x - 93 3
27x
Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số:
1) Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau
VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: A = 3x4 316
x
+
Giải : Ta có A = 3x4 316 3x 163 x x x 163
+ = + = + + +
Áp dụng BĐT Cô-si Ta có : 4
A = x+x+x+ 4 4.2 8
x ≥ x x x x = = Vậy Min A = 8 x 163 x 2
x
VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max và Min A = x y( 4 - x - y ) 2 với x y, ≥ 0 và x + y 6 ≤
Trang 13Xét 0 ≤ + ≤x y 4 Ta có :
4 x
+y+ 4 - x - y
x
Dấu “=” xẩy ra khi x = y = 4 - x - y y = 1 ; x =2
Xét 4 ≤ + ≤x y 6
Rễ thấy: 4 – x - y≤ − 2 ( 1) Dấu ‘=’ xảy ra khi x + y = 6
=> A = x y( 4 - x - y ) 2 đạt GTNN khi x2y đạtGTLN
3
2
2 x+y x+x+2y
3
x y =
2y ≤ 32 (2)
Từ (1) và (2) => x y( 4 - x - y ) 2 ≥ -64 Dấu ‘=’ xảy ra khi x y x+ =2y 6⇔x y=42
VD3 Tìm GTLN của A = x2(3 – x) biết x ≤ 3
Giải : Xét 0 ≤ x ≤ 3 Viết A dưới dạng : A = 4.x
2
x
2.(3 – x) Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy cho 3 số không âm x
2,
x
2, (3 – x) ta được :
x
2.
x
2.(3 – x) ≤
3
3
=
Do đó A ≤ 4 (1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y ≥ 6 Tìm GTNN của P 5x 3y 12 16
x y
= + + +
Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tìm GTNN của N x3 2000
x
+
= Bài 3( 68/ 28) Cho x ≥, Tìm GTNN của
2 2 17 Q
2( 1)
x
+ +
=
+
Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN của M 6 34
3
x
=
+ Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tìm GTNN của Q x2 1, 2xy y2
x y
=
−