Tài liệu Chuyên đề: Bài toán cực trị trong hình học giải tích pptx

Chuyên để 2 BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Bài toán cực trị trong hình học giải tích thường được phát biểu dưới dạng yêu cầu xác định toạ độ của một điểm, phương trình của một

Chuyén dé

Bài toán cực tri trong

hình học giải tích

c3 LE]

Chuyên để 2 BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Bài toán cực trị trong hình học giải tích thường được phát biểu dưới dạng yêu

cầu xác định toạ độ của một điểm, phương trình của một đường hay một mặt để

một biểu thức hình học nào đó đạt giá trị lớn nhất hay bé nhất Khi gặp bài toán

dạng này, ta có thể nghĩ tới một trong hai phương pháp sau :

Cách 1 : Dùng các phương pháp của hình học thuần tuý để khảo sát biểu thức

cần tìm cực trị Chỉ sau khi đã xác định được vị trí về mặt hình học của điểm (hay

của đường, mặt) cần tìm thì ta mới tính toạ độ (hay viết phương trình) của nó Trong khi khảo sát bằng phương pháp hình học, cần lưu ý rằng ngoại trừ các bài

toán đã quen thuộc trong Hình học thuần tuý mà ta đã có phương pháp khảo sát

riêng, còn nói chung ta cần biến biểu thức cần khảo sát vẻ dạng mới để trong đó

chỉ còn một đại lượng biến thiên

Cách 2 : Đặt một đại lượng thay đổi nào đó bằng biến / rồi viết biểu thức cần

khảo sát thành một hàm của biến ¿ Sau đó khảo sát hàm vừa tìm được bằng các

phương pháp của đại số Trong khi sử dụng phương pháp này, cần lưu ý việc lựa chọn một đại lượng để đặt bằng biến ¿ để thuận lợi trong việc tính toán biểu thức

cần khảo sát theo / (và được một hàm số có thể khảo sát được sự biến thiên của

nó) Cũng cần lưu ý tới miền xác định của biến /, bởi nó ảnh hưởng tới việc tìm

cực trị của hàm xác định trên biến đó

Nhận xét : Ö cách 1 hay cách 2, ta đều nhấn mạnh tới việc chuyển biểu thức cần khảo sát về dạng mới mà trong đó chỉ còn một đại lượng biến thiên (đại lượng

hình học ở cách 1 và đại số ở cách 2) Tuy vậy, không phải với bài toán nào cũng

có thể thực hiện được điều đó Trong trường hợp cần khảo sát một biểu thức có ` nhiều đại lượng biến thiên, ta có thể sử dụng cách sau :

Cách 3 : Dùng các bất đẳng thức đại số để đánh giá biểu thức cần khảo sát

Xét dấu đẳng thức xảy ra khi nào và có kết luận tương ứng về giá trị cực trị của

biểu thức cần khảo sát Trong khi sử dụng phương pháp này, kĩ năng sử dụng các

bất đẳng thức đại số là rất quan trọng Cần nắm được đặc trưng của từng bất đẳng

thức đại số cổ điển và các nguyên tắc sử dụng chúng Thí dụ, khi sử dụng bất đẳng

thức Cauchy, một bất đẳng thức được khai thác nhiều trong Toán phổ thông, ta cần

lưu ý những điểm sau :

e Các tham số tham gia vào bất đẳng thức Cauchy là không âm ;

e Phụ thuộc vào mục đích ta đang muốn đánh giá một biểu thức là lớn hay là

bé mà ta nhìn biểu thức đó dưới dạng là tổng hay là tích tương ứng (mục đích

quyết định cách nhìn đối tượng dưới góc độ nào, và cách nhìn nhận đối tượng sẽ

quyết định hướng giải quyết) ;

e Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, cần lưu ý hướng tới dấu đẳng thức có thể

xảy ra Trước hết, cần suy diễn để biết rằng dấu bằng của bất đẳng thức cần chứng

minh xảy ra khi nào Trên cơ sở đó, ta chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy đối với

Ở ví dụ này, ta trình bày ba cách giải theo ba

phương pháp nói trên

Cach 1 Ha OH L A Trong tam giác vuông

OAB, ta có :

1 + 1 = 1 > 1 (không đổi)

OAT OB? OHT OM? 5

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

Cách 2 Đường thẳng A đi qua M(1 ; 2), cắt các trục toạ độ và không đi qua

gốc nên nó là đường thẳng có hệ số góc k với k z 0,k # 2 Khi đó :

Vay ƒ(k) nhỏ nhất khi và chỉ khi k = >

Dodo + +, nhỏ nhất khi và chỉ khi k=-le A:x+2y-5=0

169

“Cách 3 Giả sử : Am ; 0), BO; n), myn # 0

Khi đó A : — + ” = I đi qua M(I ; 2) nên :

Giả sử : AŒn ; 0), B(O ; n), m, n > 0

+ =l Vì A đi qua điểm M(2; 3) nên “+3 =1,

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Z.3.1 <a m =4,n = 6

mn

Do đó diện tích tam giác O4 nhỏ nhất khi và chỉ khi A 7 + s =1

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng toạ độ Óxy, viết phương trình đường thing A di qua điểm M(I ; 8), cắt chiều dương của các trục Óx, Óy tai A, B sao cho AB nho nhất

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m = 5,n = 10

Vậy AB nhỏ nhất khi và chỉ khi A Sto =1 hay A:2x+y-10=0

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng toạ độ Óxy cho ba điểm A(I ; 1), B(3 ; 2), C(7; 10) a) Chứng minh rằng góc A của tam giác ABC nhọn

171

b) Viết phương trình đường thẳng A đi qua A sao cho tổng các khoảng cách từ

Dấu đẳng thức xảy ra khi đường thẳng A vuơng gĩc với 8C

+ Nếu đường thang A khong cat đoạn 8C (h.62) Gọi /(5 ; 6) là trung điểm

Do tam giác ABC nhọn nên 2Aï > BC

Do đĩ d(B, A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi đường thẳng A đi qua điểm

A(I ; 1), cĩ pháp vectơ AI(4 ; 5)

Đường thẳng A cần tìm là

4(x - 1) + 5(yT-1)=0 © 4x+5y—-9=0

Ví dụ 5 Trong khơng gian toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (z):x—y+z—1=0 và

các điểm A(1;2; —1), B(I;0; —1),C(2;1;—2) Tìm điểm AM thuộc mặt phẳng (2) sao cho MA? + MB? — MC7 nhỏ nhất

Lời giải

Xét điểm 7 sao cho 14 + IB - I€ = 0

= MP + IA? + IB2 ~ IC2 + 2MI|1A 4 IB - Ic)

= MI” + 1A? + IB? - IC?

Vay MA? + MB? — MC” nhỏ nhất khi M = Ge

Ví dụ 6 Trong không gian toa dd Oxyz cho mat phang

(a): x-3y+3z-11=0

và các điểm A(3 ;—4; 5),B(3; 3; -3) Tìm diém M thudc mat phang (a) sao cho

MA — MB] 16n nhat

173

Lời giải (h.63)

Lần lượt thay toạ độ của A(3;—4;5) và B(3;3;-—3) vào vế trái của phương trình mặt phẳng (ø), ta được hai số trái dấu Do đó A và B nằm về hai phía của mặt phang (a) Goi A' là điểm đối xứng với A qua (2)

Ta có : |MA - MB| = |MA'- MB| < A'B

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M, A’, B thang hang và điểm M nằm ngoài đoạn thẳng A'B Mặt khác, M thuộc mặt phẳng (a) con A' và 8 nằm về một phía

của mặt phang (a) Do đó, dấu bằng của đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi

M = ABn(a)

B

Đường thẳng AA' đi qua diém AG ; —4; 5), af

vuông góc với mặt phẳng (œ) nên có vectơ ⁄

phẳng (ø) ứng với giá trị / là nghiệm của Hình 63

Vì A'ð = (2;1;~2) nên đường thẳng A'B có phương trình

va hai diém A(2;~1;1), B(I;—1;0) Tìm điểm É thuộc đường thẳng A để

diện tích tam gidc AMB đạt giá trị nhỏ nhất

Xét hàm số f(t) = 12/2 + 20: +9 Hàm số này có đô thị là parabol quay bề

lõm lên phía trên Do đó ƒ(?) nhỏ nhất © r = -ŠœM=|};-2;-° |

Vay dién tich tam giac AMB nho nhat khi M = 6 3 5

Ví dụ 8 Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A(I;2;—1), B(—1;1;2), viết

phương trình mặt phẳng (2) tạo với mặt (xÓy) một góc nhỏ nhất

Do đó cos((z), (xÓy)) lớn nhất bằng độ khi / = =

So sánh hai trường hợp trên, suy ra mặt phẳng (ø) tạo với (xOy) một góc nhỏ nhất khi ¡ = >,

và các điểm A(2;1;—I), B(_—1;2;0) Trong các đường thắng đi qua 8 và cắt

đường thẳng A, viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất ? Bé nhất ?

Gọi ¿/ là đường thang bất kì đi qua Ø(—1; 2; 0) và cắt đường thẳng A Giả sử di cắt đường thẳng A tại M(l+:;0;—r) Khi đó đ có vectơ chỉ phương là

2 Trong mặt phẳng toạ độ xÓy, viết phương trình đường thẳng A đi qua điểm

M2 ; 5), cắt chiều đương của các trục Óx, Óy lần lượt tại các điểm A, 8 khác gốc toa độ sao cho diện tích tam gidc OAB nhỏ nhất

3 Trong mặt phẳng toạ độ xÓy cho đường thẳng

A: mx + y+ 2m =0

Tìm m để khoảng cách từ A(3 ; 4) tới đường thẳng A đạt giá trị lớn nhất

4 Trong mặt phẳng toạ độ xÓy, viết phương trình đường thang A di qua điểm

MG ; 2), cắt chiều dương của các trục Óx, Óy tương ứng tại các điểm A, B

khác gốc toa độ sao cho ØA + 28 đạt giá trị nhỏ nhất

5 Trong mặt phẳng toa do xOy cho các điểm A(I ; 1), 8(2 ; 5), C(4 ; 7) Chứng

10

c) MA* + MB? — MC? nho nhat;

d) |MA + MB + MC| nhỏ nhất

Trong không gian toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (ø) đi qua điểm

A(I ; 2; 4) và cắt chiều dương của các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lan luot tai M, N,P khác gốc toạ độ sao cho tứ điện OMNP có thể tích nhỏ nhất

Trong không gian toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (ø) đi qua điểm M(1 ; 2; 3), cắt các trục toạ độ Óx, Óy, Óz lần lượt tại A, B, C sao cho

— + —= + — nhỏ nhất

OA* OB’ OC

Trong không gian toạ độ Óxyz, viét phuong trinh mat phang (a) di qua điểm

M(2; 5 ; 3) và cát chiều dương của các trục Óx, Óy, Óz lần lượt tại các điểm

A, B, C sao cho OA + OB + OC nho nhat

Cho mat phang (a): x - y + 2z =0 và các điểm A(I;2;-I), B(3;!;—2),

C{I;—2;1) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (2) sao cho

x-y+z+1=0, Trong các đường thẳng di qua A(2 ; —1 ; 2) va cat dudng thing A,, viét

phương trình đường thẳng A sao cho khoảng cách giữa A va A, I6n nhat

12 Trong các mặt phẳng đi qua A(2 ; —L ; Ö) và song song với đường thẳng

ag: ttt lyre 71T

viết phương trình mặt phẳng (a) tạo với mặt phẳng (xÓy) một góc nhỏ nhất

13 Trong cdc mat phang di qua A(1 ; 1 ; —1) và vuông góc với mặt phẳng

(Ø):2x-y+z+2=0, viết phương trình mặt phẳng tạo với đường thẳng Oy một góc lớn nhất

14 Cho mặt phẳng (đ) : x + y - z + 1 = 0 và đường thẳng

ai +y+z-3=0

"|2x-y+z-2=09

Trong các đường thẳng đi qua A(1 ; —l ; 2) và song song với mặt phẳng (0),

viết phương trình đường thẳng A sao cho khoảng cách giữa A và ¿ lớn nhất

x=l y+l z-] và hai điểm A(2 ; 1 ; -l),

15 Cho đường thẳng đ:

B@; -2; l)

Trong các đường thẳng đi qua Ö và cắt đường thẳng ¿, viết phương trình các

đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất ; bé nhất

16 Cho đường thẳng

x+y-z-1=0 A:

2x-y-z=0

va hai diém A(2; 1; 1), B(-1 ; 2; 0)

Tìm điểm M thuộc đường thẳng A sao cho MA? + MB? nhỏ nhất

17 Cho hai đường thẳng A, : vat itt p AES 2e8 En

a) Chứng minh rằng các đường thắng A, va A, chéo nhau

19 Cho mặt cầu (S): xˆ + yˆ + zˆ — 2x + 2z — 4 = 0 và mặt phẳng

(z):2x—2y+z+8=0

Tìm điểm / thuộc (Š) sao cho khoảng cách từ M tới mặt phẳng (ø) là lớn nhất

181

20 Cho mặt cầu

(S):x? + y? +27 -2x42z7-2=0

và các diém A(O; 1; 1), B(-1 ; 2; -3), CU; 0; -3)

Tim diém D thudc mat cau (S) sao cho thé tich nit dién ABCD lớn nhất

Lời giải

1 Giả sử M=(m;0),N=(0;n) (mã #0)

Đường thẳng A đi qua M, N nên có phương trình là :

Hơn nữa A(-1;3) e A nén al +

2 Gidstr A =(a;0), B=(0;b) (a > 0,b > 0)

Đường thang A có phương trình là :

aie tr =I,

b

Do đường thẳng A đi qua M2 ; 5) nên 2

Dau "=" xây ra khi và chỉ wie? S oho! a ab 2 |b=10

Vay Spag bé nhat bing 20 khi « = 4,h = 10

Khi đó đường thẳng A có phương trình :

4 Giá sử A(a;0), B(O;b) (a>0,b >0) là giao điểm của đường thẳng A với

chiều dương của các trục toạ độ Khi đó đường thẳng A có phương trình là :

Từ đó f(a) dat giá trị nhỏ nhất bằng 7+4V3 khi z = 3+2/3 hay

OA + 20B đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7 + 443 khi a=3 + 243

a) Nếu đường thẳng A cắt đoạn BC tại một điểm M thì :

d(B, A) + d(C, A) < BM + CM = BC

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng A vuơng gĩc với BC

Nếu A khong cat doan BC thi d(B, A) + d(C, A) = 2dU/, A) < 2AI, ở đĩ

1(3;6) là trung điểm của BC Dau "=" xảy ra khi và chỉ khi A vuơng gĩc

với Ạ

Do tam giác ABC cĩ BAC nhọn nên 2Aƒ/ > ĐC

Vậy d(P, A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi đường thẳng A đi qua điểm A(I ; 1) và cĩ vectơ pháp tuyến /A = (-2;-5)

Dau "=" xay ra khi vachikhiA 1 B'C

e Nếu đường thẳng A khong cat doan B'C thi

d(B’, A) + d(C, A) = 2d(I’, A) < 2A

với | (3 ; 3 là trung điểm của cạnh #C

Dấu "=" xảy ra khi đường thang A vuơng gĩc với ƑA

AABC cĩ B'AC nhọn nên 2!'A > BC

Vay d(B', A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi đường thẳng A đi qua A(I ; 1)

Ta có : |MA — MB| = |MA— MB| < A'B

Dấu "=" xảy ra khi va chỉ khi M, A', B thang hang va M ở ngoài đoạn A'B

<> {M} = A'BOA (vi Me A vàA', B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ A) AA' đi qua A(2 ; 1) và vuông góc với đường thẳng A nên AA‘ cé vecto chi

; , ` x=~3+2I Suy ra đường thắng A'B có phương trình :

Vậy |MA — MB| lớn nhất khi M = l ; -3}

b) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua A Khi đó, A' và C nằm ở hai phía khác

nhau đối với đường thẳng A

Với M tuỳ ý trên đường thẳng A ta có :

MA +MC =MA +MC> AC

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của A'C và A (tức M ở giữa A' và

C, điều này có được do A' và C thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau có bờ là đường thẳng A)

Theo cau a) : A'(-3 ; -4), A'C = (4;7)

Phương trình đường thẳng A'C :

x=-3+4i ( = -4 + 7t

Toạ độ của M ứng với giá trị là nghiệm của phương trình :

(—-3+42)+(-4+7?)+2=0

c) Với M(z ; y) thuộc đường thẳng A, ta có : x = —y ~ 2

MA? = (x2) +(y-1),

MB? = (x +1) +(y+3Ÿ, MC? = (x-1) +(y-3Ÿ,

suy ra MA? + MB? - MC? = x2 + yˆ +10y + 5

=(-y- 2) + yŸ + 10y +5

=2y? +14y+9

Xét ham sé f(y) = 2y? + 14y +9 c6 dé thi 1a parabol quay bé 16m lén trên

Do đó ƒ(y) nhỏ nhất khi y = s © M = (š:-;]

Vậy MA? + MB? — MC” nhỏ nhất khi M = lš:-;]

d) Gid sit M = (x; y) tht MA =(2-x;1-y), MB =(-1-x;-3-y),

Xét ham s6 f(y) = 18y? + 42y + 65 Ham s6 nay cé dé thi là parabol quay bẻ

lõm lên trên Do đó ƒ (y) nho nhat khi y = ~ © M -(-2-4],

Vay [mA + MB + MC| nho nhat khiM = (2-2),

Gia sit M(m;0;0), N(O;7;0), P(0;0; p) (m > 0,n > 0, p > 0)