Chuyen de HSG toan 7

đề hsg toán 7×các chuyên đề môn toán 7×de hsg toan 7 giồng riềng×chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7×de hsgđề hsg toán 7×các chuyên đề môn toán 7×de hsg toan 7 giồng riềng×chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 7×de hsg toan 7 giong rieng×chuyên đề bd hsg toán 7 toan 7 giong rieng×chuyên đề bd hsg toán 7

Trang 1

DÃY SỐ THEO QUY LUẬT

Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau

a 2, 5, 10, 17, 26, b 6, 14, 24, 36, 50, c 4, 28, 70, 130, 208,

d 2, 5, 9, 14, 20, e 3, 6, 10, 15, 21, g 6, 12, 60, 120, 210, Đáp số:

a 1 + n² b n(n + 5) c (3n – 2)(3n + 1)

d n(n + 3)/2 e (n + 1)(n + 2)/2 g n(n + 1)(n + 3)

Bài 2: Tính

a A = 1 + 2 + 3 + + (n – 1) + n b A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Đáp số:

a n(n + 1)/2 b A = 333300

Bài 3: Tính A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 99.101

Hướng dẫn:

A = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + + 99(100 + 1)

A = 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3 + + 99.100 + 99

A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + 2 + 3 + + 99)

A = 333300 + 4950 = 338250

Bài 4: Tính A = 1.4 + 4.7 + 7.10 + + 97.100

Bài 5: Tính A = 4 + 12 + 24 + 40 + + 19800

Bài 6: Tính A = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + + 4950

Hướng dẫn: nhân 2

Bài 7: Tính A = 6 + 16 + 30 + 48 + + 19998

Bài 8: Tính A = 2 + 5 + 9 + 14 + + 4949 + 5049

Bài 9: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100

Hướng dẫn:

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + + 98.99.100.(101 – 97)

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + + 98.99.100.101 – 97.98.99.100 4A = 98.99.100.101

A = 2449755

Bài 10: Tính A = 1² + 2² + 3² + + 99² + 100²

Hướng dẫn:

A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + + 99(98 + 1) + 100(99 + 1)

A = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + + 98.99 + 99 + 99.100 + 100

A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + 2 + 3 + + 99 + 100)

A = 333300 + 5050

A = 338050

Tổng quát: 1² + 2² + 3² + + (n – 1)² + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

Bài 11: Tính A = 2² + 4² + 6² + + 98² + 100²

Bài 12: Tính A = 1² + 3² + 5² + + 97² + 99²

Hướng dẫn:

A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – (2² + 4² + 6² + + 98² + 100²)

A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – 2²(1² + 2² + 3² + + 49² + 50²)

Bài 13: Tính A = 1² – 2² + 3² – + 99² – 100²

Hướng dẫn:

A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – 2(2² + 4² + 6² + + 98² + 100²)

Bài 14: Tính A = 1.2² + 2.3² + 3.4² + + 98.99²

Hướng dẫn:

A = 1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + + 98.99(100 – 1)

A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + + 98.99.100 – 98.99

A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99)

Bài 15: Tính A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 + 99.101

Hướng dẫn:

A = 1(1 + 2) + 3(3 + 2) + 5(5 + 2) + + 97(97 + 2) + 99(99 + 2)

A = (1² + 3² + 5² + + 97² + 99²) + 2(1 + 3 + 5 + + 97 + 99)

Bài 16: Tính A = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 98.100 + 100.102

Trang 2

Hướng dẫn:

A = 2(2 + 2) + 4(4 + 2) + 6(6 + 2) + + 98(98 + 2) + 100(100 + 2)

A = (2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) + 4(1 + 2 + 3 + + 49 + 50)

Bài 17: Tính A = 1³ + 2³ + 3³ + + 99³ + 100³

Hướng dẫn:

A = 1²(1 + 0) + 2²(1 + 1) + 3²(2 + 1) + + 99²(98 + 1) + 100²(99 + 1)

A = (1.2² + 2.3² + 3.4² + + 98.99² + 99.100²) + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²)

A = [1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + + 98.99(100 – 1)] + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²)

A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + + 98.99.100 – 98.99 + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²)

A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99) (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) Bài 18: Tính A = 2³ + 4³ + 6³ + + 98³ + 100³

Bài 19: Tính A = 1³ + 3³ + 5³ + + 99³

Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC – TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Tính chất:

Tính chất 1: Nếu a c

b =d thì ad = bc Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau

a c a b d c d b

b =d c = d b= a c =a

Tính chất 3: a c a c a c

b d b d b d

DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC

Ví dụ 1: Tìm ba số x, y, z biết x y y; z

3 = 4 3 = 5 và 2x – 3y + z = 6 Theo đề ta suy ra x y z

9 12= = 20

→ x y z 2x 3y z 2x 3y z 6 3

9 12 20 18 36 20 18 36 20 2

− +

Do đó: x = 27, y = 36, z = 60

Ví dụ 2: Tìm hai số x, y biết x y

2 =5 và xy = 40

Hiển nhiên x ≠ 0

Nhân cả hai vế của x y

2 = 5 với x =>

2

x xy 40

8

2 = 5 = 5 = Suy ra x² = 16 nên x = 2 hoặc x = –2

+ Với x = 4 ta có y = 10

+ Với x = –4 ta có y = –10

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng

a x y z

10 = =6 21 và 5x + y – 2z = 28 b x y y; z

3 = 4 5 =7 và 2x + 3y – z = 124

c 2x 3y 4z

3 = 4 = 5 và x + y + z = 49 d x y z

2 = =3 4 và xyz = 192

e x y z

5 = =3 2 và x² – y² + z² = 80

Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng

a 3x = 2y, 7y = 5z, x – y + z = 32 b x 1 y 2 z 3

− = − = −

và 2x + 3y – z = 50

c 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95 d x y z

2 = 3=5

− và xyz = 810

e y z 1 z x 2 x y 3 1

+ + = + + = + − =

+ + g 10x = 6y và 2x² – y² = –28

Trang 3

Bài 3: Tìm x, y biết rằng 1 2y 1 4y 1 6y

18 24 6x

+ = + = + Bài 4: Cho a + b + c + d ≠ 0 và a b c d

b c d =a c d =a b d =a b c + + + + + + + + Tìm giá trị của biểu thức

A = a b b c c d d a

c d a d a b b c

+ + + + + + +

Bài 5: Tìm các số x; y; z biết rằng

a 3x = 7y = 9z và xy + yz + zx = 399 b

8 =64 =216 và x² + y² + z² = 14

c 2x 1 3y 2 2x 3y 1

+ = − = + −

d 4x = 3y = 5z và x² + (2y – 3z)² = 836 Bài 6: Tìm các số a, b, c biết rằng 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30

Bài 7: Tìm x, y, z thỏa mãn

a x : y : z = 3 : 4 : 5 và 3x² + 2y² – 5z² = –594

b x + y = x : y = 3(x – y)

Bài 8 Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng

Bài 9: Cho a b c

b c= c a =a b

+ + + Biết a + b + c ≠ 0 Tìm giá trị mỗi tỉ số đó.

Bài 10 Số học sinh khối 6, 7, 8, 9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9; 10; 11; 8 Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em Tính số học sinh của trường đó

DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC

Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức a c

b =d Chứng minh 2a 3b 2c 3d

2a 3b 2c 3d

+ = +

Ta có a c a b 2a 3b 2a 3b 2a 3b

b d c d 2c 3d 2c 3d 2c 3d

= => = = = = =

Vậy 2a 3b 2c 3d

2a 3b 2c 3d

+ = +

Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức a c

b =d Chứng minh

ab a b

cd c d

−

=

−

Từ giả thiết:

a c a b ab a b a b

b d c d cb c d c d

−

= => = => = = =

− Vậy

ab a b

cd c d

−

=

−

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho a c

b= d Chứng minh các tỉ lệ thức

a 3a 5b 3c 5d

3a 5b 3c 5d

+ = +

(a b) a b (c d) c d

2a 5b 2c 5d 3a 4b 3c 4d

+ = +

7a 5ac 7b 5bd 7a 5ac 7b 5bd

Bài 2: Cho a b c

b= =c d Chứng minh rằng (a b c)3 a

b c d d

+ + = + + Bài 3: Cho a b c

2016= 2017= 2018 Chứng minh 4(a – b)(b – c) = (c – a)²

Bài 4: Cho 1 2 3 2017

a a

a = a =a = = a Chứng minh 1 1 2 3 2017 2017

a a a a a

+ + + +

= + + + + Bài 5: Cho 1 2 8 9

a a

a = a = = a = a và a1 + a2 + + a9 ≠ 0 Chứng minh a1 = a2 = = a9.

Bài 6: Chứng minh nếu ac = b² thì

a b a

b c c + = +

Trang 4

Bài 7: Chứng minh nếu a b c a

a b c a

+ = +

− − thì a² = bc.

Bài 8: Cho tỉ lệ thức 3a 4b 3c 4d

5a 6b 5c 6d

+ = + + + Chứng minh ad = bc Bài 9: Chứng minh rằng nếu a b c d

a b c d

+ = +

− − thì ad = bc Bài 10: Cho bc(y + z) = ca(z + x) = ab(x + y) trong đó a, b, c đôi một khác nhau và khác 0

Chứng minh y z z x x y

c b a c b a

− = − = −

Bài 11: Cho ad = bc Các số x, y, z, t thỏa mãn xa + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0 Chứng minh xa yb xc yd

za tb zc td

+ = +

Bài 12: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn b² = ac; c² = bd và b³ + c³ + d³ ≠ 0 Chứng minh

a b c a

b c d d

+ + =

+ +

Bài 13: Cho a b ' b c '

a '+ b =b '+ c = 1 Chứng minh abc + a’b’c’ = 0

Bài 14: Cho Cho dãy tỉ số bz cy cx az ay bx

Chứng minh x y z

a = =b c

Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Nếu a ≥ 0 → |a| = a

Nếu a < 0 → |a| = –a

Nếu x ≥ a => |x – a| = x – a; và x ≤ a => |x – a| = a – x

* Tính chất: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm

|a| = 0 <=> a = 0 |a| ≠ 0 <=> a ≠ 0

|a| = |b| <=> a = b or a = –b –|a| ≤ a ≤ |a|

|a| = –a <=> a ≤ 0; |a| = a <=> a ≥ 0

Nếu a < b < 0 → |a| > |b| Nếu 0 < a < b → |a| < |b|

|ab| = |a||b| |a/b| = |a|/|b|

|A|² = A² |a| + |b| ≥ |a + b| và |a| + |b| = |a + b| <=> ab ≥ 0

Nếu k > 0 thì |A(x)| = k <=> A(x) = k hoặc A(x) = –k

Bài 1: Tìm x, biết

a |2x – 5| – 4 = 0 b 1/3 – |5/4 – 2x| = 1/4 c 1/2 – |x + 4/3| = –1/3 d 3 – 4|2x + 1| = 7 Bài 2: Tìm x, biết

a 2|2x – 3| = 1/2 b 7,5 – 3|5 – 2x| = –4,5 c |x + 0,25| – |–3,75| = –2

a 2|3x – 1| + 1 = 5 b |x/2 – 1| = 3/2 c |–x + 2/5| + 1/2 = 3,5

a 2 – |1,5.x – 0,25| = |–1,25| b 3/2 + |2x – 3/4| = 7/4 c 4/3 – 2|x + 5/4| = 5/6

a 6,5 – 9

4 : |x + 1| = 2 b 11/4 + |(3/2) : 4x – 1/5| = 7/2

a |5x – 4| = |x + 2| b |2x – 3| – |3x + 2| = 0 c |2 + 3x| = |4x – 3| d |7x + 1| – |5x + 6| = 0 Bài 7: Tìm x, biết |3x + 8| = |4x – 1|

a |x + 2| = 3 – 2x b 2|x| – 3x + 15 = 0 c |7 – x| = 5x + 1

a |9 + x| – 2x = 0 b |5x| – 3x – 2 = 0 c |x + 6| – 9 = 2x d |2x – 3| + x = 21

a |3x – 1| + 2 = x b |x + 15| + 1 = 3x c |2x – 5| + x = 2

a |2x – 5| = x + 1 b |3x – 2| – 1 = x c |3x – 7| = 2x + 1

Trang 5

a |x – 5| + 5 = x b |x + 7| – x = 7 c |3x – 4| + 4 = 3x

Ví dụ: Tìm x biết rằng |x – 1| + |x – 3| = 2x – 1 (1)

Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Từ đó sẽ tìm được x

x – 1 = 0 <=> x = 1

x – 3 = 0 <=> x = 3

Ta có bảng xét dấu các đa thức x – 1 và x – 3 dưới đây

Xét x < 1 ta có: (1 – x) + (3 – x) = 2x – 1

<=> x = 5/4 (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)

Xét 1 ≤ x ≤ 3 ta có (x – 1) + (3 – x) = 2x – 1 <=> x = 3/2 (giá trị này thuộc khoảng đang xét)

Xét x > 3 ta có: (x – 1) + (x – 3) = 2x – 1

<=> –4 = –1

Vậy x = 3/2

a |x| + 2|x – 5| = 8 b 3|x + 4| – 5|x + 3| + |x – 9| = 9

a |x + 5| + |x – 3| = 9 b |x – 2| + 2|x – 3| + |x – 4| = 2 c |x + 1| + |x + 3| + |2x – 1| = 7

d 2|x + 2| + |4 – x| = 11

a |x – 2| + |x – 3| + |2x – 8| = 9 b |x + 1| – |x + 2| – 1 = 0 c |x – 1| + 3|x – 3| – 2|x – 2| = 4

d |x + 5| – |1 – 2x| – |3x + 4| = 0 e |x| – |2x + 3| – x + 1 = 0 f |x| + |1 – x| = x + |x – 3|

a |x – 3| + |x + 5| – 8 = 0 b |2x – 1| + |2x – 5| – 4 = 0 c |x – 3| + |3x + 4| + |2x – 1| = 8

a |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| = 4x – 4 b |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4| = 5x

c |x + 2| + |x + 3/5| + |x + 2/5| = 4x – 3 d |x + 1,1| + |x + 1,2| + |x + 1,3| + |x + 1,4| = 5x + 5,5

a |x + 1/101| + |x + 2/101| + |x + 3/101| + |x + 4/101| + + |x + 100/101| = 101x

b |x + 1/2| + |x + 1/6| + |x + 1/12| + |x + 1/20| + + |x + 1/9900| = 100x

c | x 1 | | x 1 | | x 1 | | x 1 |

a ||2x – 1| + 1/2| = 3 b |4x² + |2x + 1|| = 4x² + 2 c |x²|x + 3/4|| = x²

a |2|2x – 1| – 1| – 2/5 = 0 b |2|x + 2| – 3| = 8/5 c |x|x² + 3/4|| = x

a |x(x² – 3/4)| = x b |(x + 1/2)|2x – 3/4|| = 2x – 3/4 c ||x – 1/2||2x – 3/4|| = 2x – 3/4

a ||2x – 3| – x + 1| = 4x – 1 b ||x – 1| – 1| = 2 c ||3x + 1| – 5| = 2

Bài 23: Tìm x, y thỏa mãn

a |3x – 4| + |3y + 5| = 0 b |x – 2y| + |y + 1,5| = 0 c |3 – 2x| + |4y + 5| = 0

a |15 – x| + (y – 12)² = 0 b |2/3 + 5x/3| + |1,5 + 5y/6| = 0 c |2x – 2014| + |5y – 2015| = 0

a |5x + 10| + |6y – 9| ≤ 0 b |x + 2y| + |2y – 3| ≤ 0 c |x – y + 2| + |2y + 4| ≤ 0

a |12x + 8| + |11y – 5| ≤ 0 b |3x + 2y| + |4y – 1| ≤ 0 c |x – 2| + |xy – 10| ≤ 0

a |x – 3y|11 + (y + 4)12 = 0 b (x + y)2016 + 2017|y – 1|³ = 0 c |x – y – 5| + 2015(y – 3)2016 = 0

a (x – 1)² + (y + 3)4 = 0 b 2(x – 5)6 + 5|2y – 7|5 = 0 c |x + 3y – 1| + (3y – 2)2016 = 0

Trang 6

a 3|x – y|5 + 10|y + 2|7 ≤ 0 b (x 1)2016 12

2 13

− + |4y – 6/5| ≤ 0 Bài 30: Tìm x, biết

a |x + 5| + |3 – x| – 8 = 0 b |x – 2| + |x – 5| – 3 = 0 c |x – 5| + |x + 1| – 6 = 0

d 2|x + 3| + |2x + 5| = 11 e |x + 1| + |2x – 3| = |3x – 2| f |x – 3| + |5 – x| + 2|x – 3| = 2

g |x – 4| + |x – 6| – 2 = 0 h |x + 1| + |x + 5| – 4 = 0 i |3x + 7| + 3|2 – x| = 13

j |5x + 1| + |3 – 2x| – |4 + 3x| = 0 k |x + 2| | |3x – 1| + |x – 1| = 3 ℓ |x – 2| + |x – 7| – 4 = 0

Bài 31: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

a |x – y – 2| + |y + 3| = 0 b (x + y)² + 2|y – 1| = 0

a |x – 3y|5 + |y + 4| = 0 b |x – y – 5| + (y – 3)4 = 0 c |x + 3y – 1| + 3|y + 2| = 0

a |x + 4| + |y – 2| – 3 = 0 b |2x + 1| + |y – 1| – 4 = 0 c |3x| + |y + 5| = 5 d |5x| + |2y + 3| = 7 Bài 34: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

a 3|x – 5| + |y + 4| – 5 = 0 b |x + 6| + 4|2y – 1| = 12 c 6|x| + |y + 3| = 10 d 12|x + 1| + |2y + 3| = 21 Bài 35: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

a y² = 3 – |2x – 3| b y² = 5 – |x – 1| c 2y² = 3 – |x + 4| d 3(2y + 1)² = 12 – |x – 1|

a |x| + |y| ≤ 3 b |x + 5| + |y – 2| ≤ 4 c |2x + 1| + |y – 4| – 3 ≤ 0 d |3x| + |y + 5| ≤ 4

a 5|x + 1| + |y – 2| – 7 ≤ 0 b 4|2x + 5| + |y + 3| ≤ 5 c 3|x + 5| + 2|y – 1| ≤ 3

d 3|2x + 1| + 4|2y – 1| ≤ 7

Bài 38: Tìm số nguyên x thỏa mãn

a |x – 1| + |4 – x| = 3 b |x + 2| + |x – 3| = 5 c |x + 1| + |x – 6| = 7 d |2x + 5| + |2x – 3| = 8

Bài 39: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn các điều kiện sau

a x + y = 4; |x + 2| + |y| = 6 b x + y = 4; |2x + 1| + |y – x| = 5

c x – y = 3; |x| + |y| = 3 d x – 2y = 5 và |x| + |2y – 1| = 6

Bài 40: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đồng thời

a x + y = 5 và |x + 1| + |y – 2| = 4 b x – y = 3 và |x – 6| + |y – 1| = 4

c x – y = 2 và |2x + 1| + |2y + 1| – 4 = 0 d 2x + y = 3 và |2x + 3| + |y + 2| – 8 = 0

Bài 41: Tìm số nguyên x thỏa mãn

a (x + 2)(x – 3) < 0 b 3(2x – 1)(2x – 3) < 0 c 4(3x + 1)(5 – 2x) > 0

a (2 – x)(x + 1) = |y + 1| b (x + 3)(1 – x) – 2|y| = 0 c (x – 2)(5 – x) – |y – 1| – 2 = 0

a (x + 1)(3 – x) = 2|y| + 1 b (x – 2)(5 – x) – |y + 1| = 1 c (x – 3)(5 – x) = |y + 2|

a |x + 2| + |x – 1| = 3 – 2(y + 2)² b |3x + y + 2| + 5 = 2

30 (y 5)+ +6

c |y – 4| + 5 = 2

10 (x 1)+ +2 d |x – 1| + |3 – x| =

6

| 2y 8 | 3− +

e |2x + 3| + |2x – 1| = 2

3 (y 5)− +2 g |3x + 1| + |3x – 5| = 2

12 (y 3)+ +2

h (x + 1)² + |y – 2| + 3 = 6

| y 1| | y 3 |− + − i (x – 2)² + 4 =

20

3 | y 2 | | 3y 1|+ + + Bài 45: Tính giá trị của biểu thức

a A = 2x + 2xy – y với |x| = 2,5; y = –3/4 b B = 3a – 3ab – b với |a| = 1/3; |b| = 0,25

c C = 3x² – 2x + 1 với |x| = 1/2

Bài 46: Tính giá trị của biểu thức

a A = 6x³ – 3x² + 2|x| + 4 với x = –2/3 b B = 2|x| – 3|y| với x = 1/2; y = –3

c C = 2|x – 2| – 3|1 – x| với x = 4

Bài 47: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trang 7

a A = 0,5 – |x – 3,5| b B = –|1,4 – x| – 2 c C = 3 | x | 2

4 | x | 5

+

−

d D = 2 | x | 3

3 | x | 1

+

− e E = 5 – |2x – 1,5| g G = 10 – |5x – 2| – (3y + 12)²

h H = 12

| x 2 | 4+ + i I =

1

| x 2 | 3− + Bài 48: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a A = 1,7 + |3,4 – x| b B = |x + 2,8| – 3,5 c C = |3x + 8,4| – 14,2

d D = |4x – 3| + |5y + 7| + 7 e E = 2(3x – 1)² – 4

a A = 5 15

4 | 3x 6 | 3

+

− + b B =

5 | x 1| | y 2 | 15+

3 (x 3y)+ 5 | x 5 | 14

a A = 2 | x 3 | 11

| x 3 | 4

+ +

+ + b B =

| y 4 | 13

2 | 4 y | 6

− +

15 | x 1| 32

6 | x 1| 8

+ + + + Bài 51: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a A = |x + 5| + 2 – x b B = |2x – 1| + 2x + 6 c C = |4x + 3| + 4x – 5

d D = 2|x – 3| + 2x + 5 e E = 5|x – 1| + 4 – 5x f F = 4|x + 5| + 4x

a A = –|x – 5| + x + 12 b B = –|2x + 3| + 2x + 4 c C = –|3x – 1| + 7 – 3x

d D = –2|x – 5| + 2x + 1 e E = –3|x – 4| + 8 – 3x f F = –5|5 – x| + 5x + 7

Bài 53: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a A = |x + 1| + |x – 5| + 1 b B = |x – 2| + |x – 6| + 5 c C = |2x – 4| + |2x + 1|

d D = |x + 2| + |x – 3| – 1 e E = |2x – 4| + |2x + 5| d F = 3|x – 2| + |3x + 1|

Bài 54: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a A = |x + 3| + |2x – 5| + |x – 7| b B = |x + 1| + |3x| + |x – 1| + 5

c C = |x + 2| + 4|2x – 5| + |x – 3| d D = |2x + 3| + 5|x + 1| + 2|x – 1| + 3

Bài 55: Cho x + y = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 1| + |y – 2|

Bài 56: Cho x – 2y = 3, tìm giá trị của biểu thức B = |x – 6| + |2y + 1|

Bài 57: Cho x – y = 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 2|x + 1| + |1 – 2y|

Bài 58: Cho 2x + y = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = |2x + 3| + |y + 2| + 12

DÃY SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

Bài 1: Tính tổng S = 2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … + 2012

Bài 2: Cho biểu thức A = 1 – 2 + 3 – 4 + + 99 – 100

a Tính A

b A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không?

Bài 3: Cho A = 1 – 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +

a Biết rằng A = 181 Hỏi A có bao nhiêu số hạng?

b Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n

Bài 4: Cho A = 1 – 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +

a Biết A có 40 số hạng Tính giá trị của A

b Tìm số hạng thứ 2012 của A

Bài 5: Tìm giá trị của x biết (x + 2) + (x + 7) + (x + 12) + + (x + 47) = 655

Bài 6: Tìm x biết x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (x + 2017) = 2017.2018

Bài 7: Tính M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 2017 2018

Bài 8: Cho A = 1 + 3 + 3² + 3³ + + 3100 Tìm số tự nhiên n biết 2A + 1 = 3n

Bài 9: Cho A = 3 + 3² + 3³ + + 32016

a Tính A

b Chứng minh A chia hết cho 130

c A có phải là số chính phương không? Vì sao?

Bài 10: Cho A = 1 – 3 + 3² – 3³ + – 32015 + 32016 Chứng minh 4A – 1 = 32017

Bài 11: Cho A = 2 + 2² + 2³ + + 260 Chứng minh rằng A chia hết cho 315

Bài 12: Cho A = 2 + 2² + 2³ + + 299 + 2100 Chứng minh A chia hết cho 31

Trang 8

Bài 13: Cho S = 5 + 5² + 5³ + + 596.

a Chứng minh S chia hết cho 126

b Tìm chữ số tận cùng của tổng S

Bài 14: Cho A = 1.2.3 29.30 và B = 31.32.33 59.60

a Chứng minh B chia hết cho 230 b Chứng minh B – A chia hết cho 61 Bài 15: Cho A = 1 + 2 + 2² + 2³ + + 22015 và B = 22016 So sánh A và B

Bài 16: Cho M = 3 + 3² + 3³ + + 3100

a M có chia hết cho 4, cho 12 không? Vì sao?

b Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M + 3 = 3ⁿ

Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 + 3 + 3² + 3³ + + 3119

a Thu gọn biểu thức M

b Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?

Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: 1 1 1 2 2015

3 6 10+ + + +n(n 1)= 2016

+ Bài 19: Tính S = 3 3 3 3

1.4 4.7 7.10+ + + + n(n 3)

+ với n là số tự nhiên Chứng minh S < 1 Bài 20: So sánh A = 2 2 2

60.63 63.66+ + +117.120 và B = 5 5 5

40.44 44.48+ + +76.80 Bài 21: Tính

a A = 1 1 1 1 1 1

10 40 88 154 238 340+ + + + + b B = 1 1 1

1.2.3 2.3.4+ + +98.99.100 Bài 22: So sánh A = 1 1 12 13 1100

+ + + + + và B = 2

Bài 23: Tính A = 3 + 3 3 3 3

1 2 1 2 3 1 2 3 4+ + + +1 2 100

Bài 24: Tính giá trị các biểu thức A =

3 5 99

1.99 3.97 5.95 99.1

+ + + +

Bài 25: Tính B =

2 3 4 100

99 98 97 1

+ + + + + + + + Bài 26: Chứng minh 100 – (1 1 1 1 ) 1 2 3 99

2 3 100 2 3 4 100 + + + + = + + + + Bài 27: Tính B/A biết A = 1 1 1 1

2 3 4+ + + +200 và B = 1 2 3 198 199

199 198 197+ + + + 2 + 1 Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy số 1 ;1 ;11 1 1 ;1 1 ;1 1 ;

3 8 15 24 35 Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số 1 1; ; 1 ; 1 ;

6 66 176 336

Bài 30: Tính A =

1.2 3.4 5.6 17.18 19.20

11 12 13 19 20

+ + + + + Bài 31: Tìm x, biết ( 1 1 1 )x 1 1 1

1.101 2.102+ + +10.110 =1.11 2.12+ + +100.110 Bài 32: Tính

a S = 1 + a + a² + a³ + + aⁿ, với a ≥ 2, n là số nguyên dương

b S1 = 1 + a² + a4 + + a2n, với a ≥ 2, n là số nguyên dương

c S2 = a + a³ +a5 + + a2n+1, với a ≥ 2, n là số nguyên dương

Trang 9

Bài 33: Cho A = 1 + 4 + 4² + 4³ + + 499, B = 4100 Chứng minh rằng 3A < B.

Bài 34: Tính giá trị của biểu thức:

a A = 9 + 99 + 999 + + 999 9 b B = 9 + 99 + 999 + + 999 9

(50 chữ số) (200 chữ số) Bài 35: Tính |x| biết

a 1 1 1 1

1.3 3.5+ + + 47.49= x b 1 1 1 x

1.4 4.7+ + +97.100 = 2

c 4 4 4 2x 5

1.5 5.9 97.101 101

+ + + + = d (1 1)(1 1)(1 1) (1 1 ) x 21

g 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 = 11x – 1

CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN, SỐ THỰC, CĂN BẬC HAI

Bài 1: Viết các số thập phân dưới dạng phân số tối giản

0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13)

Bài 2: Tính

a 10,(3) + 0,(4) – 8,(6) b [12,(1) – 2,3(6)]:4,(21) c 0,(3) + 3,(3) – 0,4(2)

Bài 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ tối thiểu khi biểu diễn số 116/99 dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Bài 4: Tính tổng tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12)

Bài 5: Rút gọn biểu thức M = 0,5 0,(3) 0,1(6)

2,5 1,(6) 0,8(3)

Bài 6: Tìm x biết

a 0,1(6) 0, (3)x 0,(2)

0,(3) 1,1(6)

3

0, (3) 0,(384615) x 50

13 0,0(3) 85

=

c [0,(37) + 0,(62)]x = 10 d 0,(12) : 1,(6) = x : 0,(4)

Bài 7: Cho biểu thức A =

m 3m 2m 5 m(m 1)(m 2) 6

+ + + (m là số tự nhiên)

a Chứng minh rằng A là phân số tối giản

b Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?

Bài 8: Chứng minh với a, b > 0 thì a b+ < a+ b

a (x – 3)² = |3 – x| b (x – 1)² + |2 – 2x| = 0

a 2 x = x b 16(x – 1)² = 9

Bài 11: Cho A = x 1

x 1

+

− Tìm x để A = 7 Bài 12: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên

a A = 7

x b B =

x 13

x 1

− + c D =

2 x 7

x 3

+

− Bài 13: Cho A = x 4

2 x

+ Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên Bài 14: Chứng minh rằng x, y đều là số hữu tỉ nếu x + y và x – y là các số hữu tỉ

Bài 15: Tính A = 1 1(1 2) 1(1 2 3) 1 (1 2 3 16)

+ + + + + + + + + + + Bài 16: Tìm x biết

a 0,8(72) – 0,56(81).x = 0,5(09) b 0,8(3) + 0,20(45) : x = 0,(15)

Bài 17: So sánh A = (1 1)(1 1)(1 1) (1 1)

2− 3− 4− 10− và B = –0,(1)

Bài 18: Cho A = (1 1)(1 1)(1 1) ( 1 1)

4− 9− 16− 100− và B = –0,(5) So sánh A và B

Trang 10

Bài 19: So sánh A = 1 3 5 119 .

2 4 6 120 và B = 0,(09).

a (x + 3)² = –|x + 3| b |x² – 3x| + |(x + 1)(x – 3)| = 0

Bài 21 Tìm số nguyên x sao cho

a |2x – 5| < 6 b |10x + 7| < 37 c |4x + 3| + 4|x – 1| < 8

Bài 22 Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện

a 2|x| + 3|y| = 8 b 2|x| + 3|y| < 4 c 4x² + 5|y| = 13

Chuyên đề: CHỨNG MINH TAM GIÁC

Bài 1 Cho ΔABC có AC > AB Vẽ tia phân giác AD, D thuộc BC Chứng minh góc ADC – ADB = B – C Bài 2 Cho ΔABC có góc A = 60° Vẽ tia phân giác BD và CE (D tuộc AC; E thuộc AB) cắt nhau tại O

a Tính góc BOC b Vẽ phân giác ngoài tại B và C cắt nhau tại I Tính góc BIC

Bài 3 Tính các góc của tam giác ABC Biết góc A – B = B – C = 20°

Bài 4 Cho tam giác ABC có góc A = 80°, góc B = 60° Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D Chứng minh rằng góc BDC = góc ACB

Bài 5 Cho tam giác ABC có góc A gấp 2 lần góc B và góc B gấp 2 lần góc C

a Tính góc A; B; C

b Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại C Tính góc AEC

Bài 6 Cho ΔABC có các góc A; B; C lần lượt tỷ lệ với 3; 2; 1 Hỏi ΔABC là tam giác như thế nào?

Bài 7 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp và AB < BC < CA Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác ABC

Bài 8 Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O Kẻ OE, OF, OG thứ tự vuông góc với AC, AB, BC

a Chứng minh OE = OF = OG b Tia AO cắt BC tại D Chứng minh góc BOD = COG

Bài 9 Cho tam giác ABC Biết AB = 3 cm, BC = 5 cm và CA = 4 cm Gọi đường thẳng qua A và song song với BC là a Đường qua B song song với CA là b và đường thẳng qua C và song song vơi AB là c Gọi M, N,

P theo thứ tự giao điểm các đường thẳng b và c; a và c; a và b Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP

Bài 10 Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC, kẻ BH vuông góc với AM và CK vuông góc với AM Chứng minh

a BH // CK b M là trung điểm của HK c HC // BK

Bài 11 Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn Người ta vẽ phía ngoài tam giác ấy ba tam giác đều LMA; MNB và NLC Chứng minh LB = MC = NA

Bài 12 Cho tam giác ABC có góc A = 90°; góc B = 60° Phân giác góc B và phân giác góc C cắt nhau tại I

và AI cắt BC tại M

a Chứng minh góc BIC là góc tù b Tính góc BIC

Bài 13 Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20° Tia phân giác góc A cắt BC tại D Tính số đo các góc ADC và góc ADB

Bài 14 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB (D và C khác phía đối với AB) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC (E và B khác phía đối với AC) Chứng minh

a DC = BE b DC vuông góc với BE

Bài 15 Cho tam giác ABC có góc B gấp hai lần góc C Tia phân giác góc B cắt AC ở D Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE = AC Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK = AB Chứng minh rằng AE = AK

Bài 16 Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC Trên tia đối tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho EN = EB Chứng minh A là trung điểm của MN

Bài 17 Cho tam giác ABC Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ΔADB; ΔACE Kẻ

AH vuông góc BC; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH Chứng minh

a DM = AH b MN đi qua trung điểm của DE

Bài 18 Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm AB và E trung điểm AC Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF Chứng minh rằng

a DB = CF b ΔDBC = ΔFCD c 2DE = BC

Bài 19 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D; E sao cho AD = BE Qua D và E vẽ các đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N Chứng minh DM + EN = BC

Bài 20 Cho tam giác ABC có góc A = 60° Các tia phân giác góc B, góc C cắt nhau tại I và cắt AC; AB theo thứ tự D; E Chứng minh ID = IE

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	391 KB