Lời cảm ơn Luận văn đợc hoàn thành dới hớng dẫn nhiệt tình chu đáo NGƯTPGS-TS Nguyễn Huy Lợi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến NGƯT-PGS-TS Nguyễn Huy Lợi Trong trình học tập hoàn thành luận văn, tác giả nhận đợc quan tâm giúp đỡ nhiều từ khoa Toán-Tin, Phòng SĐH, Trờng Đại Học S Phạm Hà Nội Tác giả xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ quý báu Cuối lần tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô, Phòng SĐH, Khoa Toán, Trờng ĐHSP Hà Nội 2, Trờng THPT Ngô Gia Tự, bạn bè đồng nghiệp đà động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình nghiên cứu học tập để hoàn thành luận văn Hà Nội , tháng 07 năm 2007 Tác giả Dơng Tiến Tiệp lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Phép biến đổi Fourier ứng dụng công trình nghiên cứu thân, luận văn đà đợc kế thừa kiến thức nhà khoa học Ngời cam đoan Dơng Tiến Tiệp mục lục Mở đầu Chơng 1: Các kiến thức bổ trợ 1.1 Chuỗi Fourier .7 1.1.1 Mét sè kh¸i niƯm 1.1.2 Sự hội tụ chuỗi Fourier 11 1.2 TÝch ph©n Fourier 14 1.3 Hµm suy réng 16 1.3.1 Khái niệm mở đầu 16 1.3.2 TÝnh chÊt 17 Chơng 2: Phép biến đổi Fourier 20 2.1 PhÐp biÕn ®ỉi Fourier L1 ( ¡ ) 20 2.1.1 Mét sè kh¸i niƯm 20 2.1.2 TÝnh chÊt phÐp biÕn ®æi Fourier 22 ( ) 2.2 PhÐp biÕn ®ỉi Fourier L ¡ n 25 2.2.1 Mét sè kh¸i niƯm 25 2.2.2 C¸c tÝnh chÊt 26 2.3 PhÐp biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm .30 2.3.1 Mét sè kh¸i niƯm 30 2.3.2 TÝnh chÊt phÐp biÕn ®ỉi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 33 2.4 VÝ dô .36 Ch¬ng 3: øng dơng phÐp biÕn ®ỉi Fourier 43 3.1 øng dụng phép biến đổi Fourier vào giải toán 43 3.1.1 BiÕn ®ỉi Fourier phơng trình truyền nhiệt 43 3.1.2 Biến đổi Fourier phơng trình điện báo cáp truyền vô hạn … 47 3.1.3 NghiƯm c¬ phơng trình truyền sóng 51 3.1.4 Nghiệm toán Dirichlet nửa mặt phẳng 52 3.2 Một số ứng dụng khác phép biến đổi Fourier 53 3.2.1 Mối liên hệ tích phân Fourier tích phân loại Côsi 53 3.2.2 Thác triển hàm giải tích .56 3.2.3 TÝch phân Fourier chiều hàm chiều 58 KÕt luËn 60 Tài liệu tham khảo 61 Mở đầu 1.Lý chọn đề tài Lý thuyết chuỗi Fourier đóng vai trò quan trọng giải tích toán học Có nhiều toán toán học thực tiễn dẫn tới việc nghiên cứu phép biến đổi Fourier Phép biến đổi Fourier phép biến đổi phổ biến phép biến đổi tích phân, có nhiều ứng dụng khoa học đặc biệt đợc sử dụng nhiều toán học vật lý kỹ thuật áp dụng phơng pháp vào phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính, biến phơng trình thành phơng trình đại số, phơng trình đạo hàm riêng cã sè biÕn Ýt h¬n Víi mong mn cã mét phơng pháp hoàn chỉnh đủ mạnh, ứng dụng nhiều việc nghiên cứu phơng trình đạo hàm riêng tuyến tÝnh víi hƯ sè h»ng Nhê sù gióp ®ì, híng dẫn tận tình PGS TS NGƯT Nguyễn Huy Lợi đà mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Phép biến đổi Fourier ứng dụng Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm giải lớp phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính, thay cho toán biên với giá trị ban đầu khác phơng trình Đối tợng phạm vi nghiên cứu Các khái niệm, tính chất ứng dụng phép biến đổi Fourier Luận văn chia thành ba chơng Chơng 1: Các kiến thức bổ trợ Gồm ký hiệu, khái niệm bổ trợ cho phép biến đổi Fourier Chơng 2: Phép biến đổi Fourier.Trong chơng tác giả đa số định nghĩa số tính chất phép biến đổi Fourier L1 ( ¡ ) , ( ) vµ phép biến đổi Fourier hàm tăng chậm không gian L1 Ă n ( ) Cuối chơng ví dụ minh họa cho phép biến ®ỉi ' hµm suy réng S ¡ n Fourier cđa hàm thuộc không gian đà xét Chơng 3: ứng dụng phép biến đổi Fourier Đây phần luận văn đợc sử dụng kết chơng 2, để nghiên cứu nghiệm số phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính áp dụng phép biến đổi Fourier vào việc tìm nghiệm phơng trình đạo hàm riêng, thông qua phơng trình truyền nhiệt, phơng trình điện báo, toán tử sóng toán Dirichlet Cùng với ứng dụng để giải toán, tác giả sử dụng phép biến đổi Fourier để đa mối liên hệ tích phân Fourier tích phân loại Côsi, để thác triển hàm giải tích xét mối liên hệ tích phân chiều với hàm chiều Do khuôn khổ luận văn thời gian nghiên cứu, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong đóng góp ý kiến bạn đọc, đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn tất ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện Chơng kiến thức bổ trợ 1.1 Chuỗi Fourier 1.1.1 Một số khái niệm *Hàm tuần hoàn hàm điều hòa +) Hàm tuần hoàn Cho hàm số ( t ) xác định Ă ( t ) đợc gọi hàm tuần hoàn chu kú T , nÕu ∃T > nhá nhÊt cho ϕ ( t + T ) = ϕ ( t ) +) Hàm điều hòa Xét hàm sè ϕ ( t ) = A0 + A1 sin ( ωt + α1 ) + A2 sin ( 2ω + α ) + = A0 + ∞ ∑ An sin ( nωt + α n ) , (1.1) n =1 ®ã A0 , A1 , , , , số có giá trị đặc biệt hàm nh trên, = , gọi thành phần điều hòa hàm ( t ) T Quá trình khai triển hàm tuần hoàn thành thành phần điều hòa mang tên giải tích điều hoà Nếu ta chọn làm biến độc lập x = t = t ta thu đợc hàm x , T x f ( x ) = ϕ ữ hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π , ®ã khai triĨn ω  công thức (1.1) có dạng f ( x ) = A0 + A1 sin ( x + α1 ) + A2 sin ( x + α ) + = A0 + ∞ ∑ An sin ( nt + α n ) (1.2) n =1 Khai triÓn số hạng chuỗi (1.2) theo công thức sine tổng đặt a0 = A0 , an = An sin α n , bn = An cos α n , ( n = 1, 2, ) , ta đợc f ( x ) = a0 + ( a1 cos x + b1 sin x ) + ( a2 cos x + b2 sin x ) + = a0 + ∞ ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) (1.3) n =1 Hàm tuần hoàn f ( x ) có chu kỳ T = đợc khai triển theo công thức (1.3) đợc gọi hàm điều hòa * Các hÖ sè Fourier f ( x ) = a0 + XÐt hµm ∞ ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) , n =1 f hàm tuần hoàn chu kỳ T = khai triển lợng giác hàm f ( x ) ta xác định hÖ sè a0 , a1 , a2 , , b0 , b1 , b2 , nh sau +) HÖ sè a0 : Tríc hÕt ta gi¶ sư f ( x ) liên tục liên tục khúc [ −π ; π ] LÊy tÝch ph©n hai vÕ cđa (1.3) trªn [ −π ; π ] ta cã π ∫−π ∞   f ( x ) dx =  a0 + ( an cos nx + bn sin nx ) dx −π  n =1  ∫ π ∑ = 2π a0 + a  n n =1  π ∑ ∫−π cos nx dx + bn π sin nx cos nx dx = −π n ∫ Ta cã π π ∫−π sin nx dx = − ∞ a Do vËy ta cã  n n =1  π ∑ ∫−π suy ∞ π ∫−π π −π cos nx dx + bn f ( x ) dx = 2π a0 ⇒ a0 =  ∫−π sin nx dx   =0 −π cos nx n π =0 π  ∫−π sin nx dx  = ,  2π +) HÖ sè am : π ∫−π f ( x ) dx (1.4) Ta nhân hai vế (1.3) với cos mx lấy tích phân đoạn [ ; π ] , ( cos mx ≠ ) π ∫−π f ( x ) cos mx dx = ∞ π π π   a0 ∫ cos mx dx + ∑  an ∫ cos nx cos mxdx + bn ∫ sin nx cos mxdx  −π −π  −π  Khi ®ã ta cã n =1 sin mx Ta cã ∫ cos mx dx = −π m π * Trờng hợp m n Vì π ∫−π sin nx cos mx dx = cos nx cos mx dx = *Trêng hỵp n = m Ta cã π ∫−π cos mxdx = an = am → Do vËy am = π 2 π −π = π   ∫−π sin ( m + n ) x + sin ( n − m ) x dx = , π   ∫−π cos ( m + n ) x + cos ( n − m ) x dx = 0, ( n ≠ m ) π ∫−π + cos 2mx dx = π ,khi ®ã ∞ π ∑ ∫−π f ( x ) cos mxdx = m =1 amπ π ∫−π f ( x ) cos mxdx ; m = 1, 2, (1.5) +) HƯ sè bm Ta nh©n hai vÕ cđa (1.3) víi sin mx, (sin mx ≠ 0) , råi lÊy tÝch phân đoạn [ ; ] f ( x ) sin mx dx = ∞ π π π   a0 ∫ sin mx dx + ∑  an ∫ cos nx sin mxdx + bn ∫ sin nx sin mxdx  −π −π  −π Ta có ta đợc n =1 a0 sin mx dx = *Trêng hỵp m ≠ n π ∫−π sin mx cos nx dx = π   ∫−π sin ( m + n ) x − sin ( n − m ) x dx = π ∫−π sin nx sin mx dx = − víi mäi m ≠ n π   ∫−π cos ( m + n ) x − cos ( m − n ) x dx = 0, *Trêng hỵp n = m Th× : π ∫−π − cos 2mx π dx =  ( − cos 2mx ) dx   −π 2  −π   π π = x − cos 2mx dx = π −π −π sin mxdx = ∫ π ∫ ∫ Khi ®ã ta cã bm = π π ∫−π f ( x ) sin mxdx = bmπ , v× vËy ta cã π ∫−π f ( x ) sin mxdx ; m = 1, 2, (1.6) Các công thức (1.4), (1.5) 1.6) đợc biết với tên gọi công thức EulerFourier hệ số đợc tính từ công thức gọi hệ số Fourier chuỗi hàm đà cho (1.3) Nếu hàm f ( x ) đợc khai triển d¹ng f ( x ) = a0 + ∞ ∞ ∑ (an cos nx + bn sin nx) ; mµ chuỗi hội tụ chuỗi n =1 (an cos nx + bn sin nx) + a0 , đợc gọi chuỗi Fourier hàm n =1 f ( x) *Hệ thống trực giao hàm Ta gäi hai hµm ϕ ( x ) vµ ψ ( x ) đợc xác định khoảng (a; b) trực giao khoảng tích hàm có tích phân không Tức b a ( x )ψ ( x ) dx = Ta xét hệ thống hàm { n ( x ) } n =1,2, , đợc xác định khoảng (a; b) liên tục khoảng liên tục khúc, hàm hệ thống đà cho trực giao đôi b ∫a ϕn ( x ) ψ m ( x ) dx = , ( m, n = 1, 2, , m ≠ n ) , th× ta gäi hƯ thống hệ thống trực giao hàm 10 u ( x; t ) = π Fc ( µ ) = π Víi ∞ ∫0 ∞ ∫0 Fc ( µ ) e − µ Kt cos ( µ x ) d µ ( 3.9 ) f ( x ) cos ( µ x ) dx 3.1.2 Biến đổi Fourier nghiệm phơng trình điện báo cáp truyền vô hạn Dòng điện cáp truyền, đợc biểu diễn phơng trình đạo hàm riêng LC utt + ( GL + RC ) utt + RGu = u xx Trong ®ã R điện trở, L độ tự cảm, C điện dung G độ rò rỉ, tất độ đo tỷ lệ với đơn vị độ dài cáp truyền, ẩn hàm u ( x; y ) điện áp cờng độ dòng điện thời điểm t , độ đo tọa độ x cđa c¸p trun R G RG + , = , c2 = , ta đợc phơng trình: L C CL CL ( 3.10 ) utt + β utt + α u = c 2u xx Từ định nghĩa phơng trình , ta có β − α = ( R / L − S / G ) ≥ , vËy ta giải phơng trình với giá trị , dơng Đặt = Phơng trình điện báo phơng trình đạo hàm riêng cấp biến thời gian Một cách tự nhiên ta xét hai điều kiện ban đầu u ( x; ) = f1 ( x ) , u ( x; ) = f ( x ) Do phơng trình tuyến tính nhất, nên ta giải toán trờng hợp f1 ( x ) = trờng hợp f ( x ) = kết hợp kết lại * Trờng hợp f1 ( x ) = Bài toán giá trị ban đầu phơng trình ®iƯn b¸o utt + β utt + α u = c 2u xx u ( x; t ) = ut ( x; ) = f ( x ) ViÕt u ( x; t ) dạng biến đổi Fourier trực tiếp 50 2π u ( x; t ) = ∞ ˆ ∫−∞ u ( µ ; t ) e iµ x dµ áp dụng thông thờng vào phơng trình (3.10) ta ®ỵc 2π utt + β utt + α u − c 2u xx = ˆ ˆ ˆ ˆ ∫−∞ ( utt + 2β ut + α u + c u ) Từ giải phơng trình đạo hàm riêng cấp ( ˆ utt + 2β ut + α u + c 2u = Trong ei µ x d µ ( 3.11 ) ˆ u ( µ; t ) = ˆ ut ( µ ; ) = F2 ( µ ) ∞ F2 ( µ ) = f ( x ) e −i µ x dx Víi 2π −∞ Chúng ta giải phơng trình với hệ số hằng, tìm nghiệm dới dạng e t thu đợc ( ) 2 phơng trình đặc trng sau : + βγ + α + cµ = Có định thức ' = − ( c µ ) ( ) ' Trêng hỵp β − α < ∆ < Khi phơng trình đặc trng có hai nghiệm (ảo) , Tìm tham số p, q u ( ; t ) = petγ1 + qetγ tháa m·n điều kiện u ( à; t ) = ˆ ut ( µ ; ) = F2 ( ) Ta có nghiệm phơng trình (3.11) u ( t ; ) = F2 ( µ ) e −β t sin t α − β + ( cµ )   2  suy c«ng thøc nghiƯm e− β t u ( x; t ) = 2π ∞ ∫−∞ 2  ( 3.12a ) α − β + ( cµ )   2  sin t α − β + ( cµ )   F2 ( µ ) , 2  α − β + ( cµ )   51 ei µ x d µ ( 3.12b ) ( ) ' Trêng hỵp β − α = ∆ < T¬ng tù ta cịng cã sin ( cµ t ) , cµ sin ( cµ t ) i µ x e− β t ∞ F2 ( µ ) e dµ suy u ( x; t ) = cµ 2π ∫−∞ ˆ u ( µ ; t ) = F2 ( µ ) e − β t ( 3.13a ) ( 3.13b ) Trêng hỵp β − α > ∆ ' ≤ víi cµ ≥ β − α ∆ ' > víi cµ < β − α Khi ®ã ta cã  2  sin t  c µ − β − α    −β t e F2 ( µ )   cµ − β − α      ˆ u ( µ; t ) =   2 sinh t  β − α − ( cµ )   −β t    e F2 ( µ )   β − α − ( cµ )      eθ − e −θ ë ®ã : sinh θ = ( ( e− β t Suy u ( x; t ) = 2π e− β t + 2π ) ( ) ) ( ) β −α , , cµ < β − α ( ∫ cµ ≥ β −α ) 2 sin t ( cµ ) − β − α   ei µ x d µ F2 ( µ ) ( c µ ) − β − α    ( ( ) ) 2 sinh t  − ( c µ ) + β − α   ei µ x d µ F2 ( µ ) 2  − ( cµ ) + β − α    ∫ cµ < , cà ( * Trờng hợp f ( x ) = 52 ) Ta giải phơng trình (3.11) utt + 2β ut + α u + c µ 2u = ˆ Víi u ( µ ; t ) = F1 ( µ ) ˆ u ( µ; t ) =  ,  F1 ( µ ) = 2π  ∞ ∫−∞ f1 ( x ) e i x dx ữ Ta có ba trờng hợp có kÕt sau: Trêng hỵp β − α < Công thức biến đổi Fourier : ˆ u ( µ ; t ) = e− β t F1 ( µ ) cos t α − β + ( c µ ) + +β e Suy e− β t u ( x; t ) = 2π β e− β t + 2π −β t ∞ ∫−∞ ∞ ∫−∞ F1 ( µ ) sin t α − β + ( cµ ) α − β + ( cµ ) 2 F1 ( µ ) cos t α − β + ( cµ ) d µ F1 ( µ ) sin t + ( cà ) Trờng hợp β = α Ta cã α − β + ( cµ ) 2 dµ  sin ( cµ t )  ˆ u ( µ ; t ) = e − β t  F1 ( µ ) cos ( c µ t ) + β F1 ( µ ) , ( cµ )    sin ( c µ t )  i µ x e− β t ∞  u ( x; t ) = e dµ  F1 ( µ ) cos ( c µ t ) + β F1 ( µ ) ( cµ )  2π −∞   ∫ Trêng hỵp β − α > Ta cã : e − β t u ( µ ; t ) = ˆ 53   cµ − β − α   sin t   , cµ ≥ β − α  F1 ( µ ) cos t ( c µ ) − β − α  + F1 ( µ )     cµ − β − α        2 sinh t  β − α − ( cµ )     , cµ < β − α  β − α − ( c µ )  + β F1 ( µ )  F1 ( µ ) cosh t     β − α − ( cµ )      ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) eθ − e −θ eθ + e −θ Trong ®ã sinh θ = , cosh θ = 2 Tõ ®ã suy u ( x; t ) = u3 ( x; t ) = u4 ( x; t ) Trong ®ã e− β t u3 ( x; t ) = 2π e− β t + 2π ∫ cµ ≥ ∫ cµ < β e− β t u4 ( x; t ) = 2π β e− β t + 2π β −α β −α ( ∫ cµ ≥ ) 2 F1 ( µ ) cosh t  − ( c µ ) + β − α ei µ x d µ   ( β −α ) 2 sin t ( c µ ) − β − α   ei µ x d µ F1 ( µ ) ( c µ ) − β − α    β −α ) 2 ( ) ( ) 2 sinh t  − ( c µ ) + β − α   ei µ x d µ F1 ( µ ) 2  − ( cµ ) + β − α    ∫ cµ < ( 2 F1 ( µ ) cos t ( c µ ) − β − α ei µ x d µ   ( ) 3.1.3 Nghiệm phơng trình truyền sóng Xét toán với giá trị ban đầu phơng trình truyÒn sãng utt − ∆u = ¡ n × ( 0; ∞ )  , (3.14)  ˆ u = g tren ¡ n × { t = 0}   ˆ víi ut = 0, u lµ biÕn ®ỉi Fourier cđa u ®èi víi biÕn x ∈ Ă n Khi utt + u = 0, t > ˆ ˆ (3.15)  u = g ; ut = 0, t = 54 Đây phơng trình vi phân thờng với cố định thuộc Ă n ,ta tìm nghiệm có dạng u = et ( β , α ∈ £ ) ˆ Tõ (3.15) cho ta α + µ ˆ (3.15) ta cã u = ( = vµ vËy α = , với điều kiện ban đầu từ ˆ g it µ e + e −it µ ) ( g it Lấy nghịch đảo, ta tìm đợc u ( x; t ) = e + e −it µ 2  ˆ g ( µ ) it µ u ( x; t ) = e + e it Vì ta có ( 2π ) n n ( ∫ ¡ = ( 2π ) ∫ n ¡ n ( 2π ) n ∫ ¡ n ∨ )e ix µ dµ ˆ g ( µ ) i ( xµ + t µ ) e + ei ( x µ − t µ ) d µ ( ) VËy nghiÖm phơng trình truyền sóng là: u ( x; t ) = )    ˆ g ( µ ) i ( xµ + t µ ) e + ei ( x µ − t µ ) d µ víi x ∈ ¡ n , t ≥ ( ) 3.1.4 Nghiệm toán Dirichlet nửa mặt phẳng 2u 2u Cho phơng tr×nh + = 0, −∞ < < ∞, y > ∂x ∂y tháa m·n ®iỊu kiƯn u ( x; ) = f ( x ) , < x < Tìm nghiệm phơng trình (3.16) Giả sử hàm u có tính chất ®đ tèt, ®ã ta cã ˆ u ( µ; y ) = 2π ∞ ∫−∞ u ( x; y ) e −i µ x ∧  ∂u  Ta có ữ = i u , x   ∧  ∂ 2u  ˆ,  ữ = u x ∂ 2u  ˆ ∂ 2u  2÷ = , ∂ y  ∂y  55 dx (3.16) (3.17) ˆ ∂ 2u ˆ tõ (3.16) vµ (3.17) ta cã: − µ u + = ∂y (3.18) Giải phơng trình (3.18) ta đợc nghiệm y µ y ˆ u ( µ ; y ) = C1 e + C2 e V× e − y biến đổi Fourier ngợc, nên ta xét trờng hợp C2 = Khiđó: u ( µ ; y ) = C1 e ˆ −µ y , điều kiện (3.17) nên ta có u ( µ ; y ) = f ( µ ) e y Đặt g ( ) = e y , g ( x; y ) = 2π = 2π = 2π = ∞ ∫−∞ e − µ y ix µ e ∞ ˆ ∫−∞ g ( µ ) e ix µ dµ dµ  e( ix + y ) µ d µ + ∞ e( ix − y ) µ d µ   −∞     1   ix + y − ix − y     2y  y =  = π x2 + y2 2π  x + y  ∫ ∫ Tõ ®ã ta cã u ( x; y ) = f * g ( x; y ) = = π ∞ ∫−∞ g ( x − t; y ) f ( t ) dt y ∞ ∫−∞ ( x − t ) + y f ( t ) dt Vậy nghiệm phơng trình Dirichlet lµ: u ( x; y ) = π ∞ y ∫−∞ ( x − t ) + y f ( t ) dt 3.2 Mét số ứng dụng khác phép biến đổi Fourier 3.2.1 Mối liên hệ tích phân Fourier tích phân loại Côsi Sự nghiên cứu tơng tự tích phân Côsi mang lại hàng loạt lý thuyết toán biên, hàm giải tích, đặc biệt toán tích phân , Sau số kết mối liên hệ tích phân Fourier tích phân Côsi 56 Giả sử F ( ) hàm tích phân đờng L (Đờng L đờng kín hở) Tích phân: F ( ) dτ , 2π i L τ − z ∫ (3.19) đợc gọi tích phân loại Côsi, biểu thức (3.19) xác định hàm giải tích mặt cắt phần đờng L +) Nếu đờng L đờng kín , tích phân (3.19) hàm giải tích bao gồm nhiều phần liên kết với đợc giới hạn đờng L +) Nếu đờng L trục thực, tập hợp đờng song song víi nhau, cßn F ∈ { { 0} } *) Trờng hợp đờng L đờng thẳng ta có  F + ( z ) , Im z > F (τ )  dτ =  − 2π i L τ − z  F ( z ) , Im z <  ∫ (3.20) *) NÕu F ( τ ) ∈ { { 0} } tồn giới hạn hàm sồ F ( z ) trục thực giới hạn có mối liên hệ với F tích phân dới ®©y 1 ∞ F (τ ) F ( x) + dτ 2π i ∫−∞ τ − x 1 ∞ F (τ ) F − ( x) = − F ( x) + dτ 2π i −∞ τ − x F + ( x) − F − ( x) = F ( x) ∞ F (τ ) − F + ( x) + F ( x) = dτ π i −∞ τ − x F + ( x) = ∫ Hc ∫ (3.21) (3.22) (3.23) Tích phân (3.23) đợc hiểu nh toán đặc biệt với tích phân Fourier F ( x) = 2π ∞ ∫−∞ f ( t ) eixt dt (3.24) Tham số thực x đợc đa vào trực tiếp hàm giải tích, thay x z , hàm số tổ hợp biến thiên F ( z ) đợc xác định nh sau: 57 F ( z) = 2π ∞ ∫−∞ f ( t ) eizt dt (3.25) Tích phân (3.25) tích phân tơng ứng mặt phẳng z = x + iy (ở tích phân tuyệt đối giống nhau) Nếu lớp { { 0} } không đặt vào trục thực, tích phân (3.25) phần phân tích tích phân (3.24) mặt phẳng phức z = x + iy Tích phân (3.25) đợc gọi tích phân Fourier Khi thay giá trị tích phân Fourier vào mặt phức trớc tiên ta thiết lập mối liên hệ tích phân Fourier tích phân C«si cïng víi F ( x ) lÊy theo trơc Ta cã F (τ ) dτ = −∞ τ − z 2π i 2π i = 2π ∞ ∫ f ( t ) dt 2π i ∫−∞ dτ −∞ τ − z ∫ eiτ t dτ + −∞ τ − z 2π ∫ 2π ∞ ∞ ∞ ∫0 ∞ ∫−∞ f ( t ) e f ( t ) dt 2π i iτ t dt eiτ t dτ −∞ τ − z ∫ ∞ Ta xÐt hai trêng hỵp *Trêng hợp điểm z nằm nửa mặt trục F (τ ) dτ 2π i −∞ τ − z Ta cã 1 = 2π i = 2π Do ∫ ∞ eiτ t dτ −∞ τ − z ∫ ∞ ∞ f ( t ) eizt dt ∫0 2π i 2π ∫−∞ f ( t ) dt + 2π i eiτ t dτ −∞ τ − z ∫ ∞ 2π ∞ ∫0 f ( t ) dt , (Im z > o) eitτ dτ = 0, (Im z < 0) vµ −∞ τ − z ∫ ∞ ∞ eitτ dτ = eizt , (Im z > 0) 2π i −∞ τ − z ∞ F (τ ) ∞ vËy dτ = f ( t ) eizt dt , (Im z > 0) 2π i −∞ τ − z 58 (3.26) *Trờng hợp điểm z n»m nưa mỈt díi Ta cịng lËp ln tơng tự nh ta đợc i F (τ ) dτ = − −∞ τ − z 2π ∫ ∞ ∫−∞ f ( t ) eizt dt , (Im z < 0) (3.27) Trong thùc tế ta chứng minh ngợc lại từ vế bên phải công thức cuối ta rút vế trái công thức Trớc tiên ta thiết lập hai hệ thức liên kết eizt hệ số Côsi z Giả sử công thức t số thực z = x + iy lµ sè phøc ei ( z −τ ) t = e yt ei ( x −τ )t , nÕu y vµ t cïng dÊu vµ t → ∞ th× ei ( z −τ ) t → Ta cã ∞ i ( z −τ ) t ∫0 e Tõ ®ã ta cã: ∫−∞ e ∞  ei ( z −τ ) t  dt =  ;  = i ( z −τ )  i (τ − z)   0 (Im z > 0) , i ( z −τ ) t  ei ( z −τ ) t  dt =  ;  =− i ( z −τ )  i (τ − z)    −∞ (Im z < 0) (3.28) Khi nµy ta cã 2π = ∞ ∫0 2π f ( t ) eizt dt = ∞ ∫−∞ F ( τ ) dτ 2π ∞ ∞ izt ∫0 e dt ei ( z −τ ) t dt , ∫0 ∞ ∫−∞ F ( τ ) e − itτ dτ (3.29) theo (3.28) ta nhận đợc (3.26) (3.27) Trong thực tế cđa vÊn ®Ị ta ®a kÕt ln chung cđa toán học công thức lại biến đổi trở lại công thức Fourier, để thuận tiện ta lấy công thức khởi đầu f ( t) = 2π ∞ ∫−∞ F ( x ) e −ixt dx Ta chøng minh r»ng biÓu thøc 59 (3.30) F ( x) = 2π ∞ ∫−∞ f ( t ) eixt dt đợc suy từ công thức (3.20), đồng thời theo (3.26) (3.27) ta có ∞ f ( t ) eizt dt , 2π F − ( z) = − f ( t ) eizt dt 2π −∞ Trong trêng hỵp với biến z tích phân thu đợc giá trị giới F+ ( z) = hạn hàm số F ( z ) trục cách thay z vào x sau việc áp dụng công thức (3.21) 3.2.2 Thác triển hàm giải tích Ta biết hàm số đà cho cung kín lớp H, nói chung không liên tục với cung vùng đơn Gơ- ra- phi ngời ta đà đa điều kiện liên tục đợc diễn tả qua tích phân dạng Côsi Đối với trờng hợp cung trục thực, ta nhận đợc điều kiện mà điều kiện đợc biểu diễn tích phân Fourier Sau ta xét định lý (thác triển hàm giải tích) Định lý: Để hàm số F ( x ) L2 ( Ă ) đà cho trục thực có giá trị biên nửa mặt (nửa mặt dới) hàm F + ( z ) F − ( z ) cho ∞ ∫−∞ F ± ( x + iy ) dx < M , (3.31) (với M không phụ thuộc vào y ), điều kiện cần đủ f ( t ) nửa trục âm (dơng) Chứng minh : * Điều kiện cần : Giả sử F ( z ) = F + ( z ) hàm giải tích phía nửa mặt có giá trị giới hạn trục thực hàm F ( z ) = F + ( z ) thuéc L2 ( ¡ bÊt ®¼ng thøc ∞ ∫−∞ F ± ( x + iy ) ) tõ + dx < M ta thu đợc F ( z ) tích phân Côsi theo c«ng thøc (3.26) ta cã 60 2π F+ ( z) = ∞ ∫0 f ( t ) eizt dt (3.32) Theo tính liên tục tích phân, giá trị giới hạn trục ta thu đợc biến đổi đơn giản đẳng thức cuối thay z cho x ta đợc: F + ( x) = 2π ∞ ∫0 f ( t ) eixt dt , (3.33) f ( t ) kết công thức (3.26) F ( x ) , phần bên phải xem tích phân Fourier từ hàm số, mà hàm số không, f ( t ) = 0; ∀t < , từ suy tính hàm số F + ( x ) đợc xác định (3.33) vËy f ( t ) ≡ * §iỊu kiện đủ: Giả sử f ( t ) t < tích phân Fourier có d¹ng F ( x) = 2π ∞ ∫0 f ( t ) eixt dt Khi thay tham sè z cho x , z thuộc nửa mặt phẳng (Im z > 0) th× ta cã F ( z) = 2π ∞ ∫0 f ( t ) eizt dt F (τ ) dτ 2π i ∫−∞ τ − z Theo (3.8) ta nhận đợc hàm F ( z ) = Đó hàm số cho tích phân Côsi, từ suy bất đẳng thøc (3.31) Trêng hỵp Im z < ta cịng lập luận nh Định lý đợc chứng minh xong * Lu ý: Định lý có giá trị quan trọng dùng để phục vụ cho toán, phơng trình khác nhau, nh toán biên Riaman 3.2.3 Tích phân Fourier chiều hàm chiỊu + XÐt tÝch ph©n F ( z ) = F − ( z) = − 2π 2π ∫−∞ f ( t ) ∞ ∫0 f ( t ) eizt dt eizt dt , tích phân gọi tích phân chiều phải trái 61 (3.34) Giả sử f ( t ) { 0} ta áp dụng định lý phần 3.2.2 tơng ứng với dấu hàm số phía trên, phía dới mặt Các dấu đợc thực bất đẳng thức (3.33) giá trị giới hạn F + ( x ) , F − ( x ) thc vỊ c¸c líp { { 0; ∞} } , { { −∞; 0} } tơng ứng Với giả thiết f ( t ) { 0} ta khảo sát hàm số f ( t ) , t <  f− ( t ) =   0, t >   f ( t) , t >  f+ ( t ) =   0, t < (3.35) Các hàm số gọi hàm số chiều f ( t ) phía tơng ứng với phía phải trái, để đơn giản ta gọi phải trái Khi ®ã ta cã ®¼ng thøc f ( t ) = f + ( t ) − f − ( t ) , đẳng thức thỏa mÃn với sgn ,  t >  sgn t =  víi −1 t <  Ta cã thĨ biĨu diƠn f ± ( t ) qua f ( t ) díi d¹ng f ± ( t ) = ( ±1 + sgn t ) f ( t ) Lớp hàm chiều phải đợc ký hiệu{ 0; } (3.36) (3.37) Lớp hàm chiều trái đợc ký hiệu { ; 0} RƠ thÊy c¸c líp sÏ chøa ë { 0} , hàm chiều với dấu ta dựa theo kết bổ đề dới Bổ đề: Các tích phân Fourier hàm trái hàm phải giá trị biên hàm số tơng ứng với nửa mặt nửa mặt dới Chính xác hơn, muốn lớp chøa miỊn { 0; ∞} hc { −∞; 0} điều kiện cần đủ 62 lớp phải đợc biểu diễn nằm lớp tơng ứng { { 0; ∞} } hc { { −∞; 0} } Bây ta công thức tơng tự nh công thức (3.22) (3.23) tÝch ph©n Fourier 2π Ta cã : F ( x ) = = vµ 2π ∫−∞ ∞ ∫−∞ f ( t ) eixt dt f ( t ) eixt dt + 2π ∞ ∫0 f ( t ) eixt dt = F + ( x ) − F − ( x ) ∞ F ( t) + − ∫−∞ t − x dt = F ( x ) + F ( x ) πi ∞ ixt = f ( t ) eixt dt − ∫0 ∫−∞ f ( t ) e dt 2π 2π ∞ ixt = ∫−∞ f ( t ) sgn t e dt 2π Tãm l¹i : Thành phần thứ từ công thức (biểu diễn hàm số dới dạng hiệu giá trị biên hàm giải tích ) đợc tách theo hệ tích phân Fourier theo đờng biên liên tục theo phía phải trái, thành phần thứ hai công thức viết díi d¹ng sau ( ) V f sgn t = 1 F (τ ) dτ ; V −1  πi τ − x πi 63 F (τ )  dτ ÷ = f ( t ) sgn t −∞ τ − x  ∫ ∞ KÕt luËn LuËn văn đà xây dựng chi tiết công thức tÝnh chÊt cđa phÐp biÕn ®ỉi ( ) Fourier hàm số thực L ( Ă ) , L Ă n hàm bản, phép biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm không gian hàm tăng chậm S ' , đồng thời số ví dụ áp dụng công thức, số ứng dụng phép biến đổi Fourier Các kết luận luận văn là: - Xây dựng phép biến đổi Fourier phép biến đổi Fourier ngợc hàm ( ) L ( Ă ) , L ¡ n - X©y dùng phÐp biÕn đổi Fourier phép biến đổi Fourier ngợc hàm suy rộng tăng chậm - Chứng minh tính chất phép biến đổi Fourier hàm thuộc không gian nói trên, đồng thời sử dụng công thức phép biến đổi Fourier để tìm biến đổi Fourier số hàm thờng gặp - Đa mét sè øng dơng cđa phÐp biÕn ®ỉi Fourier vấn đề tìm nghiệm phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính, phơng trình truyền nhiệt, phơng trình điện báo, toán Dirichlet, phơng trình truyền sóng - ứng dụng khác phép biến đổi Fourier đề cập tới mối liên hệ tích phân Fourier tích phân loại Côsi, tích phân chiều hàm chiều, biến đổi Fourier để thác triển hàm giải tích - Trong luận văn không đề cập nhiều tới phép biến đổi Fourier môi trờng phức, không đề cập tới phơng pháp tích phân phần, nhiên vấn đề có ứng dụng rộng mà tác giả cha tham khảo đợc Tài liệu tham kh¶o 64 ... víi sin mx, (sin mx ≠ 0) , lấy tích phân đoạn [ ; π ] π ∫−π f ( x ) sin mx dx = ∞ π π π   a0 ∫ sin mx dx + ∑  an ∫ cos nx sin mxdx + bn ∫ sin nx sin mxdx Ta có ta đợc π n =1 ∫−π a0 sin... ) ( ) +)Víi x = π (1.1) ta cã sin(2n + 1)α dα sin α π −ε sin(2n + 1)α π sin(2n + 1)α = f ( π − 2α ) dα + f ( π − 2α ) dα π sin α π π −ε sin α π −ε sin(2n + 1)α ε sin(2n + 1) x '' '' = ∫ f ( π −... dx ''   −π sin (2n + 1)( x '' − x) π = f x'' dx '' 2π −π sin ( x '' − x) sin (2n + 1)( x '' − x) x f x'' dx '' Do vËy Sn = 2π −π sin ( x '' − x) sin (2n + 1)( x '' − x) π + f x'' dx '' 2π x sin ( x '' −