luan van thac si gai tich

W 2.2 Định lý đối ngẫu trừu tượng Chúng ta sẽ nghiên cứu định lý đối ngẫu trên cơ sở lý thuyết đã có.Định lýnày cho phép chúng ta xem xét đồng thời hàm điều hoà dưới và hàm đa điều hoàd

Một ví dụ đơn giản khác là µ δ= x , độ đo Dirac tại x cũng là độ đo Jensen tại x

Jϕ Ω là họ tất cả các độ đo Jensen tại x trên Ω.

Chú ý rằng ϕ là hàm đủ ‘tốt’ cho tất cả ∫ϕ µd tồn tại và ta có kết quả tiếp theo

là hiển nhiên

2.1.4 Mệnh đề

( ) ( ) ( )

S xϕ ≤ Jϕ x x∈Ω Chúng minh

Cố định x∈Ω Cho u∈SH ( )Ω với u≤ϕ, và cho µ ∈J x( )Ω bất kì ta có

S xϕ( )≤Jϕ( )x W

2.2 Định lý đối ngẫu trừu tượng

Chúng ta sẽ nghiên cứu định lý đối ngẫu trên cơ sở lý thuyết đã có.Định lýnày cho phép chúng ta xem xét đồng thời hàm điều hoà dưới và hàm đa điều hoàdưới cũng như có thể áp dụng được vào lý thuyết đa thế vị

iii) R tách các điểm của X và chứa các hằng số.

Với mỗi x X∈ , độ đo R tại x là độ đo xác suất Borel µ trên X thoả mãn

( )

u x ≤∫udµ (u R∈ ).Chúng ta kí hiệu I là tập tất cả độ đo x R tại x Cho ϕ:X → −¥ ¥ , ta định[ , ]

nghĩa

( ) sup ( ) : , ( )

R xϕ = u x u R u∈ ≤ϕ x X∈ Định lý đối ngẫu trừu tượng sau là kết quả của Edward, [07]

Theo mệnh đề 2.1.3 Ta dễ dàng chứng minh được R xϕ( )≤Iϕ( )x với mọi

x X∈ Ta sẽ chứng minh điều ngược lại tức là R xϕ( )≥Iϕ( )x thật vậy

Đầu tiên ta giả sử ϕ ∈C X( ), chú ý ϕ là hàm số giá trị thực liên tục trên X

Và giả sử R xϕ( )<Iϕ( )x với mọi x X∈ Ta có thể thêm một hằng số vào ϕ nếucần, không giảm mất tính chất tổng quát của bài toán ta giả sử( ) 0 ( )

0

∫ ∫ (f ∈C =) (2.1)

Mặt khác, vì C= bao gồm tất cả các hàm số liên tục, dương trên X do đó, µchỉ là độ đo dương Nhân thêm bởi một hằng số, chúng ta có thể giả sử rằng µ làmột độ đo xác suất.

Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng µ chính là độ đo R tại x Cho u R∈ với mỗi

0

>

ò> Đặt f = −u u x( )+ò> Thế thì f ∈C= , vì ∫ fdµ ≥0 do đó( )

u x ≤∫udµ +ò>.

Cho ò>→0, ta được ( )u x ≤∫udµ> Điều chứng minh dưới đây xét

( )

u x = −∞, và trong tất cả các trường hợp đẳng thức luôn xảy ra.

Theo bất đẳng thức (2.1) ta có Iϕ( ) 0x ≤ khi đó mâu thuẫn với điều giả sử.

Do đó Iϕ( )x ≤R xϕ( ) trong trường hợp ϕ là hàm số liên tục.

Giả sử ϕ chỉ là hàm số nửa liên tục dưới Cho ( )ϕn là dãy trong ( )C X mà( )ϕn hội tụ tới ϕ Ta vừa chứng minh, với mỗi n , tồn tại µ ∈n I x sao cho

1( )

Vậy

( ) ( ) ( )

Nhận xét: Nếu ϕ là nửa liên tục trên thì định lý 2.2 không còn đúng nữa Thật

vậy, điều đó là sai khi R chứa một dãy giảm ( ) u mà có giới hạn là không liên n

tục Vì nếu đặt ϕ =limn u n thì ϕ là nửa liên tục trên và thoả mãn Iϕ ϕ= , nhưng

2.3 Định lý đối ngẫu của hàm đa điều hoà dưới

Cho Ω là một tập con mở của R và d ϕ Ω → −¥ ¥ , ta kí hiệu: [ , ]

các độ đo Jensen tại x trên Ω

2.3.1 Định lý

Cho :ϕ Ω →R là hàm số liên tục Khi đó

( ) ( ) ( )

S xϕ =Jϕ x x∈Ω . Đây là khái niệm cơ bản Cho X là tập con compact của Ω, Ta đặt

R= u| u SH∈ Ω I C Ω .Với Ω =R trường hợp này chúng ta xem trong trang 77, [14]2

Chứng minh

Tương tự định lý 2.2.

Để cú thờm kiến thức từ định lý ta cần phải liờn hệ độ đo R trờn X và độ

đo Jensen trờn Ω Ta cú bổ đề sau

n

u ∈SH Ω I C Ω sao cho u n ↓u trờn X ( Xem trong định lý xấp xỉ khụng

tầm thường [Gr, định lý 6.1]) Đặt v n =u n X| , khi đú v n∈R vỡ vậy ( )v x n =∫v d n à

Cho n→ ∞ suy ra ( )u x ≤∫udà do đú à ∈J x( )Ω Vậy

I x ={à∈J x( ) : suppΩ à ⊂ X} (x X∈ ) W

Chứng minh định lý 2.3.1

Cho (X thoả món là dóy vột cạn, compact của n) Ω, với mỗi n mọi hợp

thành giới nội của d |

Chứng minh tương tự định lý 2.3.1 chỉ cần chú ý trong quá trình chứngminh bổ đề 2.3.2, chúng ta phải biết rằng u∈SH ( )Ω , tồn tại

n

u ∈SH Ω I C Ω thoả mãn u n ↓u trên X Kết quả tương tự của hàm đa điều

hoà dưới là không đúng trong trường hợp nói chung Nhưng đúng trong trườnghợp Ω là giả lồi, chúng ta xem trong định lý 5.5, [08]

2.4 Ứng dụng vào hàm nguyên

Chúng ta biết rằng một hàm nguyên phải chứa tập không điểm lớn nhất Sửdụng độ đo Jensen ta sẽ thấy điều này

Cho g là một hàm nguyên với g≡/0 Cho M :C→R là hàm số liên tục.

Khi đó tồn tại một hàm nguyên f ≡/0, chứa tập không điểm của g và thoả mãn

log ( )f z ≤M z( ) với mọi z∈C ?

Nếu mỗi f được tồn tại, thì ta có thể chọn được ( f g/ )(0) 0≠ (Chỉ thay thế

f bởi Cf z z( )/ với những hằng số ,k C k thích hợp) Khi đó hàm u=log /f g là

hàm điều hoà dưới trên C với (0)u > −¥ ,vì vậy mọi độ đo µ tại 0 ta có

−∞ < ≤∫ ≤∫ − Trong trường hợp

Đặc biệt, điều kiện này sẽ cần thiết cho sự tồn tại của hàm f đó là điều kiện đủ,

xem trong định lý của Khabibullin, §2 trang 1069, [12]

Định lý 2.4.1

Nếu (2) được thoả mãn, với mỗi δ >0, tồn tại một hàm nguyên f ≡/0,chứa

tập không điểm của g , mà thoả mãn

2 2

log ( ) max ( ( ) 3log(1 ))

Khabibullin chứng minh 3log(1+ z2) bị khử, cũng như giả thiết liên tục của M

yếu hơn một chút Chúng ta xem trong sách của Koosis, chương 3,[15]

Định lý 2.4.2

Cho u là hàm điều hoà dưới trên C với u≡ −/ ¥ ,m là độ đo Lebesgue Khi

đó tồn tại một hàm nguyên h≡/0 thoả mãn

2 ( )

2 3

( ) (1 )u z ( )

(0)

Jϕ > −¥

Áp dụng định lý 2.3.1 suy ra Sϕ(0)> −¥ , do đó tồn tại một hàm điều hoà dưới

nhỏ nhất u trên C thoả mãn u≤ϕ và u ≡ −/ ¥ Theo định lý 2.4.2 tồn tại mộthàm nguyên h≡/0 sao cho

2 ( )

2 3

( ) (1 )u z ( )

h z e

Đặt f =Cgh2, C là hằng số Rõ ràng f là hàm nguyên, f ≡/0 và chứa tập

không điểm của g

Mặt khác, khi f là hàm điều hoà dưới trên C ,

Thật ra, u≤ϕ mà ϕ =(M −log )g ∗ρ nên (log )g ∗ ≤ρ M ∗ −ρ u

Hơn nữa vì log g là hàm điều hoà dưới, ta có log g ≤(log )g ∗ρ Do đó

2.5 Độ đo điều hoà

Cho Ω là tập con mở của R , và cho x d ∈Ω ( )J x Ω là tập độ đo Jensen

Chúng ta nói đến trong mục giới thiệu là, Nếu B là hình cầu đóng tâm x

trong Ω, thì độ đo mặt chuẩn hoá trên B∂ là độ đo Jensen tại x Nói chung, cho miền DÌ Ì Ω chứa x , Nếu ω là độ đo điều hoà trên D tại x , thế thì mọi hàm điều hoà dưới u trên Ω thoả mãn

Đây là trường hợp đặc biệt của định lý 1.3, [06] W Trong định lý đối ngẫu 2.3.1, và sự ứng dụng của định lý thì ta có thể thay thế độ

đo Jensen bởi độ đo điều hoà Chúng ta có những kết quả, nếu µ là độ đo

Lebesgue chuẩn hoá trên một hình tròn tâm x , thì µ là độ đo Jensen tại xnhưng hiển nhiên µ không phải là độ đo điều hoà Định lý tiếp theo chỉ ra rằngkết quả xảy ra tương tự với độ đo Jensen

Chúng ta giả sử ( )J x Ω là tập con tập đối ngẫu của ( )C Ω , với tô pô ∗- yếu.

Kí hiệu conv là bao lồi đóng Ta có định lý sau

Định lý 2.5.3

( ) conv( ( ))

Chứng minh

Dễ dàng kiểm tra được rằng ( )J x Ω lồi và đóng ∗- yếu trong ( )C Ω ∗ Do đóconv(H x( ))Ω Í J x( )Ω

Ngược lại, ta phải chứng minh ( ) conv(J x Ω Í H x( ))Ω thật vậy

Lấy µ ∈J x( )Ω và giả sử µ ∉conv(H x( ))Ω Thế thì, theo định lý Hahn-Banachtồn tại ϕ ∈ ΩC( ) với

Điều này trái với định lý 2.5.2

Do đó µ ∈conv(H x( ))Ω suy ra ( ) conv(J x Ω Í H x( ))Ω Vậy

Ta có ext( ( ))J x Ω Ì H x( )Ω được suy ra từ định lý 2.5.3

Ta chỉ cần chứng minh H x( ) ext( ( ))Ω Ì J x Ω Thật vậy

ω ∈H x( )Ω , µ ∈J x( )Ω và suppµÌ suppω, thế thì ud∫ ω ≤∫udµ với mọi

Xem trong định lý 6.5, [06]

2.6 Độ đo đĩa giải tích

Mặc dù định lý 2.4.1 đã được trình bày và chứng minh cho hàm nguyên ởtrên C và mở rộng nó không khó khăn gì đối với hàm nguyên trên C với d d ≥2 Điều kiện (2.2) mở rộng thành

đã làm đối với độ đo Jensen trong phần trước

Độ đo điều hoà sẽ không được sử dụng nhiều bởi vì bài toán Dirichlet vàphương trình Monge-Ampère bây giờ là không tuyến tính Thay vào đó, có độ đokhác được sử dụng trong giải tích phức và gọi là độ đo đĩa giải tích Độ đo nàyđược Poletsky giới thiệu vào năm 1980, với mục đích phát triển lý thuyết về hàm

đa điều hoà dưới trên tập copact

Cho Ω là tập con mở của C và cho x d ∈Ω PJ x( )Ω là tập đa độ đo Jensen

tại x trên Ω Chúng ta cũng viết ∆ là đĩa đơn vị mở trên C, và T là hình trònđơn vị

Nếu f là một đĩa giải tích tâm x trên Ω, và l là độ đo Lebesgue chuẩn

hoá trên hình tròn đơn vị Kí hiệu A x( )Ω là tập độ đo đĩa giải tích tại x trên Ω

Ta dễ dàng kiểm tra được rằng độ đo đĩa giải tích là độ đo đa Jensen Thật

vậy để n thoả mãn định nghĩa 2.6.1 và cho u là hàm đa điều hoà dưới trên Ω

Khi đó u fo là nửa liên tục trên trên ∆ và điều hoà dưới trên ∆ Do vậy với

Xem trong mục III.3, [03]

Khác như trước đây, Chúng ta có thể áp dụng định lý Hahn- Banach suy ra( )

• R tách các điểm của X và bao gồm các hằng số.

Cho x X∈ , độ đo R tại x là độ đo xác suất Borel µ trên X thoả mãn ( )u x ≤∫udµ (u R∈ )

Chúng ta kí hiệu I là tập tất cả độ đo R tại x Đây là tập compact x ∗-yếu,tập con lồi của ( )C X ∗ Kí hiệu ext( )I là tập các cực điểm Kết quả chính của x

phần này đó là độ đo trong ext( )I được biểu thị bởi tính chất xấp xỉ x

Trước hết, f không phải là hằng số Vì nếu không ∫ fdµ = ⇒ =0 f 0 (mâuthuẫn với (2.6) khi u v= =0)

Do đó 1, f là độc lập tuyến tính, chúng ta định nghĩa phiếm hàm tuyến tính

g =h+ và g2 =h− do đó ( )p h luôn được xác định Dễ dàng kiểm tra được p là

phiếm hàm tuyến tính dưới, tức là:

p h +h ≤ p h + p h ( , h h1 2∈C X( )), ( )p th =tp h( ) (h C X∈ ( ), t≥0).Mặt khác, chúng ta giả sử ( )ϕ h ≤ p h( ), với mọi h∈span 1,{ }f Bởi tính đồngnhất, điều này ta đi đến chứng tỏ rằng

1 1

2 2( 1 )

2 2( 1 )

p s − f ≥ s− ò và 1

2( )

p s = s (s∈R )Chúng ta sẽ kiểm tra p s( 1+ f)≥12s+12ò Thật vậy

Giả sử rằng s1+ = −f g1 g2, với g g1, 2∈C Thế thì tồn tại u j∈R với

( ) 0,

u x = u ≤g (j=1,2) Vì g1 ≥max( , 1+u s f1 +u2) Sử dụng (2.5) ta có

C X , vẫn thoả mãn ( )ϕ h ≤ p h( )với mọi h C X∈ ( ) Ta kiểm tra kết quả của bấtđẳng thức này.

Trước hết, ϕ là phiếm hàm tuyến tính dương Thật vậy, nếu h≥0, thì

dµ ϕ− ≥ − =

1 2 2

µ ϕ− = µvới µ2 là độ đo xác suất trên X Như vậy µ = 12µ1+12µ2

Ta thấy rằng µ µ ∈1, 2 I x Lấy u R∈ với ( ) 0u x = Ta cần chứng minh rằng

2.8 Hàm điều hoà dưới không nửa liên tục trên

Chúng ta xem lại định nghĩa hàm điều hoà dưới Cho Ω là tập mở của Rd

và giả sử với d ≥2, cho :u Ω →R là một hàm, về bản chất u là hàm điều hoà

dưới nếu và chỉ nếu ∆ ≥u 0 Nếu u C∈ 2( )Ω thì điều này hiển nhiên đúng Tuynhiên C có quá nhiều hạn chế cho sự áp dụng Cho ví dụ, trong phương pháp2Perron về giải quyết bài toán Dirichlet, nó rất quan trọng là max( , )u v sẽ là hàm

điều hoà dưới với u v, bất kì Và điều này sẽ sai nếu chúng ta giới hạn hàm sốtrên C Một ví dụ khác, sự áp dụng giới hạn của một dãy các hàm điều hoà2dưới giảm dần sẽ là hàm điều hoà dưới, và điều này cũng sẽ sai nếu ta xét hàmtrên C Vì vậy sẽ bắt đầu với hàm số nửa liên tục trên.2

Tính chất ∆ ≥u 0 có thể hiểu theo nhiều cách, ta có thể hiểu tính chất này đó

là với mỗi x∈Ω, và mỗi hình cầu đóng B tâm x thoả mãn BÌ Ω,

1( )

( ) B

m B

Trong đó m là độ đo Lebesgue trên R Tuy nhiên, một ví dụ đơn giản chúng ta d

có thể lấy supremum của họ các hàm điều hoà dưới như bao điều hoà dưới trongđịnh nghĩa 2.1.2 được không? Điều này ta có thể tìm thấy trong định lý 1, [22]

2.8.1 Định lý

Cho u:Ω → −[ ¥ ¥ là Borel và bị chặn trên địa phương, và cho u, ) ∗ là

chính quy hoá nửa liên tục trên của u Khi đó các điều kiện sau là tương đương

• Với mỗi x X∈ và mỗi hình cầu đóng B tâm x trên Ω ta có

1 ( )

Chứng minh

Theo bổ đề 2.3.4, [13] của Choquet, ta có thể chỉ rõ trường hợp ( )uα là đếmđược Khi đó, u là Borel và bị chặn trên địa phương Hơn nữa, với x∈Ω và

Đặt u Jϕ= .Với mỗi x∈Ω và µ ∈J x( )Ω thì ( )u x ≤∫udµ Theo định lý

2.8.2 thì u∗ là hàm điều hoà dưới và u∗ =u ngoài một tập dung lượng không

(Chú ý u có thể không Borel, nhưng u vẫn “đo được đầy đủ” ) Theo định lý

đảo của Cartan, tồn tại họ hàm điều hoà dưới ( )uα , sao cho u=supα αu

Mặt khác, Su u= Vì u≤ϕ, dễ dàng suy ra Sϕ ≥u tức là Sϕ≥Jϕ

Điều ngược lại, theo mệnh đề 2.1.4 ta có S xϕ( )≤Jϕ( )x với x∈Ω Vậy

S xϕ( )=Jϕ( )x W

Nhận xét: Nếu R2 |Ω là tập cực kết quả trên sẽ không đúng Ví dụ, Cho Ω =R ,2

và lấy (0)ϕ = −1, ϕ =0 Khi đó Sϕ ≡ −1, bởi vì theo định lý Liouville thì mọihàm điều hoà dưới bị chặn trên trên R là hàm hằng Mặt khác, nếu 2 x≠0 thì

Cho Ω là tập con giả lồi bị chặn của C Nếu d ϕ Ω → −¥ ¥ là Borel và bị: [ , )

chặn trên địa phương, thì

PS xϕ =PJϕ x ( x∈Ω| )E Với E là tập đa cực Hơn nữa, tồn tại ϕ thoả mãn E≠φ.

Chứng minh

Xem trong hệ quả 6.5, [5] W

Ta có mở rộng định lý 2.5.2 như sau

2.8.6 Định lý

Cho Ω là tập con mở của R , và cho d ϕ Ω → −¥ ¥ là Borel và bị chặn: [ , )

trên địa phương Thì

Jϕ( ) infx = { ∫ϕ ω ωd : ∈H x( )Ω U{ }δx } ( x∈Ω)

Chứng minh

Xem trong định lý 1.3, [6] W

2.8.7 Định lý

Cho Ω là tập mở của R , và cho d u:Ω → −¥ ¥ là Borel và bị chặn[ , )

trên địa phương Các điều kiện sau là tương đương

• Với mỗi miền DÌ Ì Ω và mỗi hàm h liên tục trên D và là hàm điều hoà dưới trên D , nếu u h≤ trên D∂ thì u h≤ trên D

• u∗ là hàm điều hoà dưới trên Ω và u∗ =u ngoài một tập dung lượng không.

[3] S.Bu and W Schachermayer, Approximation of Jensen measures by image

measures under holomorphic functions and applications, Trans Amer Math Soc 331 (1992), 585-608

[4] H.Cartan, Théorie du potentiel newtonien: énergie, capacité, suites de

potentiels, Bull Soc Math France 73 (1945), 74-106.

[5] B J Cole and T J Ransford, Subharmonicity without upper

semicontinuity, J Funct Anal 147 (1997), 420-442.

[6] B J Cole and T J Ransford, Jensen measures and hamonic measures, J.

Reine Angew Math (to appear).

[7] D A Edwards, Choquet boundary theory for certain spaces of lower

semicontinouns functions, in Function Algebras (F Birtel, Ed.), Scott,

Foresman and Co., Chicago, 1966, 300-309

[8] J E Fornaess and R Narasimhan, the Levi problem on complex spaces with

singu-larities, Math Ann 248 (1980), 47-72.

[9] T W Gamelin, uniform Algebras and Jensen Measures, Cambridge

University press Cambridge, UK, 1978.

[10] T W Gamelin and N Sibony, Subharmonicity for uniform algebras, J.

Funct Anal 35 (1980), 64-108

[11] S Gardiner, Harmonic Approximation, Cambridge University Press,

Cambridge, UX, 1995

[12] B N Khabibullin, Sets of uniqueness in spaces of entire functions of a

single variable Math USSR Izvestiya 39 (1992), 1063-1084.

[13] M Klimek, Pluripotential theory, Oxford University Press, Oxford, 1991.

[14] P Koosis, La plus petite majorante surharmonique et son rapport avec

l’existence des fonctions entières de type exponentiel jouant le rôle de

multiplicateurs, Annales inst Fourier (Grenoble) 33 (1983), 67-107.

[15] P Koosis, Lecons sur le Théorème de Beurling et Malliavin, Les

Publications CRM, Montréal, 1996

[16] F Láusson and R Sigurdsson, Plurisuhamonic functions and analytic discs

on manifolds, J Reine Angew Math 501 (1998), 1-39.

[17] P Lelong and L.Gruman, Entire Functions of Several Complex Variables,

Springer, Berlin, 1986

[18] E Poletsky, Plurisubharmonic functions as solutions of variational

problems, proc Symp Pure Math 52 part 1 (1991), 163-171.

[19] E.Poletsky, Holomorphic currents, Indiana Univ Math J 42 (1993),

85-144

[20] E.Poletsky, Disk envelopes of functions I, in Complex Analysis in

Contemporary Mathematics, ed E M Chirka, Fasis, Moscow, 1997.

[21] E.Poletsky, Disk envelopes of functions II, J Funct Anal 163 (1999),

111-132