A/ Đặt vấn đề.Thực tế cho thấy khi gặp bài toán chứa tham số học sinh thờng lúng túng trong quá trình biện luận.. Đặc biệt đối với phơng trình lợng giác việc biện luận để phơng trình có
Trang 1A/ Đặt vấn đề.
Thực tế cho thấy khi gặp bài toán chứa tham số học sinh thờng lúng túng trong quá trình biện luận Đặc biệt đối với phơng trình lợng giác việc biện luận để phơng trình có nghiệp, biện luận số nghiệm của phơng trình không phải lúc nào cũng dễ dàng Có những bài toán phải vận dụng những phơng pháp đặc biệt mà việc nghĩ ra hay tìm thấy đều rất khó khăn
Trong năm học qua và năm học 2004 - 2005 khi dạy ôn về phơng trình lợng giác tôi đã tổng kết đợc một vài dạng bài cơ bản về phơng trình lợng giác có tham số với mong muốn giúp các em học sinh có thêm một vài phơng pháp giải đối với dạng toán này
Trớc hết để làm đợc yêu cầu học sinh phải thành thạo trong việc giải các
ph-ơng trình lợng giác không có tham số Nắm thật chắc các phép biến đổi phph-ơng trình
đa về dạng đã biết Ngoài ra học sinh cần nhớ nội dung hai định lý:
* Định lý: Nếu f(x) liên tục trên { a;b} có maxf = M, min f = m
Từ đó thì ⇒ phơng trình f(x) = a sẽ có nghiệm
⇔ m ≤ a ≤ M
Định lý Lagrăng: Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn {a ; b} và có đạo hàm trên khoảng (a ; b) thì tồn tại một điểm c ∈ (a ; b) sao cho
f’(c) =
B/ Nội dung:
Dạy phơng trình lợng giác có tham số
I- Dạng 1: Biện luận để phơng trình có nghiệm
Bài toán 1: Tìm điều kiện của m để phơng trình sau có nghiệm
Sin6x + cos6x = m
Ta có Sin6x + cos6x = 1 - sin22x = 1 - ( 1 - cos22x)
a b
a f b f
−
− ( ) )
(
4
3
4 3
Trang 2Sin6x + cos6x + cos22x Hãy đánh giá vế trái: 0 ≤ cos22x ≤ 1 ⇒ ≤ sin6x + cosx ≤ 1 Hàm số f(x) = sin6x + cos6x có max f = 1, min f =
f(x) liên tục nên phơng trình f(x) = m có nghiệm ⇒ ≤ m ≤ 1
Vậy với m Є { ; 1 thì phơng trình f(x) = m có nghiệm
Bài toán 2: Tìm m để phơng trình sau đây có nghiệm.
Cos2x + cosx = m
<=> 2cos2x - 1 + cosx = m
Đặt cosx = t, điều kiện | t | ≤ 1
Xét hàm số f(x) = 2 t2 + t - 1 với 1≤ 1 ≤ 1 Toạ độ đỉnh ( - ; - ) Bảng biến thiên
f(t) + ∞ 0
Dựa vào bảng biến thiên: max f(t) = 2 khi t = 1
min f(x) = - khi t = Phơng trình có nghiệm khi - ≤ m ≤ 2
Làm tơng tự: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
Sin2x + sinx cosx = m
2 sin2x + cosx - sinx = m
Đặt t = sinx + cosx, đk | t | ≤
4
1
4 3
4 1
4 1
4 1
4 1
4
1
8 9
4 1
8 9
8
9
4 1
8 9
2
Trang 3* Tổng quát Nếu f(x) là hàm liêu tục có max f = M, min f = m thì phơng trình f(x)= a có nghiệm m ⇔ a ≤ M
Tìm a để phơng trình có nghiệm
Bài làm:
Ta không nên biến đổi trực tiếp phơng trình
Hãy xét f(x) = với x ∈
Trong khoảng này cosx > 0, sin x < 0
Và lim cosx = 1 lim sinx = 0
x → 0 - x → 0
Lim cos x = 0 + lim sin x = -1
x→ + x→ +
Do đó +
Nhận xét: Hàm số f(x) xác định liên tục trên
+
⇒ Với a phơng trình f(x) = a luôn có nghiệm
a cos3x + b cos2x + sin x = 0 luôn có nghiệm ∈ ( 0; 2Π)
Xét f(x) =
f’(x) = acos3x + bcos 2 x + cosx + sin x
f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; 2Π)
f(0) = - cos 0 = -1
x
1 cos
Π − ;0 2
2
+ Π
−
−∞
→
x
x sin
1 cos
1
x
1 cos
1 lim
−
→ 0
Π −
0
; 2
∞ +
=
∞
−
)
−
→ 0
x
2
+ Π
−
→
x
∀
∀
x x
c x
b x
a
cos sin
2 sin 2 3 sin
1 2
cos
) 2
f
a x
sin
1 cos
1
2
+ Π
−
Trang 4Theo định lý Lagrăng ∃
⇒ Phơng trình f’
(x) = 0 có nghiệm ∈ ( 0; 2π )
⇒ Phơng trình đã cho luôn có nghiệm ∈ ( 0; 2π) với a,b,c
ở đây ta không trực tiếp xét phơng trình
Xét
Vì f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ π Kết f(x) trên ( 0; π)
f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; π)
Theo định lý Lagrăng ∃ x0∈ ( 0; π) f’
(x) = 0 ⇒ PT f’
(x) = 0 có nghiệm ∈ (0;
π)
Vậy với a,b phơng trình đã cho có nghiệm
có nghiệm
Nếu là nghiệm của (I) thì
Đảo lại: Nếu (1) có nghiệm thì là đúng
Đơn vị ⇒∃ x0 ⇒ (x0, y0) là 1 nghiệm của hệ
0 2
) 0 ( ) 2 (
; ) 2
; 0 ( '( )
− Π
− Π
= Π
∀
x b x a x
2 2 sin 2 4
4 sin
)
x b x a x
f'( 0 ) =cos4 + cos2 + sin2
2
;
) 0 (
b f
b
Π
∀
=
= 0
3 0
3
sin sin
cos
cos
y a x
y a
x I
=
=
0
0
y y
x
2
2 cos 1 sin 2
0 1 sin 2 2 cos 2
=
−
−
=
−
−
x x
x x
=
=
0
6
2 0 2
0
6
2 0 2
sin sin
cos
cos
y a x
y a
0 6
a
1 sin cos 6 2 6
a
1 sin
0 6 2
y
( cos ) (2 sin 3 0)2 1
0
0
cos y a y a
0 cos
Trang 5Vậy hệ có nghiệm ⇔ PT (1) có nghiệm.
Đến đây bài toán trở thành tìm a để phơng trình
có nghiệm
Nếu a = 0 phơng trình có dạng 0 =1, phơng trình vô nghiệm
Nếu a ≠ 0 (1) ⇒
⇒
⇒
(1) có nghiệm ⇒
Bài tập tự luyện:
1 Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
2 Cho phơng trình
Tìm m để phơng trình có nghiệm
B/ Dạng 2 Biện luận số nghiệm.
Bài toán 1: Cho phơng trình.
Tìm m để phơng trình có đúng bảy nghiệm trong khoảng
Có thể thấy ngay rằng việc tìm m để phơng trình có đúng 7 nghiệm ∈
quả là khó khăn
1 sin cos 2 6 0 0
6
a
2 0 6 2 0
sin cos
a y a
2
2 sin 4
3 1
a
y =
−
2 1
2 1
4 1
4
3 1 1 0
1 1 2 sin 4 3
2 2
2 2
≤
≤
≤
≤
⇔
≥
≤
⇔
≤
−
≤
−
=
a
a a
a
a y
( )
m x x
c
m x
b
m x
a
= +
= +
=
− +
=
− +
3 cos 3
1 2 cos 2
1 cos 1 ,
cos 2 cos
,
sin 1 sin ,
4 4
4 4
3 sin
3 2
2 + tg x+m tgx+ g − =
x
a x
3 sin
1 3
cos 1
0 1 cos 2
cos 3 cos x− x+m x− =
− Π;2Π 2
− Π;2Π
Trang 6Trớc hết hãy đại số hoá phơng trình đã cho.
Đặt t = cosx đk {t} ≤ 1
Ta đi xét số nghiệm x ∈ của phơng trình cos x = t
Số nghiệm ∈
cos x = t
Nhận thấy cos x = 0 có 2 nghiệm ∈
Phơng trình có đúng 7 nghiệm ∈ ⇔ (2) có 5 nghiệm ∈
⇔ Tam thức f(t) = 4 t2 - 2t + m - 3 có hai nghiệm t1, t2 sao cho -1 < t1 < t2 < 1
Vậy với 1< m <3 phơng trình đã cho có đúng bảy nghiệm ∈
Bài toán khai triển.
- Tìm m để phơng trình có đúng 6 nghiệm ∈
Tam thức f(t) = 4 t2 - 2t + m - 3 có 2 nghiệm t1, t2 sao cho
- Tìm m để phơng trình có đúng 3 nghiệm ∈
=
− +
−
=
⇔
=
− +
−
⇔
=
− +
−
⇔
=
− +
−
−
−
⇔
) 2 ( 0
3 2
4
) 1 ( 0
0 3
2 4
0 3
2 4
0 1 1
2 3
4
2
2
2 3
2 3
m t
t t
m t
t t
t m
t t
t m t
t t
− Π;2Π 2
0
1
0
0
3n
0
2n
− Π Π 2
; 2
− Π;2Π 2
− Π;2Π
− Π;2Π 2
>
>
<
−
0 0 0
)1
) 1 (
) 0 (
f f
f
>
−
>
+
<
−
0 1
0 3
0 3
m m
m
>
−
>
<
4 3 3
m m m
− Π;2Π 2
− Π;2Π 2
<
<
−
=
=
<
<
1 0
; 1
1 0
2 1
2 1
t t
t t
− Π;2Π
Trang 7⇔ f(x) = 4 t2 - 2t + m - 3 có 1 n0 t = -1 hoặc t = 1
- Tìm m để phơng trình có đúng hai nghiệm ∈
⇔ f(x) = 4t2 - 2t + m - 3 vô nghiệm hoặc có nghiệm t = 0
t1≤ t2 < -1 hoặc 1 < t1≤ t2 ; t1 < -1 < 1 < t2
Bài toán 2: Cho phơng trình:
sin 3x - mcos2x - (m+ 1+ sinx + m = 0 (1)
Xác định giá trị của m để phơng trình có đúng 8 nghiệm ∈ ( o; 3Π)
(1) ⇔ 3sinx - 4 sin3x - m (1 - 2sin2x) - (m+1) sinx + m = 0
⇔ - 4sin3x + 2 m sin2x + (2 - m) sinx = 0
⇔ -sin {4sin3x + 2m sinx + (-2 + m)} = 0
sinx = 0 ⇔ x = Π hoặc x = 2Π∈ (0; 3Π)
Do phơng trình có đúng 8 nghiệm ∈ (0; 3Π) ⇔ (2) có đúng 6 nghiệm ∈
(0; 3Π) ≠Π; 2Π
Đặt sinx = t (2) ⇔ 4t2 + 2mt + (-2 + m) = 0
Số nghiệm
∈(0; 3Π)
sinx = t
Phơng trình có đúng 8 nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t1, t2 sao cho 0 < t1 < 1 = t2
hoặc - 1 < t1 < 0 < t2 < 1
* TH 1: 0 < T1 < 1 = t2 ⇔ f(1) = 0 ⇔ m = 2
⇔ t1 = 0 (loại)
* TH 2: -1 < t1 < 0 < t2 < 1
− Π Π 2
; 2
=
− + +
=
) 2 ( 0 2
sin 2 sin 4
0 sin
x
0
1
0
0
1n 2n0 2n0 4n0 2n0
0 4
2 2
1 tt m =−=
Trang 8⇔ ⇔ ⇔ ⇔
Vậy để phơng trình có đúng 8 nghiệm ∈ (0; 3Π) thì
* Làm tơng tự: Tìm m sao cho phơng trình sin 3x + sin 2x = m sin x có
đúng 8 nghiệm ∈
c) Dạng 3: Phơng trình tơng đơng.
Bài 1: Tìm a và b để hai phơng trình sau tơng đơng.
1)
2)
Ta biết rằng hai phơng trình tơng đơng nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau (có thể là tập φ)
+ Nếu (1) vô nghiệm → tìm điều kiện để (2) vô nghiệm
+ Nếu (1) có nghiệm → tìm điều kiện để nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) và ngợc lại
⇔
⇔
⇔
Cần: Giả sử (1) và (2) tơng đơng
Vì là nghiệm của (1) ⇔ cũng là nghiệm của (2)
⇔
Vì là nghiệm của (2) ⇔ cũng là nghiệm của (1)
>
<
>
−
0
0
0
)1
)
0
(
)1
(
af
af
af
>
−
<
−
>
+
0 2
0 2
0 2 3
m m m
<
<
−
>
2 2 3 2
m m
3
2 < <
2 3
2 < <
) 2
5
; 0
x a
x x
asin 2 + 2 = 2 cos + 2 sin
1 cos sin
2 2
sin 2 cos sin
2 2 + x+ x+b= b x+ x+
1 cos sin
2 cos
2 sin 2 sin 2 1 sin 2
0 1 sin 2 cos 2
2 cos 2 2 cos 2 sin
2 2
=
−
−
−
+ +
= + +
− +
=
−
−
−
=
−
b x b
x
x x
b b x x x
x
x a x
x x
x a
4
Π
=
x
4
Π
=
x
2
2 0
2
2 1 2
2
−
6
Π
=
x
6
Π
=
x
Trang 9⇔ ⇔ a=2
(1) ⇔
Nhận thấy (1) và (2) tơng đơng
Vậy với a = 2 b = thì 2 phơng trình đã cho tơng đơng
Bài toán 2: Tìm m để 2 phơng trình sau tơng đơng.
sin x + m cosx = 1 (1)
m sinx + cosx = m2 (2)
Bài làm
Cần: Giả sử (1) và (2) tơng đơng
Ta thấy x = là nghiệm của (1)
⇒ x = cũng phải là nghiệm của (2)
⇒ sin + cos = m2 ⇔ m = m2
⇔ m2 - m = 0
⇔
Với m = 0 (1) ⇔ sin x = 0
(2) ⇔ cos x = 0 ⇔ sin x = ± 1 Hai phơng trình không tơng đơng
Với m = 1 (1) sin x + cos x = 1
(2) sin x + cos x = 1
0 1 6 sin 2 2
3
Π−
2 2
2
2 cos
1 sin 2
0 1 sin 2 2 cos 2
=
−
−
=
−
−
x x
x x
2 2
2 Π
2 Π
2
Π
2 Π
=
=
1
0
m m
) 2 ( ) 1
Trang 10Bài toán 3: Tìm a để phơng trình sau tơng đơng.
(1) 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x (2) 4cos2 x - cos 3x = a cos x + (4 - a) (a + cos 2x)
Bài làm
(1) ⇔ cos 3x + cos x = 1 + cos 2x + cos 3x
⇔ 2cos2x - cos x = 0
⇔ cos x ( 2cos x - 1) = 0 ⇔
(2) ⇔ 4 cos2x - 4cos3 x + 3 cos x = a cos x + (4 - a) (2cos2x - 1)
Hai phơng trình tơng đơng
Tơng tự: Tìm a để 2 phơng trình tơng đơng
sin 3x = a sinx + (4 - 2{a}) sin2x
sin 3x + cos 2x = 1 + 2 sinx cos 2 x
C/ kết luận
Qua một số năm giảng dạy phơng trình lợng giác giải bằng cách phân dạng trên tôi thấy đã có những kết quả nhât định Học sinh biết phân dạng bài tập và sử dụng phơng pháp thích hợp cho mỗi bài toán
Vì thời gian giảng dạy còn ít, kinh nghiệm cha nhiều tôi mong đợc sự đóng góp giúp đỡ của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Giáo viên
=
−
=
0 1 cos 2
0 cos
x x
=
=
2
1 cos
0 cos
x x
= +
−
=
−
=
0 3 cos
2
0 1 cos 2
0 cos
a x x x
−
=
=
=
2
3 cos
2
1 cos
0 cos
a x x x
>
−
<
−
=
−
1 2 3
1 2 3
0 2 3
a a a
4 3 1 5
=
= +
<
+
>
a a a a