Sang kien kinh nghiem mon toan

Ví dụ: sự xác định phép dời hình có thể trình bày nhờ tích của các phép đối xứng trục SGK Hình học lớp 10 Có thể chứng minh định lý về sự xác đinh phép dời hình nhờ phơng pháp khai triể

A Đặt vấn đề

I Lời mở đầu

Trong sự nghiệp giáo dục mà Đảng và Chính phủ đã xác định là quốc sách hàng đầu, giáo dục toán học chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng Toán học là môn học duy nhất đợc giảng dạy từ lớp 1 đến lớp 12 ở bậc phổ thông và giai đoạn

đầu ở bậc đại học

Phần “biến hình” ở trờng phổ thông là một phần học gây đợc nhiều hứng thú cho học sinh, tuy nhiên đứng trớc một bài toán “biến hình” không phải lúc nào

ng-ời học cũng dễ dàng nhận ra đợc phép biến hình cụ thể ngay cả đối với học sinh có học lực khá Vì vậy việc học sinh nắm đợc mỗi loại “ biến hình”, hiểu sâu sắc về phơng pháp, cách trình bày của mỗi dạng là hết sức quan trọng Để giúp ngời học

có đợc những định hớng ban đầu khi đứng trớc một bài toán “ biến hình”, bằng những gì bản thân tôi có đợc tôi xin đề xuất Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

1 Thực trạng

Hiện nay việc dạy và học các phép biến hình trong chơng trình phổ thông còn gặp không ít những khó khăn, ngời dạy, ngời học không phải lúc nào cũng nhận ra đợc phép biến hình cần đợc sử dụng trong mỗi trờng hợp cụ thể Học sinh còn lúng túng trớc những vấn đề đợc đa ra dới một hình thức khác, yếu tố sáng tạo, vận dụng linh hoạt ở các em còn nhiều hạn chế

Đề tài nghiên cứu trên cơ sở các phép biến hình đợc trình bày trong SGK Hình học lớp 10- Nhà xuất bản giáo dục

2 Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên

Từ thực trạng trên, để việc dạy và học về phép biến hình đạt hiệu quả tốt hơn, tôi xin mạnh dạn đề xuất nội dung ph ơng pháp nghiên cứu và ph ơng pháp dạy học các

phép biến hình ở tr òng phổ thông

B Giải quyết vấn đề Phơng pháp nghiên cứu và phơng pháp dạy học các phép

biến hình ở trờng phổ thông

1) Ph ơng pháp nghiên cứu

a) Nghiên cứu các phép biến đổi Aphin, các phép biến đổi trực giao trong hình học Aphin và hình học Ơclit để làm cơ sở soi sáng giáo trình hình học phổ thông về các phép biến hình, dời hình và đồng dạng

b) Các cách trình bày khác nhau chứng minh các định lý về các tính chất của phép dời hình và đồng dạng

c) Cách trình bày phép dời hình trong cơ sở hình học

Ví dụ: sự xác định phép dời hình có thể trình bày nhờ tích của các phép đối xứng trục ( SGK Hình học lớp 10)

Có thể chứng minh định lý về sự xác đinh phép dời hình nhờ phơng pháp khai triển một véctơ theo hai vectơ không cộng tuyến

Định lý: Nếu trong mặt phẳng cho hai bộ ba điểm không thẳng hàng A, B, C

và A’, B’, C’ sao cho : AB = A’B’ ; BC = B’C’; CA = C’A’ thì tồn tại duy nhất một phép dời hình biến A, B, C tơng ứng thành các điểm A’, B’, C’

Sự tồn tại phép dời hình đợc chứng minh nh sau:

Xét quy tắc f trong mặt phẳng chứa các điểm A, B, C, A’, B’, C’ nh sau:

f :A→A';f :B→B';f :C→C '

Điểm M trong mặt phẳng biến thành M’ sao cho: M’A’=MA; M’B’=MB; M’C’=MC

Rõ ràng điểm M đợc xác định là duy nhất, thuộc giao của ba đờng tròncó tâm lần lợt là A’ , B’, C’ bán kính tơng ứng là : MA, MB, MC ( hình vẽ)

Giả sử N là điểm tuỳ ỳ của mặt phẳng, ảnh tơng ứng của nó là N’ Cần chứng minh

MN = M’N’ Thậy vậy, do các vec tơ: AB,AC không cộng tuyếnuuur uuur , nên

1 1

AM x AB y AC;uuuur= uuur+ uuur tơng tự: AN x AB y ACuuur= 2uuur+ 2uuur, lập luận tơng tự đối với sự khai triển vectơ A'M'và A'N' theocácvéctơ A'B'và A'C'uuuuuur uuuuur uuuur uuuur

ta có hệ thức tơng tự: A'M' x 'A'B' y 'A'C ';uuuuuur= 1 uuuuur+ 1 uuuuur

A'N' x 'A'B' y 'A'C 'uuuuur= 2 uuuuur+ 2 uuuuur

vì các góc ãMAB M'A'B' và MAC M'A'C '=ã ã =ã suy ra sự bằng nhau cáu các hình bình hành AEMF và A’E’M’F’

từ đó suy ra x1 = x1’ và y1 = y1’, x2 = x2’, y2 = y2’

ta lại có: MN AN AM (xuuuur uuur uuuur= − = 2 −x )AB (y1 uuur+ 2 −y )AC1 uuur (1)

M'N' A'N' A'M' (xuuuuuur uuuuur uuuuuur= − = 2 −x )A'B' (y1 uuuuur+ 2 −y )A'C '1 uuuuur (2)

Từ các đẳng thức (1) và (2) suy ra:

ã

MN =(x −x ) AB +(y −y ) AC +2(x −x )(y −y )AB.AC.cosBAC (3)

ã

M'N' =(x −x ) A'B' +(y −y ) A'C' 2(x+ −x )(y −y )A'B'.A'C'.cosB'A'C ' (4)

Do ABC∆ = ∆A'B'C ' và từ các đẳng thức (3) và (4) suy ra :

MN2 = M’N’2⇔ MN = M’N’

Vạy f là phép dời hình

Bây giờ giả sử g là phép dời hình biến A B, C thành A’, B’, C’ khi đó g-1

biến A’, B’, C’ tơng ứng thành A, B, C Từ đó:

A

F E

A’

C’

F’

E’

g-1.f biến A, B, C thành A, B, C vậy g-1.f = e ⇔ f = g ( phép dời hình có

ba điểm bất động là phép đồng nhất)

2) Ph ơng pháp dạy học các phép biến hình

a) Phơng pháp dạy học các khái niệm biến hình, dời hình, vị tự, đồng dạng:

- Các con đờng quy nạp hình thành các khái niệm trên

Ví dụ 1: Từ khái niệm đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay đã xét trong SGK,

từ quy tắc dựng ảnh các phép trên cho học sinh biểu tợng về quan hệ 1-1 tập hợp các điểm của mặt phẳng lên chính nó và từ đó hình thành khái niệm về phép biến hình mặt phẳng

Ví dụ 2: Từ các tính chất bảo tồn khoảng cách của phép biến hình cụ thể trên, khái quát đi đến khái niệm phép dời hình

- Cấu trúc các định nghĩa trên là cấu trúc hội

- Nêu các phản ví dụ: Chẳng hạn phép chiếu vuông góc biến các điểm của đ-ờng tròn thành hình chiếu vuông góc lên một đđ-ờng kính không là quan hệ 1-1 ( song ánh) nên không phải là phép biến hình

- Hoạt động nhận dạng, thể hiện:

Thông qua các mô hình nh hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, đoạn thẳng, đờng thẳng, đờng tròn, xét các tâm đối xứng, trục đối xứng, dựng ảnh qua tích các phép biến hình

b) Phơng pháp dạy học các tính chất của phép biến hình cụ thể:

Trớc hết cần chỉ rõ các tính chất chung của phép dời Đặc biệt các tính chất

đặc thù cho từng phép dời hình cụ thể Chẳng hạn;

- Qua Qα(O) đờng thẳng ảnh và tạo ảnh tạo thành góc định hớng bằng góc quay

- Qua phép tịnh tiến mọi phơng đều bất biến

- Qua phép vị tự mọi phơng bất biến.v.v…

Nắm vững các tính chất đặc thù là cơ sở định hớng cho việc tìm tòi lời giải sau này bằng cách sử dụng các phép biến hình cụ thể

c) Vạch rõ khả năng của từng phép biến hình cụ thể để giải các dạng toán kèm theo hệ thống các bài tập với cách sắp xếp s phạm rèn luyện kỹ năng vận dụng các phép biến hình Từ đó khắc sâu phơng pháp sử dụng các phép biến hình để giải các bài toán

d) để thực hiện lời giải bài toán bằng cách sử dụng biến hình cần chú trọng các bớc chuẩn bị cơ bản, đặc biệt là quan tâm đến các kỹ năng sau:

- Kỹ năng dựng ảnh của các hình qua phép biến hình cụ thể: ảnh của điểm,

đờng thẳng, đoạn thẳng, tam giác, đờng tròn …

- Kỹ năng dịch từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ của các phép biến hình cụ thể:

Ví dụ: Tam giác ABC đều

Chuyển dịch qua ngôn ngữ phép quay là:

Tồn tại phép quay 600

A

Q biến B thành C hoặc C thành B chiều quay phụ thuộc vào thứ tự các đỉnh

Tồn tại phép quay 1200

O

Q biến A thành B, B thành C, C thành A

Chẳng hạn cho tam giác ABC đều Các điểm M, N, P lần lợt thuộc các cạnh AB,

BC, CA sao cho AM = BN = CP CMR tam giác MNP đều

Để giải bài toán này ta sử dụng cách dịch thứ hai

e) Một số định hớng cơ bản và quy trình cơ bản để giải các bài toán bằng phơng pháp biến hình

1 Các định hớng cơ bản:

1.1 Xây dựng hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng dựng ảnh của các hình qua phép biến hình cụ thể; thông qua các kỹ năng đó làm cho học sinh nắm vững các bất biến của phép biến hình

1.2 Luyện tập cho học sinh kỹ năng xác định bài toán ngợc của bài toán trên Cho trớc hai hình xác định phép biến hình biến hình này thành hình kia Giải các bài toán trên cần thiết cho việc định hớng lựa chọn phép biến hình này nọ

để giải bài toán đã cho

Ví dụ: Sau khi giải bài toán: “ Cho hai đờng tròn tiếp xúc trong, xác định các phép vị tự biến đờng tròn này thành đờng tròn kia”, đề xuất học sinh giải bài toán:

Cho đờng tròn (O) và (O1) tiếp xúc trong tại I Một tiếp tuyến của (O) tại K cắt (O1) tại M, N CMR : ãMIK =NIKã

Giải:

MIK =NIK ⇔ ẳMK ' NK '=ẳ

Do hai đờng tròn (O) và (O1) tiếp xúc trong với nhau tại I nên tồn tại

phép vị tự RR1

I

V biến tiếp tuyến MN của (O) thành tiếp tuyến K’x của (O1)

và K’x // MN

Từ đó suy ra ẳMK ' NK '=ẳ

Chú ý 1: Để hỗ trợ cho định hớng thứ hai đã vạch ra ở trên khi dạy học các

phép biến hình cụ thể cần quan tâm cách cho khác nhau của phép biến hình đó Chẳng hạn : Cho phép quay QαO đợc cho bởi hoặc tâm và góc quay hoặc hai cặp

điểm tơng ứng ( sao cho các trung trực của các đoạn thẳng nối cặp điểm đó cắt nhau)

N

K x

Phép đối xứng trục đợc cho bởi: hoặc trục hoặc cặp điểm tơng ứng.

Phép tịnh tiến T cho bởi vv r r

hoặc cặp điểm tơng ứng

Chú ý 2: Nếu cần chứng minh hai đoạn thẳng tơng ứng bằng nhau khác

ph-ơng thờng sử dụng phép quay, đối xứng trục

Nếu cần chứng minh hai đoạn thẳng tơng ứng bằng nhau cùng phơng thờng

sử dụng phép đối xứng tâm hoặc tịnh tiến

Chú ý 3: Nếu hai đoạn thẳng bất kỳ bằng nhau thì hoặc có tích của một

phép tịnh tiến với phép quay biến đoạn thứ nhất thành đoạn thứ hai hoặc tích của một phép đối xứng trục và tịnh tiến theo véc tơ song song với trục biến đoạn thứ nhất thành đoạn thứ hai

Chú ý 3 nhằm trách nhầm lẫn cứ hai đoạn thẳng bất kỳ bằng nhau, khác

ph-ơng đều xác định phép quay biến đoạn này thành đoạn khác Vì khi trung trực của hai đoạn thẳng cắt nhau tại điểm O cha đủ điều kiện xác định phép quay Để xác

định phép quay cần thiết phải có các góc định hớng bằng nhau Chẳng hạn: AB = A’B’,

AA’ không song song BB’ khi đó các đờng trung trực của AA’, BB’ cắt nhau tại O Tuy nhiên không thể khẳng định (OA,OA’) = (OB,OB’)

Ví dụ 1: Trên các cạnh AB, AC của tam giác ABC dựng các tam giác đều ABM và CAN, trong đó ∆ABM sắp xếp bên ngoài ∆ABC, còn ∆CAN nằm về một phía với ∆ABC đối với đờng thẳng AC CMR: MN = BC

Thực hiện phép quay 600

A

Q− khi đó:

Q: B→M

Q: C→N

Từ đó suy ra

Q: BC→MN

Suy ra BC = MN

A

B

C N

M

Ví dụ 2: Cho đờng tròn tâm O bán kính R AB là dây cung cố định của đờng tròn M là điểm di động trên cung ẳAmB của đờng tròn (O) Tìm tập hợp trực tâm

H của ∆AMB

Giải:

Khi M di động trên cung ẳAmB , MH luôn vuông

góc với AB, vậy phơng của đờng thẳng MH

không đổi luôn vuông góc với AB cố định

Điều đó định hớng giải bài toán nhờ

phép tịnh tiến hay phép vị tự

Vì qua phép đó mọi phơng đều bất biến

Thật vậy, Giả sử A1 là điểm đối xứng của A qua tâm O khi đó

A1B⊥AB , A1M ⊥ MA Hay tứ giác MA1BH là hình bình hành Từ đó: MH A B vuuuur uuuur r= 1 = (cho trước)

Vậy {H} là ảnh của {M} qua phép tịnh tiến Tv r

Ví dụ 3:

Cho hai đờng tròn (O1), (O2) và đờng thẳng l Dựng đờng thẳng d // l sao cho

d cắt (O1), (O2) theo hai dây cung bằng nhau

Giải:

Giả sử dựng đợc đờng thẳng d

thoả mãn yêu cầu bài toán (Hình vẽ)

AB = CD Do d//l ⇒ phơng đờng thẳng

d đợc xác định Từ đó định hớng

sử dụng phép tịnh tiến

Từ O1 và O2 dựng O1H1 và O2H2

vuông góc với d, cắt l tại I và J và O O ' H Huuuuuur uuuuur ur1 1 = 1 2=IJ

M

1

H

l

A

O1

O2

O1’

Trong đó O1’ là ảnh của O1 qua TIJur

Từ đó suy ra cách dựng:

Dựng (O1’) là ảnh của O1 qua TIJur, dựng giao của (O1’) và (O2) là C và D

Dựng đờng thẳng d qua C và D

1.3 Định hớng cơ bản của bài toán tìm tập hợp điểm và bài toán dựng hình nh sau:

a) Để tìm tập hợp điểm M(α) quy về xét tập hợp điểm N(β) đã biết quỹ

đạo của nó, trong đó M(α) là ảnh N(β) qua một phép biến hình nào đó xác định, phép cụ thể nào phụ thuộc vào các bất biến đối với các bài toán đã cho

b) Để dựng hình H theo các điều kiện đã cho xác định nó, quy về dựng một

số điểm xác định H.Để dựng M∈ H quy về việc thiết lập liên hệ M và M’; trong

đó M’ là ảnh của M qua phép biến hình f nào đó và M’ có thể dễ dàng dựng đợc

Ví dụ 1: Dựng ∆ABC biết AB = c , AC = b, và đờng trung tuyến vẽ từ A chia góc ãBAC thành hai phần sao cho ãBAM 2MAC= ã , trong đó b, c là độ dài cho trớc, M là trung điểm cạnh BC

Giải:

giả sử ∆ABC đã dựng đợc thoả mãn

các điều kiện đã nêu Hai điểm A, C dễ dàng

dựng đợc vì AC = b

Điểm B cần dựng đã biết cách A

một khoảng bằng c Trực tiếp xác lập điều kiện

thứ hai của b khó có thể thực hiện đợc bằng phơng pháp

tổng hợp bình thờng, giả sử B’ là ảnh của B qua phép đối xứng trục AM

Từ ∆BAB’ cân suy ra: ãCAB' 1MABã

2

=

A

B

M

C B’

I

Do IM là đờng trung bình của ∆BB’C, suy ra : CB’//IM ( I BB' AM= ∩ ) và ∆AB’C

cân ∆AB’C đã biết 3 cạnh nên điểm B’ dựng đợc

Từ đó B đợc dựng theo cách sau:

- Dựng ∆AB’C biết: AC = b, AB’ = B’C = c

- Dựng đờng thẳng ∆ qua A song song B’C

- Dựng B đối xứng với B’ qua ∆

Ví dụ 2: Trên đờng tròn (O) cho điểm A cố định và một điểm M di động Gọi I là trung điểm của AM

a) Tìm tập hợp trung điểm E của AI

b) Tìm tập hợp đỉnh F của hình bình hành AOIF

Giải:

a) Từ giả thiết ta suy ra:

uuur

uuur uuuur uuuur

( E là ảnh của M qua 14

A

V )

Từ đó {E} là ảnh của (O) qua 14

A

V

Đó là đờng tròn (O’) tiếp xúc trong với (O)

b) Do O, E, F thẳng hàng và theo câu a) quỹ tích E là một đờng tròn (O’)

ảnh của (O) qua 14

A

V Từ đó {F} là đờng tròn ảnh của (O’) qua V (OF 2OEA2 uuur= uuur) 1.4 Nắm vững các hình có tâm đối xứng, trục đối xứng, các phép quay cùng tâm biến đa giác đều thành chính nó, các phép quay cùng trục biến đa diện đều thành chính nó

Đặc biệt các hình cơ bản có tâm đối xứng nh: đoạn thẳng, hình bình hành, hình hộp, đờng tròn…

M

O I

F A

E

Các hình có trục đối xứng: đoạn thẳng, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình lập phơng, cặp đờng thẳng chéo nhau, đờng tròn, góc giữa hai tia, tam giác cân, …

Học sinh cần biết xác định tâm đối xứng, trục đối xứng, tâm quay biến các hình cơ bản trên thành chính nó Điều đó có íc cho việc lựa chọn các phép biến hình giải các bài toán

Ví dụ 1: Cho góc ãxOy và điểm I nằm trong góc đó Dựng qua I cát tuyến AB , A Ox, B Oy∈ ∈ sao cho AB nhận I làm trung điểm

a) Nếu xem đoạn thẳng cần dựng AB có

tâm đối xứng là trung điểm I thì việc dựng AB

quy về dựng giao Ox với O’y’- là ảnh của Oy

qua phép đối xứng tâm I ( Hình A)

b) Nếu xem I là giao điểm của

hai đờng chéo hình bình hành thì việc

dựng AB quy về dựng ảnh O’ coả O

qua phép đối xứng tâm I và dựng các

đờng thẳng song song lần lợt

với Oy, Ox qua O’.(Hình B)

Ví dụ 2: Tứ giác lồi ABCD có các đờng chéo cắt nhau tại O và chu vi các tam giác: ∆OAB ∆OBC, và ∆ODA bằng nhau CMR tứ giác đó là hình thoi

Để chứng minh ABCD là hình thoi

trớc hết ta chứng minh ABCD là hình bình hành,

nhờ sử dụng phơng pháp phản chứng

và phép đối xứng qua tâm O

O

O’

I x

y

A

B Hình B

O

x

y

y’

A

B Hình A

C D

O

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD Các điểm M, N lần lợt thuộc các cạnh AB,

BC sao cho AM = BN CMR: CM ⊥DN

Giải bài toán trên ta sử dụng các mệnh đề sau:

- Qua phép quay QαO góc định hớng giữa đờng thẳng ảnh và tạo ảnh bằng góc quay

- Phép quay 900

O

Q biến hình vuông ABCD thành chính nó Khi đó AB là ảnh của BC

và do bảo tồn tỷ số các đoạn thẳng trên nên

0

90

O

Q : M→N

0

90

O

Q : C→D

hay 900

O

Q : CM→DN ⇒ CM ⊥ DN

• Quy trình cơ bản giải các bài toán hình học bằng phơng pháp

biến hình

Ta hiểu quy trình cơ bản là quy trình chung cho việc giải lớp các bài toán

Bản thân quy trình cơ bản là một quy trình đặc trng bởi:

+) Dãy hữu hạn các bớc sắp xếp theo trình tự xác định

+) Một bớc là một hoạt động thao tác sơ cấp nhằm mục đích cụ thể

+) Sau khi thực hiện xong thì có kết quả

Quy trình cơ bản giải bài toán có nội dung tổng hợp:

1) Xác định các bất biến của phép biến hình từ điều kiện đã cho và kết luận của bài toán

2) Lựa chọn phép biến hình thích hợp cho lời giải bài toán

3) Dịch từ ngôn ngữ bài toán sang ngôn ngữ phép biến hình đã chọn

C D

N M

O