ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THÀNH NGHĨA VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH ĐẾM ĐƯỢC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯ
Trang 1ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHAN THÀNH NGHĨA
VỀ MÔĐUN XẠ ẢNH ĐẾM ĐƯỢC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60460104
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS TS LÊ VĂN THUYẾT
Thừa Thiên Huế, năm 2018
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nào khác
PHAN THÀNH NGHĨA
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo GS TS Lê Văn Thuyết, người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này, người đã truyền cho tôi niềm đam mê khoa học, đã tận tình dạy bảo, hướng dẫn và động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu của mình
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ở Đại học Huế
và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt khóa học
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị lớp Cao học Toán khóa XXV trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, vì sự động viên, giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua
Ngày 15 tháng 9 năm 2018 Học viên thực hiện
Phan Thành Nghĩa
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 4Mục lục
1 Một số kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Môđun tự do 5
1.2 Linh hóa tử 6
1.3 Môđun đếm được sinh, môđun đơn và nửa đơn 7
1.4 Môđun xạ ảnh - bao xạ ảnh, môđun nội xạ - bao nội xạ 10
1.5 Vành chính quy, môđun Artin và Nơte, níu và buông 13
2 Về môđun xạ ảnh đếm được 19
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 5BẢNG KÝ HIỆU
Ký hiệu : Nghĩa của ký hiệu
RM : môđun trái trên vành R
MR : môđun phải trên vành R
A ⊆ B : A là tập con của B
A ⊂ B : A là tập con thực sự của B
A ≤ M : A là môđun con của M
A < M : A là môđun con thực sự của M
A ≤e M : A là môđun con cốt yếu của M
A ≤max M : A là môđun con cưc đại của M
Z(M ) : môđun con suy biến của M
A ⊕ B : tổng trực tiếp của hai môđun A và B
A ⊗ B : tích tensor của hai môđun A và B
A ∼= B : A đẳng cấu với B
HomR(A, B) : nhóm các đồng cấu giữa các R -môđun A và B annR(X) : linh hóa tử của X trong R
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 6LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết vành nói chung và lý thuyết vành kết hợp nói riêng đã xuất hiện khoảng 120 năm nay và đang được các nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu Để nghiên cứu cấu trúc vành, chúng ta có thể đi theo hai hướng chính Hướng thứ nhất là nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điều kiện bên trong (tức là nghiên cứu các iđêan, đồng cấu, ) và hướng thứ hai là đặc trưng vành bằng các điều kiện bên ngoài (nghiên cứu các môđun trên chúng)
Lý thuyết vành và môđun đóng một vai trò quan trọng trong đại số kết hợp Do đó, việc nghiên cứu cấu trúc vành và môđun là bài toán cơ bản và quan trọng của Đại số, đặc biệt là lớp các môđun nội xạ, xạ ảnh trên các vành
Lớp các môđun xạ ảnh cùng với lớp các môđun nội xạ có vai trò quan trọng trong nghiên cứu vành và môđun Từ trước đến nay các lớp môđun này vẫn là những đối tượng truyền thống được nhiều người nghiên cứu Các kết quả tìm thấy được sử dụng để mô tả cấu trúc nhiều lớp vành quan trọng như là vành noether, vành nửa đơn, vành hoàn chỉnh, Từ nửa cuối thế kỉ XX, nhiều người nghiên cứu vành và môđun đã tìm cách mở rộng các lớp môđun này để phục vụ cho việc nghiên cứu các thuộc tính của vành
Môđun xạ ảnh được giới thiệu lần đầu tiên năm 1956 trong cuốn sách đại số đồng điều năm 1956 của Henri Cartan và Samuel Eilenberg Nhắc lại rằng một R-môđun F được gọi là tự do nếu F có một cơ sở Một R-môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu R-môđun g: B → C và với mọi đồng cấu R-môđun f : P → C tồn tại đồng cấu h : P → B sao cho f = g ◦ h Rõ ràng R
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 7cấu R-môđun f : P → N , tồn tại một đồng cấu h : P → M sao cho g ◦ h = f Bên cạnh đó, vào năm 2012 trong bài báo "Generalizations of Injective Modules" của E S Campos và F Smith các tác giả đã mở rộng lớp các môđun nội xạ từ tiêu chuẩn Baer như sau: Một R-môđun M được gọi là C-nội xạ nếu với mọi iđêan phải đếm được sinh C bất kỳ của R, mọi R-đồng cấu từ C đến M có thể
mở rộng thành từ R đến M Lấy ý tưởng của E S Campos, F Smith và Y C Ming chúng tôi định nghĩa môđun xạ ảnh đếm được như sau: một R-môđun P được gọi là xạ ảnh đếm được nếu với mọi M , N là R-môđun đếm được sinh, toàn cấu g : M → N và đồng cấu R-môđun f : P → N , tồn tại một đồng cấu
h : P → M sao cho g ◦ h = f
Từ đây, có thể thấy rằng môđun xạ ảnh đếm được là mở rộng của môđun
xạ ảnh từ định nghĩa Với mong muốn được nghiên cứu về môđun xạ ảnh đếm được, mối quan hệ giữa môđun xạ ảnh đếm được với các vành và môđun liên quan và được sự định hướng của thầy giáo GS.TS Lê Văn Thuyết, tôi đã chọn
đề tài "Về môđun xạ ảnh đếm được" để tiến hành nghiên cứu
Nội dung của luận văn được chia làm 2 chương Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của đại số để hổ trợ cho chương 2 Nội dung chương 2, chúng tôi trình bày về môđun xạ ảnh đếm được thông qua việc khảo sát tính chất môđun xạ ảnh đếm được (Mệnh đề 2.1.5), mối quan hệ giữa môđun
xạ ảnh đếm được cyclic và môđun xạ ảnh đối với vành R bất kỳ (Mệnh đề 2.2.2)
và mối quan hệ giữa môđun C-xạ ảnh và môđun xạ ảnh đối với đối với trường hợp vành R là vành VNR (Mệnh đề 2.2.4) Cuối cùng là các lớp vành liên quan đến môđun xạ ảnh đếm được như vành di truyền (Định lý 2.3.10), vành Artin nửa đơn (Định lý 2.3.17), vành chính quy tự nội xạ (Định lý 2.3.18)
Do hạn chế về mặt thời gian và kiến thức nên luận văn không tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn
Huế, tháng 9 năm 2018
Phan Thành Nghĩa
Demo Version - Select.Pdf SDK