tài liệu chuyên đề góc ở tâm hình học 9 chương 3 Tài Liệu được phân loại và chi dạng cụ thể chi tiết tài liệu giải chi tiết cùng các bài tập tương tự Tài liệu rất hay cần thiết cho các e học sinh lớp 9 ôn thi vào 10 t
Trang 1CHƯƠNG III: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1: Góc ở tâm, số đo cung
A Lý thuyết
1 Góc ở tâm
Định nghĩa: Góc có đỉnh ở tâm đường tròn gọi là góc ở tâm
2 Số đo cung
Định nghĩa
Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ ( có chung 2 đầu mút với cung lớn )
Số đo của nửa đường tròn bằng 1800
Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ »AB
Chú ý:
- Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 1800
- Cung lớn có số đo lớn hơn 1800
- Khi hai đầu mút của cung trùng nhau, ta có “ Cung không” với số đo 00 và cung cả đường tròn có số đo 3600
3 So sánh 2 cung
Ta chỉ so sánh hai cung trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau Khi đó:
+ Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau
+ Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn
4 Khi nào thì sđ »AB = sđ»AC+ sđ »CB
Nếu điểm C là điểm nằm giữa cung AB thì sđ »AB = sđ»AC+ sđ
»CB
Trang 2B Bài tập
Bài 1: Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB R= 2 Tính số đo của hai cung AB
Bài 2: Cho đường tròn (O;R) và dây cung MN R= 3 Tính số đo của hai dây cung MN
Bài 3: Trên đường tròn (O; R) lấy ba điểm A, B, C sao cho dây cung AB = R,
2
BC R= và tia BO nằm giữa hai tia BA và BC Tính số đo các cung nhỏ AB, BC
và AC
Bài 4: Hai tiếp tuyến tại B và C của nửa đường tròn (O; R) cắt nhau tại A Biết OA R= 2 Tính số đo của cung BC
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O; R) có µB=30o So sánh các cung nhỏ AB, AC và BC
Bài 6: Trên dây cung AB của đường tròn (O) lấy hai điểm H và K sao cho
AH HK KB= = Vẽ bán kính OD qua H và bán kính OC qua K Chứng minh rằng: a) ¼AD BC= » b) AD DC¼ < ¼
Bài 7: Cho đường tròn (O;R) Vẽ hai dây cung AB R= 2 và AD = R sao cho tia AO nằm giữa hai tia AB và AD Vẽ dây BC song song với AD Vẽ dây BC song song với AD.
a) Từ giác ABCD là hình gì ? Vì sao ?
b) Tiếp tuyến tại B và tại C của ( O ) cắt nhau tại M Chứng minh rằng tam giác MBC đều
Bài 8: j
Bài 9: g
Bài 10: g
C HƯỚNG DẪN GIẢI
1 AB2=OA2+OB2⇒ ∆AOBvuông tại O ⇒ ·AOB=90o
Do đó: sđ»AB= sđ·AOB=90o sđ»AB lớn = 360o− sđAB» =360 90o− o=270o
Trang 32 Kẻ OH ⊥MN tại H.⇒HM HN=
Ta có: ·
3 3 2
2
R MH cosHMO
Nên HMO· =30o⇒MON· =120o
Sđ¼MN =sđMON· =120o
sđMN¼ lớn = 360o− sđMN¼ =360 120o− o=240o
3 ∆AOBđều⇒ ·AOB=60o
BOC
∆ vuông cân tại O⇒ ·BOC=90o
Sđ»AB=sđ·AOB=60o
Sđ»BC=sđBOC· =120o
Sđ»AC=sđ»AB+ sđBC» =60 120o+ o=180o
4 Hai tiếp tuyến tại B và C của nửa đường tròn (O; R) cắt nhau tại A Biết
2
OA R= Tính số đo của cung BC
Giải
sin
2
OAB
OAB
AOB
∆ vuông cân tại B nên BOA· =45o
BOC
sđ»BC= sđBOC· =90o
5 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O; R)
có Bµ =30o So sánh các cung nhỏ AB, AC và BC
Giải
Ta có tam giác ABC cân tại A (gt) ⇒ =B Cµ µ
Trang 4∆ cóA B Cµ + + = µ µ 180o
Hay µA+30o+30o=180o⇒ =Aµ 120o
ABC
∆ cóB C Aµ = < µ µ (vì 30o= 30o< 120o)
AC AB BC AC AB BC
⇒ = < ⇒ = <
6 Trên dây cung AB của đường tròn (O) lấy hai điểm H và K sao
cho AH HK KB= = Vẽ bán kính OD qua H và bán kính OC qua K
Chứng minh rằng:
a) ¼AD BC= » b) AD DC¼ < ¼
Giải
a) Tam giác AOB cân tại O ⇒OAH OBK· = ·
Do đó ∆OAH= ∆OBK c gc( . )
AOH BOK AD BC
b) Vẽ đường kính AE của đường tròn (O)
AOH OEK HOK OKE= = và∆OEK có OK OE< ⇒HOK AOH· > · ⇒DC AD¼ > ¼
7 Cho tam giác ABC cân tại A với góc A nhọn Đường tròn (O) có đường kính BC
cắt AB và AC lần lượt tại M và N Chứng minh rằng:
Giải
a) Ta có BC là đường kính của đường tròn (O) nên
BMC BNC= =
∆ = ∆ (cạnh huyền – góc nhọn)
BN CM
b) Ta có BN CM= (chứng minh trên) nên sđ»BN = sđCM¼
⇒sđBM¼ + sđ¼MN= sđCN» + sđ¼MN hay sđBM¼ = sđCN»
Trang 58 Cho đường tròn (O;R) Vẽ hai dây cung AB R= 2 và AD = R sao cho tia AO nằm giữa hai tia AB và AD Vẽ dây BC song song với AD Vẽ dây BC song song với AD.
a) Từ giác ABCD là hình gì ? Vì sao ?
b) Tiếp tuyến tại B và tại C của ( O ) cắt nhau tại M Chứng minh rằng tam giác MBC
đều
Giải
a) ∆OAD đều ⇒OAD· = 60 o
AOB
∆ vuông cân tại O ⇒AOB· = 90 o
sđ»BD = sđ»AB + sđ ¼AD
và sđ»AC = sđDC¼ + sđ»AB
mà AB DC» = ¼ ( vì BD//AC)
⇒ sđ»BD= sđ»AC ⇒ »BD= »AC ⇒BD = AC.
b) BOC· =120o ; OBM· BC22 AC 90 ,
AD BD
= = = o MB = MC
BÀI TẬP NÂNG CAO
9 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2cm, dựng dây CD song song AB ( C thuộc cung AD) Tính độ dài các cạnh của hình thang ABCD, biết chu vi của nó bằng 5cm
Giải
Do CD//AB ⇒»AC BD=» ⇒AC BD=
Đặt AC = x⇒ CD = 3 – 2x
∆ = ∆ ( cạnh huyền – góc nhọn)
⇒AK = HB ⇒ OK = OH ⇒HB = AK =2x2−1
Lại có : BD2 =HB AB = 2x− ⇒ 1 x2 = 2x− 1
Vậy AC = BD = CD =1(cm)
10 Cho nửa đường tròn tâm ( O) đường kính 20 cm, C là điểm chính giữa của của nửa đường tròn Lấy điểm H thuộc OA sao cho OH = 6 cm đường vuông góc với OA tại H cắt nửa đường tròn tại D Vẽ dây AE song song với CD Gọi K là hình chiếu của E trên
AB Tính diện tích tam giác AEK
Trang 6DC//AE ⇒¼AD CE= » ⇒O¶1=O¶2
OC//EK nên O¶2=Eµ ( so le trong ) ⇒O¶1=Eµ
⇒ ∆HOD= ∆KEO ( cạnh huyền – góc nhọn )
OK DH
⇒ = và EK OH= = 6(cm)
Mà DH2 =AH HB. =4.16=64⇒ DH OK= =8 (cm)
2
AEK
AK EK
11 Gọi M là điểm chính giữa cung AB của đường tròn (O; R) kẻ dây MC cắt dây AB tại D
a) Dựng đường tròn tâm I đi qua C và tiếp xúc với AB tại D
b) Chứng minh (I) tiếp xúc trong với đường tròn (O)
Giải
a) Dựng đường thẳng a vuông góc AB tại D
Dựng đường thẳng b là trung trực CD
Gọi I là giao điểm của a và b khi đó ( I; ID)
Là đường tròn cần dựng
Chứng minh ( dành cho bạn đọc)
b) DCO M D· =¶ 1;¶1=DCI·
MA MB= ⇒OM ⊥AB mà ID AB⊥
/ /
ID OM
⇒
OI = R-r nên (I) và (O) tiếp xúc trong tại C
Trang 712 Cho tam giác DEF có Dµ =75o vẽ đường FH bằng cạnh DE Tính số đo góc ·DEF
Giải
Dựng M là điểm đối xứng với F qua DE
Dựng đường tròn ngoại tiếp ∆MDF
FDM = o = o
Ta chứng minh được sđ¼MD F' = 300 o
⇒ sđ MDF¼ =60o Do MF = 2HF = DE
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF
.
O DE
⇒ ∈ Lại có : OM = OF ; MOF· =60o
Nên tam giác OMF đều
·
OD MF DE E O DEF
⇒ = = ⇒ ≡ ⇒ = o
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN
13 a) Lấy cạnh BC của tam giác ABC làm đường kính , vẽ nữa đường tròn của miền ngoài tam giác Trên nửa đường tròn này lấy hai điểm K, L chia nửa đường tròn thành
ba cung bằng nhau : BK KL LC» = » = » Chứng minh rằng các đường thẳng AK và AL chia đoạn thẳng BC thành ba phần bằng nhau
( Đế thi chọn học bổng của Quận 9, tháng 11, năm 2001 – 2002)
b) Cho trước một góc bằng 19 o Hãy dùng compa để vẽ một góc bằng 1 o
( Đề thi vô địch toán cấp II – Liên Xô).
Giải
Sđ»LC=60o ⇒COL· =60o ⇒ ∆COL đều
OCL
( )
ABE LCE g g
∆ : ∆
BC = BE + EC =3CE
Lập luận tương tự ta có : BC = 3BD
BD DE EC
Trang 8b) Vẽ một đường tròn có tâm
trùng với đỉnh của góc đã cho
Sau đó dựng trên đường tròn
liên tiếp 19 cung bằng nhau
mỗi cung đều bằng 19 o
ta được 19 o.19 = 361 o ⇒ = 1 (361 360 ) o o − o
Trang 9PHẦN HÌNH HỌC
Chương III GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Đời cha cho chí đời con Đẽo vuông rồi lại đẽo tròn mới
xong (Ca dao)
Hình 6
Bài 1 GÓC Ở TÂM, SỐ ĐO CUNG
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường
tròn
2 Nếu ·AOB= α (h.7) thì sđ¼AmB= α
sđ¼ 360o
AnB= − α
3 Số đo của nửa đường tròn bằng 180o
4 Nếu C là một điểm nằm trên cungABthì sđ AB sđ AC sđCB» = » + »
E BÀI TẬP
Trang 10ĐỀ BÀI
Bài 1:
Cho tam giác ABC có µA=65o Đường tròn ( )O nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB AC, theo thứ tự ở D E, Tính số đo cung nhỏ DE
Bài 2:
Cho đường tròn (O R; )và điểm A có OA R= Kẻ các tiếp tuyến AB AC, với đường tròn Tính số đo cung lớn BC
Bài 3:
Cho đường tròn( )O , bán kính OA DâyBC vuông góc với OA tại trung điểm H của OA Tính tỉ số giữa số đo của cung lớn BCvới số
đo của cung nhỏ
Bài 4:
Cho đường tròn( )O , cungAB có số đo 100o Vẽ đường kính AOC Tính số đo gócACB
Bài 5:
Cho đường tròn (O R; ), các dây AB, CD, EFcó độ dài theo thứ tự bằng R, R 2, R 3 Tính số đo các cung nhỏAB, CD, EF
Mức độ nâng cao
Bài 6:
Tính góc tạo bởi kim phút và kim giờ của đồng hồ lúc 4 giờ 30 phút
Bài 7:
Tính số đo cung BC tiếp giáp giữa dây kéo và ròng rọc (h.12), biết rằng lực P tạo với trục thẳng đứng một góc bằng 30o
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN
Trang 11Bài 1:
(h.122) µ 60o
A= nên · 115o
DOE= Suy ra ¶ 115o
sđ DE=
Hình 122 Hình 123
Bài 2:
(h.123) ·AOB= 60 ,o ·BOC= 120o, · 240o
sđ BmC=
Bài 3:
Tam giác vuông BOH có 1
2
OH = OBnên ·BOH =60ο
Suy ra BOC· =120ο Ta có sđ BmC sđ BAC· : · =240 :120o ο =2
Hình 124 Hình 125
Bài 4:
Trang 12(h.124) sđ AB» =100onên ·AOB=100ο Tam giác OBC cân tại O nên
µ · 1· 1.100 50
C OBC= = AOB= ο = ο
Bài 5:
» 60o
sđ AB= , » 90o
sđCD= , »F 120o
sđ E =
Bài 6:
45 ο
Bài 7:
(h.126 a) Kẻ BH ⊥Ax Ta có ·ABH =60οnên OBH· =60ο +90ο =150ο
Suy ra BOC· =150ο Do đó sđ BC» =150o