skkn PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU

skkn PHÂN LOẠI và PHƯƠNG PHÁP tìm cực TRỊ bài TOÁN điện XOAY CHIỀU THAM KHẢO

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ

TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU

MÔN VẬT LÍ

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1.1 Thực trạng của vấn đề

Việc thay đổi hình thức thi môn vật lý của Bộ GD&ĐT từ tự luận sang trắc nghiệm khách quan đã bộc lộ những ưu điểm mà tôi thấy rất thiết thực là: Nội dung thi bao quát cả chương trình, tránh được tình trạng học tủ như trước đây và

từ đó có thể đánh giá trình độ học sinh một cách toàn diện Ngoài ra việc chấm bài thi trắc nghiệm được thực hiện nhanh chóng, khách quan nhờ sự hỗ trợ của công nghệ thông tin

Tuy nhiên để làm tốt bài thi trắc nghiệm đòi hỏi người học phải ghi nhớ đầy đủ kiến thức trọng tâm, biết cách vận dụng linh hoạt, sáng tạo và nhanh nhạy trong phán đoán nhận dạng cũng như trong tính toán mới có thể đạt được kết quả cao

Điện xoay chiều là một phần quan trọng trong chương trình vật lí lớp 12

và chiếm tỉ trọng lớn trong đề thi của các kì thi Quốc gia hiện hành, và đây cũng

là một phần có lượng kiến thức lớn và khó đối với nhiều học sinh THPT Với lí

do đó, tôi chọn nghiên cứu đề tài: “BÀI TOÁN CỰC TRỊ” nhằm trang bị cho các em học sinh những kiến thức cơ bản, giúp các em có thể nhanh chóng định hình những kiến thức cần áp dụng để giải các bài tập trắc nghiệm phần điện xoay chiều một cách nhanh chóng và tránh được những nhầm lẫn

1.2 Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu

1.2.1 Nhiệm vụ

Đề tài nêu ra phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến cực trị trong phần điện xoay chiều, từ đó giúp học sinh hình thành phương pháp luận căn bản để giải quyết các vấn đề khi gặp phải, đồng thời từ đó cũng giúp cho các em có thể phân biệt được, áp dụng được các điều kiện cụ thể trong từng bài tập Bên cạnh

đó, trên cơ sở những kết quả đã nghiên cứu, các kiến thức được phân loại trong từng trường hợp vận dụng giúp học sinh ghi nhớ và áp dụng một cách nhanh chóng.

1.2.2 Phương pháp

- Vận dụng những kiến thức toán học để tìm cực trị, như:

+ Tính chất của phân thức đại số

+ Tính chất của các hàm số lượng giác

- Nghiên cứu về bài toán cực trị trong điện xoay chiều và một số trường hợp vận dụng

, trong điều kiện A là hằng số dương, thì phân số

P đạt giá trị lớn nhất nếu mẫu số B nhỏ nhất.

2.1.2 Tính chất của các hàm số lượng giác

Đối với các hàm số lượng giác :

+ y = sinx thì ymax = 1 khi x = π/2 + k π (k∈Z)

+ y = cosx thì ymax = 1 khi x = kπ (k∈Z)

2.1.3 Bất đẳng thức Cô-si

Với hai số thực dương a,b thì ta luôn có : a + b ≥ 2 ab

Điều kiện để đẳng thức xảy ra là: a = b, và nếu ab không đổi thì khi đó tổng (a + b) bé nhất

2.1.4 Tính chất đạo hàm của hàm số

Xét hàm số y = f(x); (x ∈ R) có đạo hàm tại x = x o và liên tục trong khoảng

chứa x o Nếu hàm số đạt cực trị tại x = xo thì f’(x o) = 0

Và : + Nếu f’’(x o) > 0 thì xo là điểm cực tiểu

+ Nếu f’’(x o) < 0 thì xo là điểm cực đại

2.2 Những trường hợp vận dụng cụ thể

2.2.1 Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu điện thế hai đầu ổn định :u U= 0 cos( ω ϕt+ u)

R là một biến trở, các giá trị R0, L và C không đổi

a Có hai giá trị R 1≠ R 2 cho cùng một giá trị công suất

- Công suất tiêu thụ trên mạch là :

2 2

- Vì P1 = P2 = P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một

số không đổi ứng với hai giá trị R1 và R2 Khai triển biểu thức trên ta có:

- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R1 và R2 khác nhau cho cùng giá trị công suất

b Giá trị của R làm cho công suất cực đại

+ Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại

- Ta thấy rằng Pmax khi Amin => “ =” xảy ra Vậy: R td = Z L−Z C

- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:

Với R1td và R2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất

Lưu ý: Khi Z L−Z C <R0thì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến

trở làm cho công suất toàn mạch cực đại là R = 0.

+ Giá trị R làm cho công suất của R cực đại

- Công suất của biến trở R là

c Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R

- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở

R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:

- Ta có công suất toàn mạch biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:

2 2

P(R)

2 max

U P

U P

Nhận xét đồ thị :

a Từ đồ thị ta thấy rằng có hai giá trị R1 và R2 cho cùng một giá trị của công suất

b Công suất đạt giá trị cực đại khi R= Z L−Z C −R0 > 0

c Trong trường hợp R= Z L−Z C −R0 < 0 thì đỉnh cực đại nằm ở phần

R< 0 do đó ta thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0

d Nếu R0 = 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R làm cho công suất của toàn mạch cực đại là R= Z L−Z C

Kết luận:

e Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1

và 2 sẽ không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng thức Cauchy

f Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo biến trở R nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi điện trở.

d Tìm điều kiện để U AN hoặc U MB có giá trị không đổi và không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 1

2 )

(

L

C L C C

C L L

L C

L

L AN

AN

Z R

Z Z Z

U Z

Z Z Z R

Z R U Z

Z R

Z R U IZ

U

+

− +

= +

− +

+

=

− +

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 1

2 )

(

C

C L L C

C L L

C C

L

C MB

MB

Z R

Z Z Z

U Z

Z Z Z R

Z R U Z

Z R

Z R U IZ

U

+

− +

= +

− +

+

=

− +

L

Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là:

) 100 cos(

−

→

= +

2 2

2

R

R Z

U R

2 150

1 arctan(

) 3

1 arctan(

3

1 225

ϕ

Biểu thức cường độ dòng điện là i = t (A

3

1 arctan 100

cos 5

2 150

) 3 arctan(

3

1 25

Z Z R

U R

Z Z R

U R

Z

U

R

C L C

L

2 2

2 2

2

2 2

2

2

) (

)

− +

=

− +

y =

R

Z Z

L C

L Z Z y Z Z R

Z Z

Khi đó công suất cực đại của mạch

) ( 150 75 2

150 2

2 2

min

2

Z Z

U y

U

P

C L

áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R2 Các giá trị R1 và R2 là:

2 1

2 2 1

2 2

Z R R Z R R R Z R

U R

Z R

U R

2 2

1R =Z →R R = 100

Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi

R = R2 Khi đó theo bài ta được 4

2

2

1 1

2 2

2 2 1

2 1 2

R R I R I P

Giải (1) và (2) ta được R1 = 50Ω, R2 = 200Ω

Ví dụ 3: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng

và một biến trở R được mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện thế xoay chiều u = 120 2 cos( 120 πt) (V) Biết rằng ứng với hai giá trị của biến

trở: R1 = 18Ω và R2 = 32Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau Công suất P của đoạn mạch có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

Hướng dẫn giải:

Theo chứng minh công thức ở trên ta được 288 ( )

32 18

120 2 2

1

2

W R

được mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu mạch

điện một hiệu điện thế xoay chiều u=150 2 cos( 120 πt) (V) Tìm giá trị UAN để

UAN không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R

Hướng dẫn giải:

ZL = 100(Ω ),ZC = 200(Ω)

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 1

2 )

(

L

C L C C

C L L

L C

L

L AN

AN

Z R

Z Z Z

U Z

Z Z Z R

Z R U Z

Z R

Z R U IZ

U

+

− +

= +

− +

+

=

− +

2.2.2 Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :u U= 0 cos( ω ϕt+ u)

L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi,

R và C không đổi

a Có hai giá trị L 1 ≠ L 2 cho cùng giá trị công suất

- Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:

ZL1−Z C = − (Z L2 −Z C) (thỏa mãn)

Suy ra : 1 2

1 2 2

2 2

L L C

b Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng Z L

+ Ta có công suất toàn mạch là:

2

− +

−

C L

L C

Z Z R

Z Z R

U P

Pmax

ZL = ZC

2 max

U P

ZL1 ZL2

* Nhận xét đồ thị:

- Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất

- Công suất của mạch cực đại khi 1 2

c Giá trị Z L để hiệu điện thế U Lmax

+ Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là : L L L 2 ( L C) 2

thể giải dễ hơn và rút ra nhiều kết luận hơn

+ Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong

tam giác ta có :sin(U L ) sinU

U

U U U

γ

- Khi ULmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn uRCmột góc 900

d Có hai giá trị L 1 ≠ L 2 cho cùng giá trị U L , giá trị L để U Lmax tính theo L 1

+ + với L là giá trị làm cho ULmax

e Giá trị Z L để hiệu điện thế U LRmax

+ Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :

R

Z Z Z U

L

C L

C = + +

Z R

Z Z Z

+

) (

) (

2 2 2

2 2

R Z Z Z Z

L

L C L C

4

0 2

+ Từ bảng biến thiên ta thấy rằng MT đạt giá trị nhỏ nhất nên ULR đạt giá trị lớn nhất Ta thu được kết quả sau:

RLM

C C

U U

a Hệ số công suất của mạch cosφ = 1

b Hệ số công suất của mạch cosφ =

10 ) 100 (

1 1

1 1

2

C L

Z Z Z R Z

R

C L

π π π ω

2

3 2

Z ( )

10

35 )

( 350 200

200 )

3 100

2

2

H L

=

+

=

+

đầu L đạt cực đại Giá trị cực đại:

) ( 3

42 100 200

) 3 100 ( 3 100

2

2 2

100 cos(

max

max ⇔ I ⇔Z L =Z C = Ω →L= (H) Khi đó P ( )

80

170 2 2

2 max

R

U R

3

(H)

L = π

5 , 0

( 232 200

200

2 2

H L

Z

Z R

Cho mạch điện RLC, điện áp hai đầu mạch điện là u =200 2cos(100πt) (V)

L thay đổi được Khi mạch có L = L1 =

80

80.17080

2 2

2

L

Z

R Z

U R

I

P

− +

2 2 1

2

1 I Z Z R (Z L Z C) R (Z L Z C)

I ZL1 – ZC = ZC – ZL2 Theo bài thì u1 và u2 lệch pha nhau góc

3

2 π nên có một biểu thức là nhanh pha hơn i và một biểu thức chậm pha hơn i Do Z L1 = 300 3 ( Ω ) >Z L2 = 100 3 ( Ω ) nên

u1 nhanh pha hơn i còn u2 chậm pha hơn i

tan tan 1

tan tan

3 )

tan(

3

2

2 1

2 1

2 1 2

→

= +

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

π ϕ

Trong đó

R R

Z Z R

3 100

(

1

3 100

( 200 )

3 100 (

Độ lệch pha của u và i: tan

3 3

3 100

3 100

( 200 )

3 100 (

Độ lệch pha của u và i: tan

3 3

3 100

3 100

ϕ = L − C = − = − → = − → i =

R

Z Z

(rad)

Biểu thức của cường độ dòng điện i là: i = ) ( )

3 100 cos(

* Nhận xét: Cách giải trên là tổng quát cho trường hợp độ lệch pha bất kỳ Tuy

nhiên trong bài toán trên chúng ta có thể nhận xét được rằng do cường độ dòng điện trong hai trường hợp bằng nhau nên trong hai trường hợp đó độ lệch pha của u và i có cùng độ lớn Khi đó u1 sẽ nhanh pha hơn i góc

3

π là giải ra R luôn chứ không cần phải khai triển công thức lượng giác

2.2.3 Sự thay đổi C trong mạch R - L - C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu thế hai đầu ổn định: u U= 0 cos( ω ϕt+ u) R là điện trở, L là một

cuộn dây thuần cảm không đổi và C có giá trị thay đổi

Z =R + Z −Z =R + Z −Z do đó

ta thấy rằng bài toán thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị

L Do đó khi thực hiện việc khảo sát ta cũng thực hiện tương tự thu được các kếtquả sau:

a Có hai giá trị C 1 ≠ C 2 cho cùng giá trị công suất P Tìm C = C 0 để P max

Với hai giá trị C1 và C2 cho cùng giá trị công suất ta có

1 2

0

1 2 0

1 2 2

Với giá trị C0 là giá trị làm cho công suất mạch cực đại

b Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng

d Có hai giá trị C 1 ≠ C 2 cho cùng giá trị U C , giá trị Z C để U Cmax

- Khi có hai giá trị C = C1 hoặc C = C2 cho cùng giá trị UC thì giá trị của C làm

cho UCmax khi

RCM

L L

U U

a Mạch tiêu thụ công suất P = 50W

b Mạch tiêu thụ công suất cực đại Tính Pmax

c UC max * Hướng dẫn giải:

P

ZCO

P

max

ZL = ZC

2 max

U P

a Ta có R= 100(Ω), ZL = 100(Ω) 100 – ZC = 100

− +

→

=

) 100 ( 100

100 100

2 2

2

C

Z

R Z

2

R

U R

100

100

F C

π

−

=

→ Ω

= +

Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch:

3 300

2

200

2 1

2 1

2 2

2 1

2 2

2 1 2

1

H L

Z Z

Z

Z Z Z Z Z Z R I R I P

P

P

C C

L

L C C L

π

=

→ Ω

200 100

200 200

) (

2 2

2 2

1 2

→

R

R R

Z Z R

U P

C L

Giải phương trình ta được nghiệm duy nhất R = 100Ω Vậy R = 100 Ω , L 3(H)

π

=

b Tính hệ số công suất ứng với các trường hợp

•Khi

2

1 2 100

100 cos

2 100 )

400 300 ( 100 )

( 4

F C

100 cos

2 100 )

200 300 ( 100 )

( 2

F C

π

Nhận xét : Trong hai trường hợp L thay đổi và C thay đổi chúng ta thấy vai trò

của L và C là bình đẳng nên hoán đổi vị trí của L và C ta sẽ được kết quả Vậy nên trong trắc nghiệm chúng ta chỉ cần nhớ kết quả với C hoặc L

L

Z R R

2.2 4 Sự thay đổi ω trong mạch R - L - C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)

a Giá trị ω làm cho P max , U Rmax , I max

- Ta có

2 2

, từ công thức này ta thấy rằng công suất của

mạch đạt giá trị cực đại khi: 1 0 0 1 .

LC C

L− = → ω = ω = ω

b Có hai giá trị ω1≠ ω2 cho cùng công suất và giá trị ω làm cho P max

- Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì:

2 2 2 2

2

2 1 1 2

2 2

1

)

1 (

)

1 (

C L R

U R

C L R

U R

P

P

ω

ω ω

1

C

L C

L

ω

ω ω

) 2 )(

1 (

1

2

2 1

1

C

L C

L

ω

ω ω

- Vì ω1≠ω2 nên nghiệm (1) bị loại

- Khai triển nghiệm (2) ta thu được: 1 2

ω = ω ω = với ω0 là giá trị cộng hưởng điện

c Khảo sát sự biến thiên công suất theo ω.

- Ta có

2 2

Việc khảo sát hàm số P theo biến số ω bằng

việc lấy đạo hàm và lập bảng biến thiên rất khó khăn vì hàm số này tương đối phức tạp Tuy nhiên, ta có thể thu được kết quả đó từ những nhận xét sau:+ Khi ω = 0 thì Z C 1

Z

, đặt

2 2

2 2

2 2 2

1 1

R A

Ta tiếp tục đặt 2

1 0

x L

ω

= > khi đó

2 2

−

∞A’(x) - 0 +

LM

U L U

e Giá trị ω làm cho hiệu điện thế U Cmax

Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá trị ω làm cho UCmax là:

- Khi thì ax 2 2

2 4

CM

U L U

g Khi ω = ω 1 hoặc ω = ω2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện có cùng

một giá trị Khi ω = ω 0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt giá trị

cực đại Hệ thức liên hệ giữa ω 1, ω2 và ω0 là

* Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2, ta có : UC1 = UC2 2

2

1 1 2

1

Z

U Z Z

U Z

I Z

⇔

2

2 1 2 4 1 2 2 1 2

2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 1 1

2

1

1 2 1 2 )

1 (

1 )

1 (

1

C C

L L

R C

C

L L

R C

L R C

L

R

+

− +

= +

− +

⇔

− +

=

− +

ω ω ω

ω ω

ω

2

4 1 2 2 2

2 1

2 = ω + ω

−R L C

(

L

R C

L

−

= + ω

ω Khi Ucmax ta có

ω0 =

2 )

)

2 ( ( 2

1 2

2

2 1 2

L R

h Khi ω = ω 1 hoặc ω = ω2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm có

cùng một giá trị Khi ω = ω 0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm

đạt giá trị cực đại Hệ thức liên hệ giữa ω 1, ω2 và ω0 là

* Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2, ta có : UL1 = UL2 2

2

1 1 2

1

Z

U Z Z

U Z

I Z

⇔

2 2 2

2 1

2 1 2 2 2

2 1 2 2 1 2 2 1

2 2

2 2 2 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

1 1

2

.

2

)

1 (

)

1

ω ω ω ω ω ω

ω ω

ω ω ω ω

L L

R C C

L L

R C

L R C L

R

+

− +

= +

− +

⇔

− +

k Khi ω = ω 1 hoặc ω = ω2 thì cường độ dòng điện, công suất, hiệu điện thế

trên điện trở R có cùng một giá trị Khi ω = ω 0 thì cường độ dòng điện, công

suất, hiệu điện thế trên điện trở R đạt giá trị cực đại Hệ thức liên hệ giữa

1

ω , ω2 và ω 0 là

Khi I cùng giá trị I1 = I2 ( )2

2 2

2 1 1 2

Ví dụ 1: Cho đoạn mạch điện MN gồm một điện trở thuần R = 100Ω, cuộn dây

) )(

2 cos(

2

U MN = π , tần số f của nguồn điện có thể điều chỉnh thay đổi được

a Khi f = f1 = 50 Hz, tính cường độ hiệu dụng của dòng điện và tính công suất tiêu thụ P1 trên đoạn mạch điện MN Viết biểu thức cường độ dòng điện tức thời chạy trong đoạn mạch đó

đoạn mạch điện MN lúc đó là P2 = 2P1 Hãy xác định tần số f2 của nguồn điện khi đó Tính hệ số công suất.

120

A Z

Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch điện là: P 100 72 ( )

2

2 ,

1 100

R U R

)

1 (

2

2 2

2 2 2

2 2

2

− +

ωĐây là trường hợp xảy ra cộng hưởng điện, thay số ta tìm được:

2

10

1 2

1 2

Hệ số công suất khi đó cos = = 1

mắc nối tiếp Đoạn mạch được mắc vào một hiệu điện thế xoay chiều có tần số f

có thể thay đổi Khi hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại thì tần

số f có giá trị là bao nhiêu?

* Hướng dẫn giải: