Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

lý thuyết và bài tập về 3 đường trung tuyến trong tam giác toán 7 + Đoạn thẳng AM (M là trung điểm của BC) được gọi là trung tuyến của tam giác ABC + Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua 1 điểm. ĐIểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 23 độ dài trung tuyến xuất phát từ đỉnh ấy + ĐIểm đó gọi là trọng tâm của tam giác

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

A Lý thuyết

+ Đoạn thẳng AM (M là trung điểm của BC) được gọi là trung tuyến của tam giác ABC

+ Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua 1 điểm ĐIểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài trung tuyến xuất phát từ đỉnh ấy

+ ĐIểm đó gọi là trọng tâm của tam giác

Hệ quả

- Một tam giác là tam giác cân khi và chỉ khi có hai trung tuyến bằng nhau

- Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi ba đường trung tuyến bằng nhau

- Trọng tâm của tam giác chia tam giác thành 3 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau

- Trong 1 tam giác, trung tuyến tương ứng với cạnh nhỏ hơn là trung tuyến lớn hơn

B Bài tập

1 Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia BC lấy điểm D và trên tia đối của tia

CB lấy điểm E sao cho BD=CE

a Cm hai tam giác ABC và ADE có cùng trọng tâm G

b Gọi M là giao điểm của AG và BC, I là trung điểm của AG, N là giao điểm của DG và AE, J là trung điểm của DG

Cmr: IJ//MN và JJ=MN

2 Chứng minh rằng

a Một tam giác là tam giác cân khi và chỉ khi có 2 đường trung tuyến bằng nhau

b Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi có 3 đường trung tuyến bằng nhau

3 Cho tam giác ABC Trên BC lấy điểm M sao cho BM=2CM Trên tia AC lấy điểm D sao cho C là trung điểm của AD và gọi N là trung điểm BD CMr: A,M,N thẳng hang

4 Cho tam giác ABC , 3 đường trung tuyến AD,BE,CF đồng quy tại G Trên BE,CF lần lượt lấy các điểm M,N sao cho BE=2BM, CF=3CN CMR: 3 đường thẳng AD,BN,CM đồng quy

5 Cho tam giác ABC với 2 đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G Cmr: BN+CP > 32 BC

6 Cho tam giác ABC vơi bat rung tuyến AM, BN,CP và trọng tâm G CMr:

a AM< 12(AB+AC)

b 34(AB+BC+CA)<AM+BN+CP<AB+BC+CA

7 Cho tam giác ABC có AB<AC, hai đường trung tuyến BE,CF và trọng tâm G CMr:

a BE<CF

b GBC GCB· > ·

8 Cho tam giác ABC với trung tuyến AM CMr:

a Tam giác ABC vuông tại A thì AM=BM=CM

b NGược lại nếu AM= 12 BC thì tam giác BC vuông tại A

9 Cho tam giác ABC với trung tuyến AD Qua D kẻ đường thẳng song song với AB; Qua B kẻ đường thẳng song song với AD Hai đường thẳng trên cắt nhau tại E, GỌi K là trung điểm của đoạn EC Cmr: A,D<k thẳng hang

10.Cmr: Trọng tâm tam giác chia tam giác thành ba tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau