Một số giải pháp giúp học sinh trường THPT thường xuân 2 phân loại và giải bài toán lập phương trình mặt phẳng trong không gian oxyz

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN 2 PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN 2 PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TOÁN LẬP

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

Người thực hiện: Trịnh Thị Nhung Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2020

MỤC LỤC

1 Mở đầu 2

1.1 Lý do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi sử dụng sáng kiến 4

2.3 Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 4

2.3.1 Giải pháp 1: Hệ thống lại kiến thức cơ bản 4

2.3.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân loạị bài toán lập PTMP 5

2.3.3 Giải pháp 3: Hướng dẫn HS tự học 16

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 19

3 Kết luận và kiến nghị 19

3.1 Kết luận 19

3.2 Kiến nghị 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và pháttriển phẩm chất, năng lực của học sinh; vừa là môn học đặc thùvừa là môn học công cụ để học tốt các môn học khác như Lý,Hóa, Sinh,… Trong thời đại công nghiệp 4.0 môn Toán là mônhọc nền tảng tác động lớn đến các phát minh công nghệ làmthay đổi cuộc sống của nhân loại Luật giáo dục do Quốc hội khóa Xthông qua đã chỉ rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tíchcực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớphọc, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ năng vận dụng kiếnthức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.Tuy nhiên, môn Toán là môn học đòi hỏi sự tích lũy Họcsinh phải hiểu và nắm được một vấn đề trước khi chuyển sangvấn đề khác cao hơn, phức tạp hơn Đây chính là khó khăntrong việc học môn Toán của học sinh đặc biệt là học sinh trungbình, yếu Để khắc phục tình trạng này, khi dạy học giáo viêncần có biện pháp phân hóa nội tại thích hợp, có sự giúp đỡ táchriêng đối với học sinh yếu kém

Trường THPT Thường Xuân là trường đóng trên địa bànhuyện đặc biệt khó khăn, học sinh đa số là người dân tộc thiểu

số, nhiều HS không thích các hoạt động tư duy, tiếp thu chậm,học yếu các môn tự nhiên đặc biệt là môn Toán Các em thường

“sợ” môn Toán nhất là phần Hình học HS thường không biếtphân dạng bài tập, thấy bài tập hình là bỏ Vì vậy, giáo viênluôn tìm mọi cách giảng dạy sao cho các em hứng thú học, hìnhthành được sơ đồ tư duy giải toán, từ đó các em không còn ngạihọc hình, góp phần nâng cao chất lượng dạy học

Trong chương trình hình học lớp 12, bài toán lập phươngtrình mặt phẳng là bài toán thường xuyên gặp trong các đề thiTHPT Quốc gia Khi học phần này học sinh trung bình, yếuthường không biết phân loại bài tập, thấy “rối tinh rối mù” khinhìn vào đề bài Từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài SKKN

“Một số giải pháp giúp học sinh trường THPT Thường Xuân 2 phân loại và giải bài toán lập phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Hướng dẫn học sinh phân loại và giải bài toán lập phươngtrình mặt phẳng để học sinh hình thành sơ đồ tư duy khi gặpdạng toán này Từ đó lấp lỗ hổng kiến thức, tăng hứng thú vớibài học, từng bước nâng cao kĩ năng giải bài tập toán; phát triểnnăng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, làm việc độc lậpcủa HS.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài được tôi tiến hành đối với học sinh lớp 12A4 (38 HS)trường THPT Thường Xuân 2, nghiên cứu cách tổ chức dạy họccác dạng bài tập lập phương trình mặt phẳng, góp phần củng cố

lý thuyết, rèn luyện kĩ năng giải bài tập theo hướng phát triểnnăng lực tự học của HS

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, sách tham

khảo về các vấn đề liên quan đến đề tài

1.4.2 Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng và điều

tra theo các hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự giờ

1.4.3 Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu được sau quá trình

giảng dạy, kiểm tra đánh giá nhằm minh chứng cho hiệu quả của việc sử dụngcác giải

pháp

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Học sinh trung bình, yếu về môn toán là những là học sinh

có kết quả học tập môn toán thường xuyên đạt điểm trung bìnhhoặc dưới điểm trung bình Đối với các lớp học sinh có lực họctrung bình, yếu giáo viên cần bỏ ra nhiều thời gian, công sức và

sự tỉ mỉ cả trong bài giảng trên lớp lẫn tài liệu để học sinh tựhọc ở nhà

Học sinh yếu về môn Toán có nhiều biểu hiện khác nhaunhưng nhìn chung có 5 đặc điểm:

- Nhiều lỗ hổng kiến thức, kĩ năng

- Tiếp thu kiến thức, hình thành kĩ năng chậm

- Năng lực tư duy yếu

- Phương pháp học tập chưa tốt

- Thờ ơ với việc học trên lớp, không làm bài tập ở nhà.

Do vây, giáo viên cần bồi dưỡng cho học sinh có kiến thức

cơ bản nhất của vấn đề, rồi mới tạo cho học sinh khả năng tựhọc và độc lập trong suy nghĩ

Trong những năm gần đây, đề thi THPT Quốc gia đã có cấutrúc chung, trong đó luôn có bài toán lập phương trình mặtphẳng Đây là bài toán tương đối vừa sức với HS trung bình,yếu Tuy phần kiến thức này là kiến thức cơ bản nhưng nếukhông nắm vững thì cũng dễ nhầm lẫn dẫn đến sai lầm

Để tiếp cận bài toán lập phương trình mặt phẳng ta nên định hướng chohọc sinh vận dụng quy trình giải toán của G Polia

 Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.

 Bước 2: Xây dựng chương trình giải cho bài toán.

 Bước 3: Thực hiện chương trình giải đã xây dựng ở bước 2.

 Bước 4: Nghiên cứu sâu về lời giải

Đối với quy trình này, khi áp dụng vào mỗi dạng toán cụ thể học sinh xâydựng được một phương pháp chung để giải bài toán đó Từ đó giúp học sinhchủ động trong quá trình học, dễ hiểu, dễ nhớ kiến thức

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy bàitoán viết phương trình mặt phẳng là bài toán dễ nhầm lẫn vớihọc sinh trung bình, yếu Chẳng hạn như học sinh không phânbiệt được điểm đi qua và vectơ pháp tuyến; không tìm đượcvectơ pháp tuyến và điểm thuộc mặt phẳng khi có các yếu tốkhác Học sinh thấy lúng túng trước các dữ kiện của đề bài, thấyrối ren, không phân biệt được sẽ dùng yếu tố nào để tìm vectơpháp tuyến, yếu tố nào là điểm thuộc mặt phẳng

Bài toán lập phương trình mặt phẳng được cho dưới nhiềudạng khác nhau, ít có thời gian luyện tập lại nhiều lần do giớihạn thời lượng chương trình cho phép (2 tiết) Mà học sinh trungbình, yếu là đối tượng cần luyện tập nhiều và thường xuyên

Bài toán lập phương trình mặt phẳng liên quan trực tiếpđến hình học không gian lớp 11, học sinh có thể không biết biểudiễn các yếu tố đã cho (ví dụ đường thẳng vuông góc với mặtphẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng,…) do đó khônghình thành được cách giải

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Giải pháp 1: Hệ thống lại kiến thức cơ bản có liên quan

* Tọa độ của điểm, tọa độ vectơ

Trong không gian Oxyz, cho điểm hai điểm A a a a và 1; ;2 3

* Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

+ Vectơ n  0 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P khi và chỉ

khi giá của n vuông góc với  P

+ n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P thì kn k ,  0 cũng

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P

* Tích có hướng của hai vectơ

Cho 2 vectơ a a a a 1; ;2 3 và b b b b 1; ;2 3 Kí hiệu vectơ c a b  

* Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Mặt phẳng  P đi qua điểm M x y z và có vectơ pháp tuyến 0; ;0 0

Chú ý: Để viết được phương trình mặt phẳng ta cần 2 yếu tố: 1 vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc mặt phẳng.

* Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng  P đi qua 3 điểm A a ;0;0, B0; ;0b , C0;0;c ( a  ,00

tuyến và 1 điểm thuộc mặt phẳng

Phương pháp:

đi qua điểm M x y z 0; ;0 0

Mặt phẳng  P

vectơ pháp tuyến n a b c ; ; Phương trình  P : a x x  0b y y  0c z z  0  0

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm M2;1; 1 

và có vectơ pháp tuyến n 1; 2;3.

Lời giải :

Phương trình mặt phẳng  P : 1x 2  2 y 1 3z1 0

 x 2y3z  3 0

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và

vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.

A , B2;0;5  Viết phương trình mặt phẳng  P qua điểm A

và vuông góc với đường thẳng AB

Hướng dẫn giải:

B1: Mặt phẳng  P đi qua điểm A

B2: Vectơ pháp tuyến của  P : n AB 

.B3 Viết phương trình mặt phẳng  P

Lời giải:

Mặt phẳng  P đi qua điểm A1;2;3

Vectơ pháp tuyến của  P : n AB  1; 2;2 

.Phương trình mặt phẳng  P : 1x 1  2 y 22z 3 0

 x 2y2z 3 0

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng  P là mặt phẳng trung trực

của đoạn MN biết M1;0; 2  và N  1;2;4

Hướng dẫn giải:

B1 Xác định tọa độ điểm thuộc mặt phẳng  P : Trung điểm I

của đoạn MN thuộc  P

B2 Xác định vectơ pháp tuyến: n MN 

.B3 Viết phương trình mặt phẳng  P

 2x2y6z 8 0  x y  3z 4 0

Sai lầm thường gặp:

- Không nhớ khái niệm mặt phẳng trung trực nên không xác định được điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

- Không nhớ cách xác định tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

- Nhầm lẫn tọa độ trung điểm và tọa độ của vectơ pháp tuyến.

- Để không nhầm lẫn tọa độ điểm và tọa độ vectơ thì khi viết ta luôn kí hiệu tọa độ điểm viết liền (ví dụ M(x; y; z)), tọa độ vectơ có dấu “=” (ví dụ na b c; ; 

2 x 1  1 y 2  1 z 3  0 2x y z   7 0

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua điểm

 Q : Ax By Cz D    0A2 B2 C2  0

Phương pháp:

- Tìm mối liên hệ giữa 2 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P và

2 3.4 2.3   D 0 D4.Vậy phương trình  P : x3y 2z 4 0

Dạng 4: Lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm

không thẳng hàng A B C, , .

Phương pháp:

* Nếu A a ;0;0, B0; ;0b , C0;0;c ( a  ,0 b  ,0 c  ) thì 0  P cóphương trình: 1

Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P

cắt ba trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại ba điểm

- Vectơ pháp tuyến của ABC :  n AB AC  

Lưu ý: Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến của ABC là 1

vectơ cùng phương với vectơ AB AC

Dạng 6: Lập phương trình mặt phẳng  P chứa đường

thẳng d1 và song song với đường thẳng d2.

Bài 10: Trong không gian Oxyz, cho M 7,2, 3 ,   N5,6, 4  Lậpphương trình mặt phẳng  P chứa MN và song song với trục Ox

Bài 11 : Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng

 P đi qua M3,4, 5 , chứa a3,1, 1  và song song với phương

Lưu ý: Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến n  1;4;7.

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua M và vuông góc với 2 mặt phẳng   và   .

Bài 12: Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng  P

đi qua N2, 1,1  và vuông góc 2 mặt phẳng ( ) : 2 x z   và1 0

từ định thức Nếu áp dụng máy móc công thức sgk thì học sinh sẽ rối, khó nhớ công thức và dễ nhầm khi thay

số vào công thức.

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng  P tiếp xúc với

mặt cầu  S tại điểm H

Phương pháp:

- Xác định tọa độ tâm I của  S

- Vectơ pháp tuyến của  P là n IH 

- Viết pt  P đi qua H

Bài 13: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có phươngtrình x 12  y 32 z22 14 Lập phương trình mặt phẳng

 P tiếp xúc với mặt cầu  S tại điểm H2;1;1

Hướng dẫn giải:

- Tọa độ tâm của  S là I1;3; 2 

- Vectơ pháp tuyến của  P là n IH 1; 2;3 

* Sau bài học giáo viên hướng dẫn HS hình thành sơ đồ

tư duy các dạng bài tập lập phương trình mặt phẳng.

* Ra bài tập tương tự để HS tự học ở nhà:

Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

 P x:  2y3z2019 0 Vectơ nào dưới đây không phải là mộtvectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P ?

A 2x 2y8z  4 0 B 2x 2y8z 4 0

C 2 x 2y8z 4 0. D 2 x 2y8z 4 0.

Câu 6: Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng  P

đi qua điểmM  2;3;1 và song song với mặt phẳng

Câu 9: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi

qua điểm A  4;1; 2  và vuông góc với hai mặt phẳng: 2 3

Câu 11: Trong không gian Oxyz , lập phương trình mặt phẳng

 P trong các trường hợp sau:

a)  P đi qua 3 điểm A1,2, 5 ,   B3,4,6 ,  C 2,1,5

b)  P đi qua 2 điểm M2, 3,4 ,   N1,5,6 và song song vớiphương vectơ a   3, 2,4

c)  P đi qua gốc tọa độ O và vuông góc 2 mặt phẳng

( ) : 2 x y 3z  và ( ):1 0  x2y z  0

d)  P chứa hai đường thẳng

- Học sinh tỏ ra hứng thú hơn khi giải toán, không còn thấy lúng túng khigặp bài toán này

- Giờ dạy tránh được tính đơn điệu, nhàm chán theo một lối mòn

- Học sinh có nhiều thay đổi tích cực về phương pháp học tập và tư duygiải toán Các em đã tự giác, tích cực tự học và làm bài ở nhà

- Đa số các em hiểu bài, nhận dạng dạng toán nhanh, biếtvận dụng giải các bài tập tương tự

Kết quả đó được thể hiện rõ rệt qua bài kiểm tra đánh giásau giờ dạy ở 2 lớp 12 A4 (lớp thực nghiệm) và 12A7 (lớp đối

Phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz là phần kiếnthức luôn xuất hiện trong các kì thi THPT Quốc gia trong cácnăm gần đây Việc phân loại bài toán giúp cho học sinh nhìnnhận vấn đề rõ ràng hơn, học sinh có định hướng nhanh vàđúng đắn hơn khi gặp dạng toán này Tuy nhiên, trong khuônkhổ đề tài này tôi mới chỉ đề cập đến các dạng toán cơ bản vềphương trình mặt phẳng Các bài tập đưa ra chủ yếu ở mức độnhận biết và thông hiểu dành cho học sinh trung bình, yếu kém

Qua dạy học thực nghiệm theo đề tài này tôi nhận thấy:

- Về phía giáo viên: Việc dạy học có sự phân dạng bài tậpgiúp giáo viên đỡ vất vả hơn khi dạy trên lớp

- Đối với học sinh: Nhờ có hệ thống hóa kiến thức giúp họcsinh lĩnh hội bài học một cách lôgic Đối với học sinh trung bình,yếu các dạng bài tập được hình thành theo sơ đồ tư duy giúphọc sinh tích cực hơn, chủ động hơn trong quá trình học trên lớp

và tự học ở nhà

3.2 Kiến nghị.

Nội dung của đề tài đã được tôi cùng đồng nghiệp dạy thựcnghiệm tại trường THPT Thường Xuân 2 và được đánh giá làmang lại hiệu quả tốt đối với các lớp cơ bản mà đa số là họcsinh trung bình, yếu Vì vậy, tôi đề xuất công bố đề tài này đểđồng nghiệp có thể nghiên cứu và áp dụng vào thực tiễn

Trịnh Thị Nhung

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, NXB ĐHSPnăm 2001

[2] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), SGK hình học 12, NXB giáodục Việt Nam năm 2017

PHỤ LỤC

BẢNG PHÂN TÍCH KẾT QUẢ Bảng 1: Tổng hợp kết quả học tập lớp thực nghiệm 12A4

và lớp đối chứng 12A7 ( năm 2018-2019)

Bảng 3: Xếp loại học lực môn Toán qua bài kiểm tra.