Chuyên đề phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện

• Chứng minh hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba.• Áp dụng các định lí về giao tuyến song song b Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh d P P , t

PHẦN 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN TỚI

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Vấn đề I QUAN HỆ SONG SONG

1 Hai đường thẳng song song

4 Chứng minh quan hệ song song

a) Chứng minh hai đường thẳng song song

Có thể sử dụng một trong các cách sau:

• Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh

• Chứng minh hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba.

• Áp dụng các định lí về giao tuyến song song

b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh d P( )P , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d′ nào đó nằm trong (P).

c) Chứng minh hai mặt phẳng song song

Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với mặt phẳng kia.

Vấn đề II QUAN HỆ VUÔNG GÓC

1 Hai đường thẳng vuông góc.

• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại

trung điểm của nó

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

• Định lí ba đường vuông góc.

Cho a⊥( ),P b⊂( )P , a′ là hình chiếu của a trên (P) Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′.

4 Chứng minh quan hệ vuông góc.

a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Để chứng minh d a⊥ , ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

• Sử dụng các tính chất của hình hoc phẳng (như định lí Pitago).

b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

• Chứng minh d vuông góc với hai đường cắt nhau nằm trong (P).

• Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

• Chứng minh d // a và a ⊥ (P).

• Chứng minh d ⊂ (Q) và (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q).

• Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P).

c) Chứng mính hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

• Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q).

d) Diện tích hình chiếu của một đa giác.

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích hình chiếu (H′) của (H)trên (Q), ϕ = (( ),( )·P Q ) Khi đó: S′ = S.cosϕ

2 Khoảng cách

a) Khoảng cách từ một điểm đén một đường thẳng(mặt phẳng) bằng độ dài đoạn

vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng(mặt phẳng)

b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một

điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng

c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì

trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

d) Khoảng cách giữa hai đườngthẳng chéo nhau bằng:

• Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

• Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia

và song song với đường thẳng thứ nhất.

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song

song với đường thẳng kia.

Vấn đề IV NHẮC LẠI MỘT SỐ CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

1 Hệ thức lượng trong tam giác.

a) Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH

• AB2 +AC2 =BC2 • AB2 =BC BH AC , 2=BC CH • 1 2 12 12

AH = AB + AC

• AB BC= sinC BC= cosB AC= tanC AC= cotB

b) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; có độ dài các đường trung tuyến là m a , m b ,

m c ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p

b A

a

2 sin sin

1 2

2

1 sin 2

1 sin 2

b) Hình vuông: S = a 2 (a: cạnh hình vuông)

c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước )

d) Hình bình hành: S = đáy × chiều cao = AB AD sinBAD. . ·

g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc. 1

V = S h với S là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp

3 Thể tích của khối lăng trụ

.

V =S h với S là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ

4 Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện.

• Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên

• Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với

diện tích các đáy.

PHẦN 2: PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Loại 1: Hình chóp có chân đường cao là đỉnh của đa giác đáy

Loại 1 1: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Phương pháp: Sử dụng công thức tính 1 .

3

V = S h , chiều cao là cạnh bên vuông góc với mặt đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC

vuông tại A, AB = a 3 , AC = a Góc giữa SB và (SAC) bằng 60 0 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.

 A là hình chiếu của B trên (SAC)

 SA là hình chiếu của SB trên (SAC)

 Góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SA và là góc ·BSA (vì ∆SAB vuông tại A

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với

mặt phẳng (ABCD) Góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng 60 0 G là trọng tâm tam giác BCD Mặt

phẳng ( )α đi qua SG và song song với BD cắt BC, CD lần lượt tại M, N Tính theo a thể tích

 Góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc giữa SO và AC và là góc ·SOA (vì ∆SOA vuông

tại A nên SOA · < 900)

(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC),

tam giác ABC đều cạnh a Góc giữa (SBC) và (ABC)

bằng 60 0 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.

các mặt (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với

mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình

thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a

⇒ AC a = 2

Ta có SA ⊥ ( ABCD ) nên A là hình chiếu của S trên (ABCD)

 AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)

 Góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và AC và là góc ·SCA (vì ∆SCA vuông tại A nên SCA · < 900)

+ Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 SH ⊥(ABC) (vì S.ABC là hình chóp đều)

 SH là chiều cao của hình chóp S.ABC

. 1

3

Gọi M là trung điểm của BC, mà tam giác ABC là tam giác đều nên ta có

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, góc giữa

cạnh bên và mặt đáy là 60 0 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Giải:

+ Ta có S.ABCD là hình chóp đều mà O là tâm

của đáy ABCD nên SO ⊥ ( ABCD )

⇒SO là chiều cao của hình chóp S.ABCD

3

Ta có S.ABCD là hình chóp đều nên các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

 Góc giữa cạnh bên SA và (ABCD) bằng 600

Ta có SO ⊥ ( ABCD ) nên O là hình chiếu của S trên (ABCD)

 OA là hình chiếu của SA trên (ABCD)

 Góc giữa cạnh bên SA và (ABCD) là góc giữa SA và OA và là góc ·SAO (vì ∆SAO

vuông tại O nên SAO · < 900)

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau, đáy ABCD là hình chữ nhật

tâm O, AB = a, AD = 2a Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là

2

a

Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Giải:

+ Ta gọi O’ là hình chiếu của S trên (ABCD)

Mà SA = SB = SC = SD nên O’A = O’B = O’C = O’D

Suy ra O ' ≡ O

Do đó SO là chiều cao của hình chóp S.ABCD

3

Xét ∆SOK vuông tại O có OK là đường cao nên ta có:

3

a SO

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a, và

các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 30 0 Tính theo a, h thể tích khối chóp S.ABC.

Giải:

+ Ta gọi H là hình chiếu của S trên (ABC)

Do đó SH là chiều cao của hình chóp S.ABC

3

• Ta có H là hình chiếu của S trên (ABC)

Mà các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 300

• Ta có các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy các góc bằng 300

 Góc giữa cạnh bên SA và (ABCD) bằng 300

S

A

B

CH

Ta có H là hình chiếu của S trên (ABC)

 HA là hình chiếu của SA trên (ABC)

 Góc giữa cạnh bên SA và (ABC) là góc giữa SA và HA và là góc ·SAH (vì ∆SAH vuông tại H nên SAH · < 900)

Loại 2.3: Hình chóp có hai cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường trung trực (nằm trên mặt đáy) của đoạn thẳng nối hai đỉnh của đáy thuộc hai cạnh bên đó.

Phương pháp:Sử dụng công thức tính 1 .

3

V = S h , chiều cao là đoạn thẳng nối dỉnh với chân

đường cao nói ở trên

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, có mặt bên SAB là tam

giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC là tam

giác đều cạnh a, M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng (P) đi qua S,

G và song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại H và K Góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60 0 Tính theo a thể tích khối chóp S.AHK.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình

chữ nhật có AB = a¸ AD = 2a Góc giữa SB và (ABCD) bằng 60 0 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh 2a Góc giữa mặt bên và

mặt đáy bằng 60 0 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.

Bài 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a M là trung điểm cạnh CD và SM =

3a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a Tam giác SAB đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABC).Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, AB Mặt phẳng (P) đi qua S, H và song song với AM cắt BC tại K Tính theo a thể tích khối chóp S.BHK.

Loại 2.4: Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.

Phương pháp: Sử dụng công thức tính 1 .

3

V = S h , chiều cao là đoạn thẳng nối dỉnh với tâm

đường tròn nội tiếp của đa giác đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt

bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60 o Tính thể tích khối chóp.

J

F

Tam giác vuông SHE:

SH = r.tan 60 0 = a 3 2 2 a

3

62

a = ( ®vtt )

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giác cân với AB=AC=3a,BC=2a.

Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 60 0 Kẻ đường

cao SH của hình chóp

a) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và SA⊥BC.

b) Tính thể tích của khối chóp S.ABC

Giải:

a) + Gọi H là hình chiếu của điểm S trên

mp(ABC)

Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của S

trên các cạnh AB, BC, CA Từ đó, suy ra:

HI⊥AB, HJ⊥BC, HK⊥CA; góc của các mặt

bên (SAB), (SBC), (SCA) với mặt đáy (ABC)

K H

Xét tam giác SHI vuông tại H, ta có: HI SH = cot 600 (1);

Xét tam giác SHJ vuông tại H, ta có: HJ = SH cot 600 (2);

Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có: HK SH = cot 600 (3);

Từ (1), (2) và (3), ta có: HI=HJ=HK hay H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

 ⇒BC⊥(SHA) Suy ra: BC⊥SA (đpcm)

b) Ta có ABC là tam giác cân tại A nên AJ vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác ABC, do đó JA= AB2−BJ2 =2a 2

Loại 2.5: Hỡnh chúp cú hai mặt bờn cựng tạo với đỏy cỏc gúc bằng nhau thỡ chõn đường cao cỏch đều hai giao tuyến của hai mặt bờn với mặt đỏy.

Phương phỏp:Sử dụng cụng thức tớnh 1 .

3

V = S h , chiều cao là đoạn thẳng nối dỉnh với

chõn đường cao núi ở trờn

Vớ dụ 1: Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B, AB=BC=a, hai

mặt bờn (SAB) và (SBC) cựng tạo với mặt phẳng đỏy gúc 600

Hóy tớnh thể tớch hỡnh chúp đú theo a?

Giải:

Dễ thấy ∆SHP= ∆SHQ nờn HP HQ= Do đú H

nằm trờn đường phõn giỏc của gúc A ˆ B C.

Trong tam giỏc SBM kẻ SH vuụng gúc BM

Suy ra SH là đường cao của hỡnh chúp S ABC

+ Ta cú :

21

Q P

Vớ dụ 2: Cho hỡnh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB

= a; CD = 2a Các mặt bên (SAD) và (SBC) cùng tạo với mặt đáy một góc

0

60 Tính thể tích hỡnh chóp theo a

Giải:

Loại 2.6: Hình chóp có một mặt phẳng qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt đáy.

Phương pháp:Sử dụng công thức tính 1 .

3

V = S h , chiều cao là đoạn thẳng nối dỉnh với chân

đường cao nói ở trên

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm của

SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.

Giải:

+ Gọi H là hình chiếu của S trên cạnh AD.

Khi đó H là trung điểm của AD và

K

Xét tam giác SAB có AB2 = SA2 + SB2

⇒tam giác SAB vuông tại S; có SH là đường

cao của tam giác SAB nên

Loại 2.7: Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với cạnh đáy không kề với nó thì chân đường cao thộc đường thẳng vuông góc hạ từ đỉnh của đa giác đáy thuộc cạnh bên đó tới cạnh đáy đó.

Phương pháp:Sử dụng công thức tính 1 .

3

V = S h , chiều cao là đoạn thẳng nối dỉnh với chân

đường cao nói ở trên

Vớ dụ 1:

Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn đỉnh A,AB=AC=a, SA vuụng gúc với

BC Tam giỏc SBC vuụng tại S và gúc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) là 450 Tớnh thể tớch khối chúp S ABC

Giải:

Gọi K là trung điểm của BC

Trong tam giỏc SAK kẻ SH⊥ AK (*)

Tam giỏc ABC cõn , suy ra AK⊥BC

Vớ dụ 2: Cho hỡnh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông với

các góc A, B vuông, AD = 2a; AB = BC = a Biết rằng SA = a 2, SA vuông góc với CD và (SCD) tạo với đáy (ABCD) một góc 60 0 Tớnh thể tớch khối chúp đó cho theo a.

Lại có : tam giác SAC có SA AC a= = 2 và góc

SCA bằng 60 0, suy ra tam giác SCA đều

V = S h , chiều cao là đoạn thẳng nối dỉnh với chân

đường cao đã cho trước

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB =

AD = 2a, CD =a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.

Đáy ABCD có diện tích là:

( ) 3 2

2

1

a AD CD AB

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA =

a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho

AH = AC/4 Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của cạnh

SA và tính thể tích của khối tứ diện SMBC theo a.

Suy ra AM = a/2 = SA/2 Vậy M là trung điểm

Bài 2: Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a,Hỡnh chiếu vuụng gúc

của S trờn ( ABC ) là điểm H thuộc AB sao cho HA=2HB, gúc giữa SC và (ABC) bằng 60 0

a Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC.

b Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau SA và BC

Bài 3: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC với SA=2a, AB=a Gọi H là hỡnh chiếu vuụng

gúc của A trờn cạnh SC Chứng minh SC vuụng gúc với mặt phẳng (ABH) Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABH theo a

Bài 4: Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B,AB=BC=2a hai

mặt phẳng (SAB) và (SAC) cựng ⊥ ( ABC ).Gọi M là trung điểm của AB,mp qua SM và // BC cắt AC tại N.Biết gúc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60 0 Tớnh thể tớch khối chúp SBCMN.

Bài 5: : Cho hỡnh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a;

CD = 2a Các mặt bên (SAD) và (SBC) cùng tạo với mặt đáy một góc ϕ

Tính thể tích hỡnh chóp theo a và ϕ.

Bài 6: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; SA

vuông góc với đáy (ABCD) sao cho SC tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 300 và tạo với mặt bên (SAB) một góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

PHẦN III: PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Loại 1: Thể tích khối lăng trụ đứng

Loại1.1 : Lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy

Phương pháp:Sử dụng công thức tính V =S h. , chiều cao là cạnh bên

Ví dụ 1 : Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có

cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải:

Ta có

vuông cân tại A nên AB = AC = a

ABC A'B'C' là lăng trụ đứng ⇒ AA ' AB ⊥

V AA 'B ⇒ AA ' 2 = A 'B 2 − AB 2 = 8a 2

⇒ AA ' 2a 2 =

Vậy thể tích khối lăng trụ V = B.h = SABC AA' = a 23

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và

đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ này.