c Tìm hàm riêng Uz của toán tử ^P z ứng với trị riêng là 1.. d Chứng minh hàm Uz ở câu 1c cũng là hàm riêng của toán tử ^P2.. e Tính các trị riêng của toán tử ^P2 tương ứng hàm riêng Uz
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HOC CẦN THƠ ĐỀ THI TUYỂN SINH
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2017 TRÌNH ĐỘ THẠC SĨ NĂM 2017 (đợt 1)
Môn: Cơ học lượng tử Chuyên ngành: Vật lý KT, Vật lý lý thuyết và VL toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Đề số: 01
NỘI DUNG ĐỀ Câu 1 (2.5 Điểm):
a) Viết biểu thức tường minh của các toán tử ^P x , ^L x
b) Chứng minh hệ thức ^x ^P− ^P ^x=i ℏ⃗e1 trong đó: ^P= ^Px⃗ e1+ ^ Py⃗ e2+ ^ Pz⃗ e3
c) Tìm hàm riêng U(z) của toán tử ^P z ứng với trị riêng là 1.
d) Chứng minh hàm U(z) (ở câu 1c) cũng là hàm riêng của toán tử ^P2
e) Tính các trị riêng của toán tử ^P2 tương ứng hàm riêng U(z) ở câu c
Câu 2 (2.5 Điểm):
a) Viết biểu thức tường minh các toán tử Spin ^Sx, ^Sy, ^Sz và ^S2= ^ S2x+ ^ S2y+ ^ S2z .
b) Tính biểu thức giao hoán [S^x , ^S y]
c) Chứng minh toán tử ^S2 và ^S x là giao hoán
d) Viết tường minh toán tử J^z= ^L z+ ^S z trong hệ tọa độ Descartes
e) Chứng minh toán tử ^L z có cùng hàm riêng với toán tử ^S z .
Câu 3 (2.5 Điểm):
Hàm sóng không phụ thuộc thời gian, mô tả trạng thái thứ k của electron chuyển
động trong hố thế (1D) có độ rộng w = 0,1 nm, cho bởi biểu thức: U k(x)=C ksin(
kπxx
w ) .
a) Sử dụng điều kiện chuẩn hóa để tính hệ số CK
b) Tính xác suất tìm thấy hạt ở mức năng lượng E3 ở tọa độ từ 0 đến (w/6)
c) Tính trung bình của bình phương xung lượng là ¿ Uk| Px2| Uk> ¿ ¿
d) Tính giá trị của ba mức năng lượng Ek (k=1, 2, 3) của electron
Trang 2e) Tính năng lượng trung bình của 3 mức năng lượng trên nếu xác suất tương ứng với các mức đó lần lượt là 5/10, 3/10 và 2/10
Câu 4 (2.5 Điểm): Hàm cầu R2,0(r) mô tả xác suất tìm electron ở khoảng cách r đến
nhân của ion He1+ (với thế năng là đối xứng cầu
^
U=− 2 Ke 2
r ) có dạng là:
R2,0= A
2a0.(1− r
2 a0) exp{− r
2 a0}
, a0 là bán kính Borh, K là hằng số tĩnh điện a) Dùng điều kiện chuẩn hóa để xác định hệ số A
b) Với gía trị r = a0 thì mật độ xác suất tìm electron là bao nhiêu?
c) Tính giá trị trung bình của toán tử ^U2 được viết là:
^
U2=⟨ R2,0( r )| ^U2| R2,0( r)⟩
d) Các mức năng lượng của electron tính bởi biểu thức: E n=−4
Rh
n2
; trong đó hằng
số Ripber là: R=3,27.1015(Hz) , h = 6,625 10-34 (J.s), c = 3.108 m/s; n là các số nguyên dương Tính tần số photon phát xạ khi electron chuyển mức từ E5 về mức
E2
Cho biết tính phân cơ bản:
∫
0
+∞
xkexp(−λxx).dx= k!
λxk+1
Good luck !
Trang 3TRƯỜNG ĐẠI HOC CẦN THƠ ĐÁP ÁN (Đề số : 01)
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2017
Môn: Cơ học lượng tử Chuyên ngành: Vật lý KT, Vật lý lý thuyết và VL toán
Thời gian làm bài: 180 phút
NỘI DUNG ĐÁP ÁN Câu 1 (tổng cộng 2.5 điểm)
a Biểu thức tường minh: ^Px=− i ℏ ∂
Đ)
Lx= yPz− zPy=− iℏ( y ∂
∂ z − z ∂ ∂ y ) (0.25 Đ)
b Chứng minh hệ thức Toán tử ^x ^P− ^P ^x=i ℏ⃗e1
vì ^x và ^P z giao hoán + ^ x và ^Py giao hoán xét giao hoán ^x và ^P x
Vì ^P= ^Px⃗ e1+ ^ Py⃗ e2+ ^ Pz⃗ e3 (0.25 Đ)
[ x , ^P ^ z] = ^ x ^Px− ^ Px^ x=(−i ℏ){x ∂
∂ x − x ∂ ∂ x −1}=i ℏ→ [ ^ x , ^P ] = [ ^ x , ^Px] ⃗ e1= iℏ.⃗e1
(0.25 Đ)
C- Tìm hàm riêng U(z) của ^P z ứng với trị riêng là 1:
ta có ^P z U ( z)=−i ℏ
∂U (z )
giải ^P z U ( z)=−i ℏ∂U (z )
∂x =1U ( z )→
∂U (z )
U ( z ) =
idz
ℏ U ( z)=C exp{ iz ℏ }
(0.25 Đ)
d- Chứng minh : Vì P^
2
= ^P
x2+ ^P
y2+ ^P
z2 và ^P z là giao hoán : [^P2, ^P z]=0 (0.25 Đ)
hàm U(z) (ở câu 1d) cũng là hàm riêng của toán tử ^P2 (0.25 Đ)
e- Tính các trị riêng của toán tử ^P2
^
P2U ( z)=−ℏ2∂2U ( z)
∂z2 =−ℏ2 ∂
∂z(C
i
ℏexp {iz
ℏ}) (0.25 Đ)
^
P2U ( z)=C exp{ iz ℏ }=1.U ( z)
trị riêng là 1 (0.25 Đ)
Câu 2
Trang 4a- Biểu thức tường minh các toán tử Spin ( σx, σy, σz )
(0.25)
^Sx= ℏ
2 σ ^x= ℏ
2 ( 0 1 1 0 ) → ^ Sx2= ℏ
2
4 ( 1 0 0 1 )
^Sy= ℏ
2 σ ^y=
ℏ
2 ( 0 −i i 0 ) → ^ S2y= ℏ
2
4 ( 1 0 0 1 )
^Sz= ℏ
2 σ ^z= ℏ
2 ( 1 0 0 −1 ) → ^ S2z= ℏ
2
4 ( 1 0 0 1 )
Spin ^S2= ^ S2x+ ^ S2y+ ^ S2z tường minh:
(0.25)
^
S2=ℏ
2
4 [ (0 11 0)(0 11 0)+(0 −i i 0 )(0 −i i 0 )+(1 00 −1)(1 00 −1) ]=
¿ℏ
2
4 [ (1 00 1)+(1 00 1)+(1 00 1) ]=3ℏ
2
4 (1 00 1)
b- Hai toán tử ^Sx, ^Sy là không giao hoán nhau vì:
(0.5)
^Sx^Sy= ℏ
2 ( 0 1 1 0 ) ℏ 2 ( 0 −i i 0 ) = ( 2 ℏ )2( 0 1 1 0 )( 0 −i i 0 ) = ( ℏ 2 )2( i 0 0 −i )
^Sy^Sx= ℏ
2 ( 0 −i i 0 ) 2 ℏ ( 0 1 1 0 ) = ( 2 ℏ )2( − i 0
0 i )
^Sx^Sy−^ Sy^Sx= ( ℏ 2 )2( i 0 0 −i ) − ( ℏ 2 )2( − 0 i 0 i ) = ( 2 ℏ )2( 2i 0 0 −2i )
c- Ta chứng minh là ^S2 và ^S x giao hoán (0.5)
^S2^Sx= 3 ℏ2
4 ( 1 0 0 1 ) 2 ℏ ( 0 1 1 0 ) = 3 ℏ2
4 ( 2 ℏ ) ( 0 1 1 0 )
^Sx^S2
= ℏ
2 ( 0 1 1 0 ) 3 ℏ 4 2( 1 0 0 1 ) = 3 ℏ2
4 ( 2 ℏ ) ( 0 1 1 0 ) giống nhau nên giao hoán
d- Xung lượng toàn phần trên trục z: J^z= ^L z+ ^S z viết tường minh:
^
Jz= ^ Lz+ ^ Sz= xPy− yPx+ Sz=− i ℏ( x d
dy − y
d
dx )+
ℏ
2 ( 1 0 −1 0 ) (0.5)
e- Chứng minh toán tử ^L z giao hoán toán tử ^S z
vì ^S z trong J^z= ^L z+ ^S z là giao hoán với ^S z chỉ xét giao hoán của [L^z , ^S z]
[ L ^z, ^Sz]=(− i ℏ) ℏ
2 ( x
d
dy − y
d
dx ) ( 1 0 0 −1 ) −(− i ℏ) ℏ
2 ( 1 0 0 −1 ) ( x d
dy − y
d
dx )=0
(0.5)
Câu 3
a- Hàm sóng U k Tính C k từ điều kiện chuẩn hóa:
Trang 50
w
C
k2sin2(kπxx
w )dx=C k2
1
2w=1→C k2=2
w→C k=√w2
(0.5)
b- Tính xác suất tìm thấy hạt ở mức năng lượng E3 ở tọa độ từ 0 đến (w/6)
∫
0
w/6
ϕ3¿
(x)ϕ3(x)dx=2
0
w/6
sin(3 πxx
w )sin(
3 πxx
2
0
w/61−cos(6 πxx
2
w .
1
2(
w
6 )−
1
0
w/6
cos(6 πxx
1
c- Tính trung bình của bình phương theo trạng thái K:
¿ϕ k¿
| ^P x2|ϕ k>=∫
0
w
ϕ¿k
(x)(−ℏ2
2 m)(d dx)2ϕ k(x)dx=
¿ℏ
2
(kπx )2
2 m( w)2
2
0
w
sin(kπxx
w )sin(
kπxx
w )dx =
ℏ2(kπx )2 m(w )2
2
w .
1
4 w=
ℏ2(kπx )2
2 mw 2
(0.5)
→<P2x>=ℏ
2
(kπx )2
2 mw 2
Với mức năng lượng thứ k là:
E k=k2πx2ℏ2
2 m e w2→E2=4 E1, E3=9 E1
E1= πx2ℏ2
2 m e w2=0,6 10
−17(J )=37 ,37 eV
e- Năng lượng trung bình của 3 mức năng lượng trên XS: 5/10, 3/10 và 2/10
¯
i=1,2,3
E i P i=E1 5
10+
4 E1 3
10+
9 E1 2
10=
25 10
E1
=2,5 E1
(0.25)
¯
E= =1,5.10-17 (J) =93,42(eV)
Câu 4 (2.5) :
a- Chuẩn hóa:
R2,0= A
2a0.(1− r
2 a0) exp{− r
2 a0}
Lấy tích phân: (0.75)
Trang 60
∞
R22,0 4πxr2dr=∫
0
∞
A2
4 a02.(1−r
2 a0)2exp {−r
a0}4 πxr
2dr=1
A2
4 a02 4 πx∫
0
∞
r2(1−r
a0+[r 2a0]2)exp {−r
a0}dr=1=
A2
4a02 4 πx∫
0
∞ (r2
−r3
a0+
r4
(2a0)2 )exp {−
r
a0}dr=
A2
4 a02 4 πx[2 !(1/a0)3−
1
a0
3 !
(1/a0)4+
1
(2a0)2
4 !
(1/a0)5 ]=1=πxA2
a02 {2 a03−6a03+6a30
}=
¿πxA2
a02 2 a0
3=2 πxA2a01
Suy ra:
b) r = 2a0 khi đó:
R2,0=A (1− r
2a0)exp {− r
2a0}=A (1−1
2)exp {−1
2}
xác suất tìm thấy
electron ở khoảng cách r = 2a0 là bằng √2πxa1 0.(12)exp{−1
2} (0,5)
c) giá trị trung bình
∫
0
∞
R2,0U2R2,0 4 πxr2dr=∫
0
∞
A2
4 a02.(1−r
2a0 )2exp {−r
2 a0}
4 K2e4
2dr=
A2
a02 .
4 πxK2e4
0
∞
dr(1−r
2a0)2exp{−r
2 a0}=
A2
a02 .
4 πxK2e4
1
2 a0−a0}=
¿A2
a02 .
4 πxK2e4
1
1
2 a0=A2
2 a0.
4 πxK2e4
A2
2a0.
4 πxK2e4
K2e4
a02
(0,75)
d- Tính bước sóng khi electron chuyển mức từ E 5 về E 2
Bước sóng chuyển mức:
E5−E2=4(Rh4 −
Rh
25 )=421 Rh
21 Rh
hc
λx →λx=
25 c
21 R (0.25)
λx= 25 c
(0.25)
Cần Thơ, ngày 18 tháng 8 năm 2017
Người ra đề