a Xác định mật độ xác suất tìm electron ở khoảng cách r = 2a b Dùng điều kiện chuẩn hóa để xác định hệ số A0.. Câu 3 2,0 Điểm: a Viết tường minh toán tử hình chiếu mômen xung lượng toàn
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HOC CẦN THƠ ĐỀ THI TUYỂN SINH
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2014 TRÌNH ĐỘ THẠC SĨ NĂM 2014 (đợt 2)
Môn: Cơ học lượng tử Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật Lý toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Đề số: 02
NỘI DUNG ĐỀ
Câu 1 (2,0 Điểm):
a
r exp(
) a 2
r ( A
R 0 mô tả xác suất tìm electron ở khoảng cách r đến nhân
của nguyên tử Z; trong đó a là bán kính Borh.
a) Xác định mật độ xác suất tìm electron ở khoảng cách r = 2a
b) Dùng điều kiện chuẩn hóa để xác định hệ số A0
c) Tính biểu thức sau: 2 2
r
r
Trong đó các giá trị trung bình r 2 và r
được xác định ở trạng thái biểu diễn bằng hàm sóng đã chuẩn hóa ở câu a)
Câu 2 (2,0 Điểm):
a) Viết biểu thức tường minh của toán tử 2
z 2 y 2 x
2 Lˆ Lˆ Lˆ
Lˆ trong hệ tọa độ Descartes b) Khảo sát tính giao hoán của hai toán tử Pˆ x , Lˆx
c) Tìm trị riêng của toán tử Pˆx ứng với hàm riêng có dạng là:
)}
z y x ( i exp{
A ) z , y , x (
d) Tìm trị riêng của toán tử Pˆ2 ứng với hàm F ( x , y , z ) ở câu c
Câu 3 (2,0 Điểm):
a) Viết tường minh toán tử hình chiếu mômen xung lượng toàn phần trên trục z là
z z
Jˆ
b) Toán tử Jˆ zcó cùng hàm riêng với toán tử Lˆzkhông? Giải thích
c) Khảo sát tính giao hoán của toán tử Jˆ z và toán tử 2
Sˆ d) Hàm F ( x , y , z ) A exp{ i ( x y z )} có phải là hàm riêng của toán tử Lˆxhay không? Nếu là hàm riêng thì trị riêng của nó là bao nhiêu?
Câu 4 (2,0 Điểm):
Trang 2Bài toán electron (khối lượng me) trong hố thế vuông hai chiều (x và y) có độ rộng a; Hàm sóng kích thích bậc hai được mô tả bởi biểu thức:
U (x.)U (y)
A ) y ,
x
a
z k sin(
) z (
UK và z có thể chọn là biến x hoặc y A là hằng số khác không
a) Xác định hệ số A
b) Tính xác suất tìm thấy electron trong khoảng (0 < x < a/2 và 0 < y < a/2 )
c) Tính mật độ xác suất tại x = (a/4) và y = (a/4)
d) Tính trung bình của toán tử 2
z 2 y 2 x
2 Pˆ Pˆ Pˆ
Pˆ ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng )
y ,
x
(
2
Câu 5 (2,0 Điểm):
Các mức năng lượng của electron trong nguyên tử Hydro cho bởi: n 2
n
G
E ; trong đó hằng số G là: G 2 , 17 10 18 ( J )
, n là các số nguyên dương
a) Tính năng lượng ion hóa (eV) của nguyên tử Hydro
b) Tính ba bước sóng đầu tiên của photon phát xạ khi electron chuyển từ các mức năng lượng cao về mức E2
a
r exp(
r A
R mô tả xác suất tìm electron ở khoảng cách r đến nhân, cho biết A là hằng số Xác định giá trị r = rmax để xác suất tìm thấy electron
là cực đại?
d) Xác định mật độ xác suất khi r = rmax
Cho biết tích phân cơ bản: k 1
0
dx ).
x exp(
Hết
Đề thi gồm 2 trang
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2014
Môn: Cơ học lượng tử
Trang 3Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật Lý toán
Thời gian làm bài: 180 phút
NỘI DUNG ĐÁP ÁN
Câu 1 a) Mật độ xác suất tìm electron ở r = 2a (0,5)
) a
r 2 exp(
a 2
r A
R
2 2
2
3 3
2 3 2 5
2 2
0 0
4
2
2
2 2 2
0
2 2
2
0
a 3
4 A
a 3
4 A
a 4
3 1
A 1 ) a / 2 (
! 4 a
A 1 dr } a
r 2 exp{
r
a
A
1 dr r 4 } a 4
r { a
r 2 exp A dr
r
4
.
R
2 2
4 3
4 2 6 2
2
5 2 2 2 2
a 4
25 r
a 2
5 a 8
15 a 3
4 a
8
15 A a 2
.
2
.
2
3
.
5
a
A
dr ) a
r 2 exp(
r a A R r
dr
r
4
r
2 5
3 5
2 7
2
2
6 2 2 2 2 2
2
a 2
15 a 8
45 a 3
4 a
8
45 A a
8
45
a
A
dr ) a
r 2 exp(
r a A R r dr
r
4
r
(0,5)
Tính
2
a 5 4
5 a a 4
25 a 2
15 r
Câu 2 a) biểu thức tường minh của các toán tử Lˆ2 (0.5)
z y yz 2 z
z y
y y
z z y
2
2 2
2
2
x
y x xy 2 y
y x
x x
y y
x
z x xz 2 z
z x
x z
x x
z
z y yz 2 z
z y
y y
z z y Lˆ
Lˆ
Lˆ
Lˆ
2 2
2 2 2
2
2
2
2 2
2 2 2
2
2
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 Z 2
Y
2
x
2
b) khảo sát 2 toán tử Pˆ x , Lˆx chúng giao hoán nhau (0.5)
Trang 4x y y x
; z x x z :
do
Lˆ
Pˆ ) x y
z x z y ( x
) i )(
y
z z y )(
i (
Pˆ
Lˆ
) y x
z z x y ( )
y
z z y )(
i ( x ) i (
Lˆ
Pˆ
2 2
2 2
x x 2
2 2
x
x
2 x
x
c) trị riêng của toán tử Pˆx với hàm F ( x , y , z ) A exp{ i ( x y z )} (0.5)
ta có
)}
z y x ( i exp{
.
A
)}
z y x ( i exp{
A ) i )(
i ( )}
z y x ( i exp{
A x ) i ( ) z
,
y
,
x
(
F
Pˆ
2
x
Trị riêng là 2
ứng với hàm riêng F ( x , y , z ) A exp{ i ( x y z )}
Z
2 Y
2 x
Pˆ với hàm F ( x , y , z ) A exp{ i ( x y z )} (0.5)
ta có
)}
z y x ( i exp{
.
A
3
)}
z y x ( i exp{
A )}
z y x ( i exp{
A )}
z y x ( i exp{
.
A
)}
z y x ( i exp{
A ) i )(
i ( )
z , y , x ( F Pˆ Pˆ
Pˆ
4
4 4
4
2 2
Z 2 Y 2
x
Trị riêng là 3 4 ứng với hàm riêng F ( x , y , z ) A exp{ i ( x y z )}
Câu 3
1 0
0 1 2
) dx
d y dy
d x ( i S yP xP Sˆ
Lˆ
b) Toán tử Jˆ zcó cùng hàm riêng với toán tử Sˆzvì giao hoán (0.5)
Xung lượng toàn phần trên trục z: Jˆ z Lˆ z Sˆ z viết tường minh:
1 0
0 1 2
) dx
d y dy
d x ( i S yP xP Sˆ
Lˆ
Chứng minh toán tử Lˆz giao hoán toán tử Sˆz Jˆ z Lˆ z Sˆ z là giao hoán Sˆz tức
là có cùng hàm riêng (vì Sˆz trong Jˆ z Lˆ z Sˆ z là giao hoán với chính nó Sˆz)
xét tác dụng các toán tử lên hai hàm sóng biểu diễn trong
2
1
0
0 ) dx / yd dy / xd
(
dx / yd dy
/ xd
2
)
i
(
0
0 dx / yd dy / xd (
dx / yd dy
/ xd 1 0
0 1 2 ) i ( )
dx
d y dy
d x ( 1 0
0 1 2 ) i (
Lˆ
.
Sˆ
:
ý
chú
0
0 ) dx / yd dy / xd
(
dx / yd dy
/ xd
2
)
i
(
) dx
d y dy
d x ( 2 ) i ( 1
0
0 1 ) dx
d y dy
d x ( 2 ) i ( Sˆ
.
Lˆ
2 2
1 1
2 2
1 1
2 1 2
1
z
z
2 2
1 1
2 1 2
1 2
1
z
z
Như nhau Kết luận toán tử Lˆzcó cùng hàm riêng với toán tử Sˆz
Trang 5c) toán tử Jˆ z giao hoán với toán tử Sˆ2 Vì SˆZ giao hoán với toán tử Sˆ2
(0.5)
còn Lˆ Z cũng giao hoán với toán tử 2
Sˆ - CM dưới đây:
0
0 ) dx / yd dy / xd (
dx / yd dy
/ xd 4 3 ) i ( )
dx
d y dy
d x ( 1 0
0 1 4 3 ) i (
Lˆ
.
Sˆ
:
ý
chú
0
0 ) dx / yd dy / xd (
dx / yd dy
/ xd 4 3 ) i ( 1
0
0 1 4 3 ) dx
d y dy
d x ( 2 ) i ( Sˆ
.
Lˆ
2 2
1 1
2 2
1 2
2
1
z
2
2 2
1 1
2 2
1 2
2
1
2
z
d) hàm F ( x , y , z ) có phải là hàm riêng Lˆx không ?
(0.5)
y zA exp{ i ( x y z )}
)}
z y x ( i exp{
A ) y
z z y )(
i ( ) z , y , x ( F ) y
z z
y
)(
i
(
2
Không phải là hàm riêng của Lˆx
Câu 4:
a
2 a
4 A a
4 A 1
4
a
A
1 a 2
1 a 2
1 A dy ) a
y ( sin dx ) a
x 2 (
sin
A
2 2
2 2
2
2 2
a
0 2
a
0
2
4
1 a 4
1 a 4
1 a
4 1
a 4
1
a
4
1
A
dy 2
) a
y 2 cos(
1 dx 2
) a
x 4 cos(
1 A dy ) a
y ( sin dx ) a
x 2 ( sin A
XS
2 2
2 / a
0
2 / a
0
2 2
2 / a
0 2
2 / a
0 2
c) Tính mật độ xác suất tại x = (a/4) và y = (a/4) (0,5)
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
a
2 2
1 1 a
4 )}
4 ( sin ) 2 ( in s { a
4 ) a
y ( sin ) a
x 2 ( in s A )
y
,
x
z 2 y 2 x
2 Pˆ Pˆ Pˆ
2
2 2
2 2
2 2
2 a
0 2
2 2
a
0
2
2 a
0 2
2 2
a
0
2
2 2 2 2
2 2 2
2 z 2
2 2
a
5 ) ( a
) ( a
2 )
(
dx ) a x 2 ( sin
dy ) a
y sin(
y ) )(
a
y sin(
A
dy ) a
y ( sin
dx ) a x 2 sin(
x ) )(
a x 2 sin(
A
Pˆ
Pˆ )
y , x (
Pˆ
Pˆ
Pˆ ) y ,
x
(
Câu 5
) eV ( 56 , 13 J 10 17 , 2 1
G 0 E E
Trang 6b) Tính ba bước sóng đầu tiên của photon phát xạ (0,5)
4 K
K 4 ( G
hc hc
K 4
4 K G ) K
1 4
1 ( G K
G 4
G
E
2 2
2 2
2 2
K
Thay vào các bước sóng:
) m ( 103 , 0 ) 32
36
(
G
hc
1
4 6 ( G
hc
) m ( 436 , 0 ) 21
100
(
G
hc
c) Xác định gía trị r max ứng với xác suất tìm được electron là cực đại (0, 5)
a 2 r a
r 2 0 } a
r 2 4 ){
a
r
2
exp(
r
) a
r 2 exp(
) a
2 ( r ) a
r 2 exp(
r 4 ) a
r 2 exp(
r
dr
d
) a
r 2 exp(
r RR )
a
r 2 exp(
)
(
R
3
4 3
4
4 2
2
r=0 là không thể , exp () luôn dương 0
dr
RR d
a 2 r 2
2
cực đại tại rmax =2a
) 4 exp(
) a 4 ( A ) a 2 r