BÁO CÁO ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC

Nếu phép ánh xạ giữ nguyên độ lớn và hướng của góc tại z0 giữa C1 và C2 và góc tại w0 giữa C’1 và C’2 trong mặt phẳng u,v thì phép biến đổi đó được gọi là phép ánh xạ bảo giác.. MỘT SỐ Ứ

NHÓM 2

ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC

BỐ CỤC BÀI BÁO CÁO

I PHÉP ÁNH XẠ

II PHÉP ÁNH XẠ BẢO GIÁC

III ỨNG DỤNG CỦA ÁNH XẠ BẢO GIÁC TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC

+ B được gọi là ảnh của A

+ Phép biến đổi trên được gọi là phép ánh xạ

Phép ánh xạ cũng cho phép biến đổi một điểm hay tập điểm B thành một điểm hay tập điểm A ( phép ánh xạ ngược)

(Đây là phép biến đổi kết hợp của các phép biến đổi trên.)

- Ảnh của điểm z1 là w1 = f(z1).

- Ảnh của một tập (đường thẳng, đường tròn, đĩa, …) liên quan đến tìm hàm ngược

1.3 Tìm ảnh qua phép ánh xạ

Dùng các phương trình hay bất phương trình mô tả tập A trên mp

z để nhận được phương trình hay bất phương trình mô tả tập B trên mp w.

Bài toán 1: Tìm ảnh của một điểm

Giải Ảnh A’: w = j2z + 3 = j2(-2 + j) + 3= 1 –j4

1.4 Một số bài toán sử dụng phép ánh xạ đơn giản

I PHÉP ÁNH XẠ

Ảnh B’: w = j2z + 3 = j2(3 +4j)+3 = -5 +j6

Bài toán 2: Ảnh của đoạn thẳng

I PHÉP ÁNH XẠ

Bài toán 2: Ảnh của đoạn thẳng

A’(w= 1-4j) và B’(w= -9+6j), phương trình v = – u – 3.

Bài toán 3: Tìm Ảnh của một miền

II ÁNH XẠ BẢO GIÁC

2.1 KHÁI NIỆM PHÉP ÁNH XẠ BẢO GIÁC

Giả sử phép ánh xạ từ điểm z0(x0,y0) trong mặt phẳng (x,y) sang điểm w0(u0,v0) trong mặt phẳng (u,v) và đường cong C1, C2 trong mặt phẳng (x,y) được ánh xạ sang đường C’1 và C’2 trong mặt phẳng (u,v) Nếu phép ánh xạ giữ nguyên độ lớn và hướng của góc tại z0 giữa C1 và C2 và góc tại w0 giữa C’1 và C’2 trong mặt phẳng (u,v) thì phép biến đổi đó được gọi là phép ánh xạ bảo giác

II PHÉP ÁNH XẠ BẢO GIÁC

2.2 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ÁNH XẠ BẢO GIÁC CƠ BẢN

Ví dụ 1 Phép biến đổi w = z 2 : Là bảo giác với mọi z khác 0 (z = x+jy,

2.2 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ÁNH XẠ BẢO GIÁC CƠ BẢN

Ví dụ 1 Phép biến đổi w = z 2 : Là bảo giác với mọi z khác 0 (z = x+jy,

Ví dụ 2 Phép biến đổi w = ez:Là bảo giác với mọi z.

Biến đường x = a ở miền z thành

đường tròn tâm O, R = ea ở miền w.

Biến đường thẳng y = b ở miền z thành

tia qua tâm O φ = b ở miền w.

Biến hình chữ nhật ở mp z thành

miền giữa 2 đường tròn và 2 tia ở mp w.

Biến nửa trái mp z thành

bên trong đường tròn đơn vị ở miền w.

Ví dụ 3 Phép biến đổi w = 1/z : Là bảo giác với mọi z khác 0.

Phép biến đổi này dùng để biến đổi miền ở giữa hai đường tròn cùng đi qua 1 điểm (không đối xứng)

II PHÉP ÁNH XẠ BẢO GIÁC

thành miền giữa hai đường thẳng (đối xứng)

3.1 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ÁNH XẠ BẢO GIÁC

- Ánh xạ bảo giác là một phương tiện quan trọng để giải những bài toán vật lý 2 chiều trong các lĩnh vực: cơ học chất lưu, trường tĩnh điện, truyền nhiệt Nội dung của phương pháp là giúp ta chuyển bài toán biên cấu trúc phức tạp sang bài toán biên cấu trúc đơn giản hơn mà ta đã biết lời giải

- Ánh xạ bảo giác ứng dụng nhiều trong kỹ thuật điện – điện tử để giải các bài toán điều kiện biên (bài toán Dirichlet)

+ Bài toán tìm thế điện của Trường điện tĩnh là bài toán điều kiện biên cơ

bản nhất với việc giải phương trình Laplace

+ Trong môn học Trường điện từ , ta thường kèm điều kiện đối xứng,

bỏ hiệu ứng mép, … để Thế điện chỉ phụ thuộc 1 biến tọa độ và bài toán giải

được dễ dàng

3.2 Tính chất của ánh xạ bảo giác khi áp dụng trong điện động lực học

Dùng ánh xạ bảo giác chuyển một miền có biên phức tạp về

một miền có biên đơn giản ( tính trường điện, thế điện, …)

- Biến hàm điều hòa thành hàm

điều hòa (hàm điều hòa là

nghiệm của pt Laplace).

Khi f(z) là bảo giác thì nghiệm của 2 phương trình Laplace ở hai miền D và D’ là như nhau.

III ỨNG DỤNG PHÉP ÁNH XẠ BẢO GIÁC TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC

- Điều kiện biên Dirichlet và

Neumann không đổi dưới phép

biến đổi bảo giác

- Bảo toàn giá trị của điện dung

3.3 Các bước giải bài toán điện động lực khi dùng ánh xạ bảo giác

Step1: Tìm ánh xạ bảo giác w = f(z) biến miền D thành D’.

Step2: Chuyển điều kiện biên ϕ = A ở miền D thành ϕ = A ở miền D’ Step3: Giải tìm nghiệm phương trình Laplace ϕ = f(u, v) ở miền D’ Step4: Suy ra nghiệm ở miền D: ϕ(x, y) = ϕ[u(x, y), v(x, y)].u(x, y), v(x, y)].

3.4 Giải một số bài toán điện động lực bằng cách áp dụng ánh

xạ bảo giác.

BÀI TOÁN 1: Thế điện giữa 2 bản cực hyperbol

Tìm phân bố thế điện trong miền giữa 2 bản cực hyperbol như H1 ?

Giải Dùng công thức w = z2 biến đổi hai bản cực hyperbol thành hai bản cực thẳng.

φ = 25v – 50 Vì v = 2xyv – 5v – 50 Vì v = 2xy0 Vì v = 2xy

=> φ = 5v – 50 Vì v = 2xy0xy – 5v – 50 Vì v = 2xy0 (V) Đây là hàm phân bố

điện thế cần tìm

BÀI TOÁN 1: Thế điện giữa 2 bản cực hyperbol

Tìm phân bố thế điện trong miền giữa 2 bản cực hyperbol như H1 ?

Hình ảnh phân bố điện thế giữa hai bản cực hyperbol (Vẽ bằng

Matlab)

BÀI TOÁN 2: Tìm phân bố điện thế trong miền giữa hai bản cực

Hình ảnh phân bố điện thế giữa hai bản cực hyperbol (Vẽ bằng Matlab)

BÀI TOÁN 2: Tìm phân bố điện thế trong miền giữa hai bản cực

bán kính 1 (Hình H1)

(1): Giáo trình bài giảng phương pháp ánh xạ bảo giác - thầy Trần Thanh Hải.

(2): Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBK TPHCM

(3): Các nguyên lý cơ bản của thuyết ánh xạ bảo giác - Luận văn thạc sĩ: Lê Thị Mỹ Hạnh - Trường ĐHSP

TPHCM.