TRƯỜNG ĐẠI HOC CẦN THƠ ĐỀ THI TUYỂN SINHHỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2016.. đợt 2 Môn: Cơ học lượng tử Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật Lý toán Thời gian làm bài: 180 phút Đề số: 01 NỘI
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HOC CẦN THƠ ĐỀ THI TUYỂN SINH
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2016 TRÌNH ĐỘ THẠC SĨ NĂM 2016 (đợt 2)
Môn: Cơ học lượng tử Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật Lý toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Đề số: 01
NỘI DUNG ĐỀ
Câu 1 Momen xung lượng toàn phần (2,5 Điểm):
a) Viết biểu thức tường minh của các toán tử thành phần hình chiếu của momen xung lượng toàn phần là J ˆx , Jˆ y và J ˆz
trong hệ tọa độ Descartes
b) Khảo sát tính giao hoán của hai toán tử Jˆx và Sˆx
c) Toán tử Sˆzcó hai hàm riêng tương ứng các trị riêng là 2và 2 Cho biết toán
tử Sˆx có cùng các hàm riêng của Sˆzkhông ? Giải thích bằng biểu thức toán học d) Tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử có dạng là: 2
z 2 y 2
x i Sˆ i Sˆ
Sˆ
Câu 2 Hàm riêng trị riêng (2,5 Điểm):
a) Hàm sóng 3D trong hệ tọa độ Descaster có dạng:
)}
z y x ( exp{
A ) z , y
,
x
(
sóng trong toàn không gian để xác định A
nhận hàm F(x, y, z) là hàm riêng hay không? Tính trị riêng nếu trong các toán tử trên nhận F(x, y, z) là hàm riêng
c) Viết biểu thức tường minh của toán tử bình phương Rˆ Bˆ2
d) Toán tử Rˆ Bˆ2 có nhận hàm F(x, y, z) làm hàm riêng không? Giải thích
Câu 1 (2,5 Điểm):
mô tả xác suất tìm electron ở khoảng cách r đến nhân
của nguyên tử Z; trong đó a là bán kính Borh.
a) Dùng điều kiện chuẩn hóa để xác định hệ số A0
b) Xác định mật độ xác suất tìm electron ở vị trí r = 2a
c) Tính trung bình của toán tử điện trường được xác định ở trạng thái biểu diễn bằng hàm sóng đã chuẩn hóa ở câu a) Cho biết toán tử điện trường có dạng:
Trang 22 2
r
e k
Eˆ trong đó k là hằng số điện, e là điện tích của electron
d) Tính giá trị trung bình của toán tử
r r
e k ) (
Pˆ 2
2
xác định ở trạng thái biểu diễn bằng hàm sóng đã chuẩn hóa ở câu a)
Câu 4 (2,5 Điểm):
Bài toán electron (khối lượng me) trong hố thế vuông hai chiều (x và y) có độ rộng a; Hàm sóng kích thích bậc hai được mô tả bởi biểu thức:
2(x, y) A U (x).U (y) U (x).U (y)1 1 2 2
hàm và z có thể chọn là biến x hoặc y ứng với mức năng lượng
2
k E 2ma
A là hằng số khác không
a) Xác định hệ số A
b) Tính mật độ xác suất tại x = (a/2) và y = (a/2)
c) Tính xác suất tìm thấy electron trong khoảng (0 x a;0 y a
)
d) Tính trung bình của toán tử động năng theo x là : x2
x
ˆP
E 2m ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng 2 (x, y)
Cho biết các tích phân cơ bản:
k 1 0
k!
Hết
Đề thi gồm 2 trang
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2016
Môn: Cơ học lượng tử
Trang 3Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật Lý toán
Thời gian làm bài: 180 phút
NỘI DUNG ĐÁP ÁN
0 1
1 0 2
) dy
d z dz
d y ( i S zP yP Sˆ
Lˆ
0 i
i 0 2
) dz
d x dx
d z ( i S xP zP Sˆ
Lˆ
1 0
0 1 2
) dx
d y dy
d x ( i S yP xP Sˆ
Lˆ
b) Toán tử Jˆ xgiao hoán với toán tử Sˆx
(0.5)
x
x
x Lˆ Sˆ
Jˆ là giao hoán Sˆx (vì Sˆ xlà giao hoán với chính nó Sˆz) nên xét vớiLˆx
xét tác dụng các toán tử lên hai hàm sóng biểu diễn trong
2
1
0
0 ) dx / yd dz
/ yd
dy / zd dz
/ yd
2
)
i
(
0
0 ) dx / yd dz
/ yd
dy / zd dz
/ yd 0 1
1 0 2 ) i ( )
dy
d z dz
d y ( 0 1
1 0 2 ) i (
Lˆ
.
Sˆ
:
ý
chú
0
0 ) dx / yd dz
/ yd
dy / zd dz
/ yd
2
)
i
(
) dx
d y dy
d x ( 2 ) i ( 0
1
1 0 ) dy
d z dz
d y ( 2 ) i (
Sˆ
.
Lˆ
1 1
2 2
2 2
1 1
2 1 2
1
z
z
1 1
2 2
2 1 2
1 2
1
x
x
2 biêu thức như nhau Kết luận toán tử Lˆxgiao hoán với toán tử Sˆx
c) toán tử Sˆx không giao hoán với toán tử SˆZ nên không cùng hàm riêng
(0.5)
CM dưới đây:
0
1 1
0 4 1 0
0 1 0 1
1 0 4
Sˆ .
Sˆ
: ý chú
0
1 1
0 4 0 1
1 0 1 0
0 1 4
Sˆ .
Sˆ
2 2
z z
2 2
z z
khác nhau nên không giao
hoán
d-xác định toán tử Sˆ Sˆ Sˆ 4 01 10
2 2 x 2 x 2 x
1
0 0
1 4 1
0 0
1 4
i 1
0 0
1 4
i 1
0 0
1 4 Sˆ i Sˆ i Sˆ
Qˆ
2 2
2 2
2 2
Chứng minh Q là giao hoán được với S z nên cùng hàm riêng (0.25)
Trang 42 1 2
1 2
z 2 x 2
x
4 1
0
0 1 4 Sˆ i Sˆ i Sˆ
Qˆ
có giá trị là
4
2
(0.25) Bài 2
4 / 3 3
2
3 2 2
2 2 2 2
2 A
1 2
A
1 dx ) x 2 exp(
A dz dy dx }) z y x 2
exp(
.
A
b) Xác định hàm riêng trị riêng: cho câu c (0,5)
}) z y x { exp(
A ) 2 ( i }) z y x { exp(
A x x
i )
z
,
y
,
x
(
F
Vậy F là hàm riêng của B với trị riêng là 2 i 2
}) z y x exp(
A ) 2 ( i }) z y x exp(
A y y
i )
z
,
y
,
x
(
F
Vậy F là hàm riêng của C với trị riêng cũng là 2 i 2
}) z y x { exp(
A ) 2 ( i }) z y x { exp(
A z z
i )
z
,
y
,
x
(
F
Vậy F là hàm riêng của D với trị riêng là 2 i 2 (0,5)
2 2
2
x x
1 x x
1 x
) x x
i ( x x
i
Bˆ
}) z y x exp(
A ) x ( Q }) z y x exp(
A x x
1 x x
1 x )
z
,
y
,
x
(
F
Bˆ
2 2 2
2
với Q(x) có dạng là hàm theo x………
Như vậy BB không nhận F(x) là hàm riêng
Bài 3
a) Chuẩn hóa: để xác định A: 0
3 3
2
3 4 5
2 2 2
3 2
4
2
a 8
3 A
1
a
3
2
A
4
1 a
! 2 a a 3
! 23 a a 9
! 4 A 4 dr ) a / r exp(
r a 3
r 2 a
9
r
.
A
4
9
) 1 exp(
A ) 1 exp(
1 3
2 A
2 2
9
) 1 exp(
a 8
3
3
Trang 5c) - Xác định trị trung bình của toán tử 22
r
e k
a 9
20 ke a 8
3 a 9
20 ke A 1
4 ke A 9
a 5 a a 3
2 9
a 2 1
4
ke
A
dr ) a
r exp(
) 1 a 3
r ( 1
4 ke A R r
e k dr r 4
r
e
k
2 3 2
2 2
2 2
2
0
2 2
2 2 2
2 2 2
2
d)) Tính giá trị trung bình của toán tử
r r
e k ) (
Pˆ 2
2
9
28 ke A ) 9
7 ( 4 ke A 9
12 9
7 9
2 4
ke
A
1
a a 3
4 1
a a 9
7 1
a a 9
2 4
ke A dr ) a
r exp(
) a 3
4 a 9
r 7 a 9
r (
4
ke
A
dr ) a
r exp(
) a 3
4 a 3
r a 9
r 4 a 9
r ( 4 ke A dr ) a
r exp(
a 3
4 a 3
r ( ) 1 a 3
r (
4
ke
A
dr ) a 2
r exp(
a 3
1 ) a
1 )(
1 a 3
r ( ) a 2
r exp(
) 1 a 3
r ( 4
ke
A
) a 2
r exp(
) 1 a 3
r ( dr r
) a 2
r exp(
) 1 a 3
r ( 4 ke A Rdr r r
e k R r 4 r
r
e
k
P
2 2 2
2 2
2
2 2 3 3 2
2 0
2 3
2 2
2
0
2 2 3
2 2
2 2
0
2
2
0
2
2
0
2 2 2
2 2 2
2
Câu 4:
a) chuẩn hóa : 2 (x, y) A U (x).U (y) U (x).U (y) 1 1 2 2 (0,5)
1 dy dx ) a
y 2 sin(
) a
x 2 sin(
a
2 ) a
y 1 sin(
) a
x 1 sin(
a
2
A
2 a
0
2
1 dy ) a
y 2 ( sin dx ) a
x 2 ( sin a
4 A dy ) a
y 1 ( sin dx ) a
x 1 ( sin
a
4
A
1 dy dx ) a
y 2 ( sin ) a
x 2 ( sin a
4 ) a
y 1 ( sin ) a
x 1 ( sin a
4
A
a
0 2 a
0
2 2 2 a
0 2 a
0
2 2
2
2 2
2 2
2 2
a
0
2
2 / 1 A 1 A 2 4
a a
4 A
4
a
a
4
2 2 2
2
2
b)) Tính mật độ xác suất tại x = (a/2) và y = (a/2) (0,5)
2 2 2
a
2 a
4 2
1 ) sin(
) sin(
a
2 ) 2
1 sin(
) 2
1
sin(
a
2
2
1
c) Xác suất tìm thấy electron trong khoảng (0 x a ;0 y a
1 dy dx ) a
y 2 sin(
) a
x 2 sin(
a
2 ) a
y 1 sin(
) a
x 1 sin(
a
2
A
2 4
/
a
0
2
Trang 60 4
a 8
a a
4 A )
a
x 4 sin(
2
a 2
1 4
a 2
1 a
4 A )
a
x 2 sin(
2
a 2
1
4
a
2
1
a
4
A
dx 2
) a
x 4 cos(
1 a
4 A dx 2
) a
x 2 cos(
1
a
4
A
dx ) a
x 2 ( sin a
4 A dx ) a
x 1 ( sin
a
4
A
dy ) a
y 2 ( sin dx ) a
x 2 ( sin a
4 A dy ) a
y 1 ( sin dx ) a
x 1 ( sin
a
4
A
2 2
2
2 4 / a 0 2
2
2 4 / a 0 2
2
2 4
/ a
0 2 2
2 4
/
a
0
2
2
2 4
/ a
0
2 2
2
2 4
/
a
0
2 2
2
0 2 0
2 2 2 0
2 0
2
2
2
d) trung bình của x2
x
ˆP
E 2m 2
2 2
x
) m 2
(
x
) m 2 ( y
,
x
2
do tính trực giao:
) ma
( 2
a 2
a a
2 ) m 2
( a
2 2
a 2
a a
)
m
2
(
a
2
dy ) a
y 2 ( sin dy ) a
x 2 sin(
x
) m 2
)(
a
x 2
sin(
a
4
2
1
dy ) a
y ( sin dx ) a
x sin(
x
) m 2
)(
a
x
sin(
a
4
2
1
) y ( U ) x ( U x
) m 2 ( ) y ( U ) x ( U )
y ( U ) x ( U x
) m 2 ( y
(
U
)
x
(
U
2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 a
0 2
2 2 2
a
0
2 a
0 2
2 2 2
a
0
2 2 2
2 2 2
2 1
1 2
2 2 1
1