ĐỀ TÀI CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Tuy nhiên bên cạnh đó nội dung cơ sở lý thuyết cũng như bài tập vận dụng của Cơ học lượng tử tương đối khá phức tạp, chỉ có một số ít bài toán có lời giải chính xác cho phương trình Schr

A MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Như chúng ta biết Cơ học lượng tử là một lý thuyết Vật lý nghiên cứu sự vận động của vật chất trong thế giới vi mô, các hạt trong thế giới đó gọi là vi hạt Vấn đề ở đây là các quy luật vận động của vi hạt không tuân theo các quy luật cổ điển Chỉ có

cơ học lượng tử mới giải quyết một cách sâu sắc các quy luật và chính xác các hiện tượng này

Tuy nhiên bên cạnh đó nội dung cơ sở lý thuyết cũng như bài tập vận dụng của

Cơ học lượng tử tương đối khá phức tạp, chỉ có một số ít bài toán có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: Bài toán hạt trong

hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hiđrô (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm) Nhưng trong đó Dao động tử điều hòa là bài toán cơ

bản nhất, có lời giải chính xác không những trong cổ điển mà cả trong cơ học lượng tử

và đây cũng là bài toán giải được chính xác trong cơ học lượng tử Vì vậy em chọn đề tài này để nghiên cứu

II PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Trong Cơ học lượng tử, kiến thức về cơ sở lý thuyết khá rộng được phân bổ thành nhiều chương Nhưng ở đây ta chỉ xét phần “Dao động tử điều hòa” Cụ thể là nghiên cứu về năng lượng của dao động tử điều hòa lượng tử 1 chiều và 3 chiều và các dạng toán liên quan đến dao động tử điều hòa

III MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

Tìm hiểu về Dao động tử điều hòa: khái niệm, các loại Dao động tử điều hòa, ứng dụng giải các bài tập

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Ở đây ta đi nghiên cứu về năng lượng của dao động tử điều hòa

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Thu thập thông tin, tài liệu từ các nguồn: Internet, tài liệu khác

- Phân tích và tổng hợp tài liệu

- Dựa trên kiến thức lĩnh hội được trong quá trình học và các lý thuyết sẵn có

- Đưa ra các bài tập vận dụng

B NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I.1 Khái niệm Dao động tử điều hòa

Trong cơ học cổ điển, dao động tử điều hòa là một hệ thống cơ học thực hiện dao động mà chuyển động của có thể mô tả bởi những hàm số điều hòa của thời gian, mà

cụ thể ở đây thường là hàm sin và cosin Năng lượng của dao động tử điều hòa có thể nhận các giá trị liên tục và tần số bức xạ trùng với tần số dao động cơ học của dao động tử điều hòa Ví dụ như dao động của con lắc đơn, con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng

Trong cơ học lượng tử, dao động điều hòa là khi một vi hạt thực hiện dao động nhỏ điều hòa xung quanh vị trí cân bằng Năng lượng của các dao động tử điều hòa có giá

trị gián đoạn (khác với lý thuyết cổ điển) Ví dụ như dao động của nguyên tử trong phân tử, dao động của các ion xung quanh nút mạng tinh thể v.v…

Chuyển động của dao động tử điều hòa gọi là dao động điều hòa Nó là một hiện tượng rất quan trọng của vật lý nói chung và cơ học lượng tử nói riêng

I.2 Dao động tử điều hòa 1 chiều

Xét một hạt có khối lượng m chuyển động trên trục x chịu tác dụng của một lực F

tỉ lệ với x và trái dấu với x:

F = -kx

 Theo cơ học cổ điển:

Hạt sẽ dao động quanh vi trí cân bằng x = 0 vì thế ta gọi nó là dao động tử điều hòa Phương trình của dao động tử điều hoà theo cơ học cổ điển là:

2 2

d x

F mx m

dt

= &&=

hay là

2

d x k

x

dt +m =

trong đó k

m là một số dương, ta đặt: 2 k

m

ω =

Nghiệm của phương trình, có dạng: x A= sinωt Bc+ osωt

x a= ω ϕt+

Động năng của hạt tính bằng công thức:

Thế năng bằng: F U dU

∂

∂ cho rằng hàm F tác dụng theo phương x

Năng lượng toàn phần của hạt bằng: 2 2

2

ma

E T U= + = ω

Ứng với một giá trị ω, năng lượng có thể có những giá trị liên tục, tỉ lệ thuận với a.

 Theo cơ học lượng tử:

Ta có toán tử động năng:

2 '

2 2 2

ˆ ( )

m x

d

T x

m dx

∧

 

 ÷

 

Nếu xét bài toán trong cơ học lượng tử tức là viết phương trình Schrodinger cho

2 2 2 2 2

ˆ ( )

U x = ∧ = ω ∧ = ω

trong đó toán tử 2 2

x∧ =x là một phép nhân bình thường.

Vậy phương trình Schrodinger có dạng:

2

x u x E u x

m dx

ω

h

2

2

1

d

m x u x E u x

mi dx + ω  =

h

Lưu ý ta dùng chỉ số n để kí hiệu thứ tự của mức năng lượng (n là số nguyên), un(x)

là nghiệm ứng với mức năng lượng En Giải phương trình này ta có thể tìm thấy nghiệm un(x) dưới dạng chuỗi lũy thừa, chuỗi này phải thỏa mãn một số điều kiện Từ các điều kiện có thể suy ra giá trị của năng lượng En

Đế giải bài toán này ta xem hai toán tử a+, a_ có dạng là:

1 2

d

i dx

h

Ta tính giao hoán tử của hai toán tử đó bằng cách dung một hàm f(x):

1

2

2

2 2

2

1

( ) 2

1

2

d

m i dx

như vậy: ( ) ( ˆ 1 ) ˆ ( ) 1

tương tự: ( ) ( ˆ 1 ) ˆ ( ) 1

Lấy (*) – (**) ta được:

a a− + − a a+ − = H+ hω − H − hω =hω

Ta dùng phương trình (**) để viết lại phương trình Schrodinger:

1

2

Hu x = a a+ − + ωu x =E u x

Đến đây ta chứng minh nếu U(x) là nghiệm riêng nào đó thỏa mãn phương trình Schrodinger với trị riêng E thì hàm a U x+ ( )cũng thỏa mãn phương trình Schrodinger với năng lượng riêng là E+hω

H a U+ = a a+ − + ωa U+ =a a a U+ − + + ω a U+

Tương tự ta cũng chứng minh nếu U(x) là nghiệm riêng nào đó thỏa mãn phương trình Schrodinger với trị riêng E thì hàm a U x− ( )cũng thỏa mãn phương trình Schrodinger với năng lượng riêng là E−hω

H a U− = a a− + − ωa U− =a a a U− + − − ω a U−

Kết luận: Khi tác dụng toán tử a+lên một trạng thái uk(x) có mức năng lượng Ek

nào đó ta được một trạng thái u k+1( )x có mức năng lượng Ek +hω còn khi tác dụng toán

tử a−lên một trạng thái uk(x) có mức năng lượng Ek nào đó ta được một trạng thái

1( )

k

u − x có mức năng lượng Ek -hω Các toán tử a+, a_ được gọi là toán tử tăng và toán

tử giảm

Nếu cứ tác dụng liên tục toán tử a- lên một trạng thái nào đó thì trị riêng năng lượng sẽ giảm dần và có lúc sẽ nhỏ hơn không Như vậy chắc chắn sẽ có một trạng thái thấp nhất gọi là trạng thái cơ bản u0(x) sao cho: a_u0(x) = 0

1

2

d

i dx

h

0

0

( )

Để tìm ra trị riêng năng lượng ở trạng thái cơ bản ta sử dụng (**)

Hu x = a a+ − + ωu x =E u x = ωu x

Như vậy: 0

1 2

E = hω Đây chính là giá trị năng lượng ở mức cơ bản

Các mức năng lượng cao hơn được tìm thấy bằng cách tác dụng toán tử tăng lên trạng thái cơ bản liên tục thì trị riêng của các trạng thái cao hơn (gọi là trạng thái kích thích) Như vậy năng lượng của các dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn (khác với lý thuyết cổ điển) và có giá trị nhỏ nhất bằng min

1 2

E = hω năng lượng này được gọi

là năng lượng không Các mức năng lượng kích thích là: 1

2

k

E =k+ ÷ ω

 h (***)

trong đó k là các số nguyên dương hoặc bằng không k = 0,1,2,3…

Từ (***) nếu dung điều kiện chuẩn hóa có thể tính được:

1 4 0

m

π

=  h ÷

Ta có thể tìm được biểu thức của hàm song biểu diễn cho dao động tử điều hòa

uk(x) ứng với mức năng lượng thứu k là:

1

0

1

0

2

2

k

π

π

Năng lượng cơ bản liên quan chặt chẻ với dao động không của dao động tử, nghĩa

là khi nhiệt độ T tiến về không, dao động tử vẫn dao động với mức năng lượng

min

1

2

E = hω Điều này đã được thực nghiệm xác nhận bằng thí nghiệm tán xạ của tia X qua tinh thể khi ở nhiệt độ thấp Tia X bị tán xạ là do các dao động nguyên tử trong mạng tinh thể gây ra

Theo cơ học cổ điển, khi nhiệt độ càng giảm, biên độ dao động của các nguyên tử giảm dần đến 0, do đó sự tán xạ của ánh sang phải biến mất

Nhưng thực nghiệm chứng tỏ, khi nhiệt độ giảm, cường độ tán xạ tiến tới một giới hạn nào đó Điều đó có nghĩa là, ngay cả khi nhiệt độ tiến về không, sự tán xạ ánh sang vẫn xảy ra và các nguyên tử trong mạng tinh thể vẫn dao động, tương ứng với năng lượng E0 nào đó.Như vậy thực nghiệm về tán xạ của tia X qua tinh thể ở nhiệt độ thấp đã chứng tỏ sự đúng đắn của cơ học lượng tử

Sự tồn tại của “năng lượng không” cũng phù hợp với những hệ thức bất định Heisenberg Thực vậy, nếu mức năng lượng thấp nhất của dao động bằng 0, như thế có nghĩa là hạt đứng yên và vận tốc và tọa độ của vi hạt được xác định đồng thời (đều bằng 0), điều này mâu thuẫn với hệ thức bất định Sự tồn tại của mức năng lượng

"không" của dao động điều hòa là một trong những biểu hiện đặt trưng của lưỡng tính sóng hạt của vi hạt

I.3 Dao động tử điều hòa lượng tử 3 chiều

Ta có thế năng: 1 2 2 1 2 2 1 2 2

( , , )

U x y z = m xω + mω y + m zω

Phương trình Schrodinger ba chiều:

ˆ ( , , ) ( , , )

Hψ x y z =Eψ x y z

Nghiệm của phương trình là:

x y z

=

II BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho một dao động tử điều hòa một chiều.

a) Xuất phát từ hệ thức bất định, xác định mức năng lượng thấp nhất có thể có của dao động tử điều hòa

b) Tính các giá trị trung bình x x, 2 của dao động tử điều hòa ở trạng thái cơ bản (trạng thái có mức năng lượng thấp nhất) ψ0( )x .

( )

2

ax 2 4

0 x a e ,a mω ψ

π

−

h

Cho e ax2dx

a

π

+∞

−

−∞

=

Bài giải

a) Ta có: ˆ 2 2 2

m

ω

∧

Năng lượng trung bình của dao động tử điều hòa được xác định bằng công thức:

ˆ

x

∧

Theo hệ thức bất định ta có:

( ) ( )

2

2







Thay vào (1) ta được: ( )2 ( )

m

ω

 2 2 2

m

ω

∆

Áp dụng hệ thức bất định

2 2

2

4

x

p

x

∆ ≥

∆

h

ta có:

2 2

m

m x

ω

∆ h

2 8

m

m x

ω

∆ h

ma

ω

= h + ; 2

a= ∆x

'

m

f a

ma

ω

−



2

m

ma



2 2

2 2

2

2

f

h

h

Vậy mức năng lượng thấp nhất có thể có của dao động tử điều hòa một chiều là:

min

2

E = hω

b) Ta có: 0* 0

x +∞ψ ψx dx

−∞

= ∫ n = 1, 2, 3, 4

2

ax 2 4

0( )x a e

ψ

π

−

h

0ˆ 0

x +∞ψ ψx dx

−∞

= ∫

2

ax

x

−

Ta có hàm số f(x) = xe ax2dx

+∞

−

−∞∫ là hàm lẻ vì f(-x) = -f(x), mà cận chạy từ −∞ → +∞

là cận đối xứng nên f(x) = 0

.0 0

a

x

x

*

2

x

−

Cách 1:

Ta có: ax2

1

a

π

+∞

−

−∞

2

I

π

+∞

−

−∞

∂

2

4 ax 2

3 4

I

π

+∞

−

−∞

∂

2

3

a x

a

π

x

π

Vì hàm f x( ) =x e3 − ax 2 là hàm lẻ và cận đối xứng

2

Cách 2:

* 2 a 2 ax2

x

+∞

−

−∞

Đặt 2

ax

2

u x du dx

e

dv xe dx v

a

−

−









2

2

ax

π

+∞

−∞

+∞

−

−

−∞

−

* 4 a 4 ax2

x

+∞

−

−∞

2

ax ax

3

2

e

dv xe dx v

a

−

−







2

2

2 ax

2

+∞

−∞

+∞

−

−

−∞

Bài 2: Thế năng của dao động tử điều hòa ba chiều có dạng:

, ,

U x y z = m xω + mω y + m zω

trong đó: m, ,ω ω ω1 2, 3là các hằng số.

Tìm hàm sóng và các mức năng lượng của dao động tử điều hòa ba chiều

Bài giải

Phương trình Schrodinger của dao động tử điều hòa ba chiều có dạng:

m

h

Đặt ψ (x y z, , )=ψ( ) ( ) ( )x ψ y ψ z và thay vào phương trình trên rồi chia cả hai vế của

phương trình vừa nhận được cho ψ( ) ( ) ( )x ψ y ψ z ta có:

2 2

2 2 3 2

z

ψ

∂

h

Ta suy ra:

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

1

1

1

x

y

z

ψ

ψ

ψ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

h

h

h

với E1, E2, E3 bằng const và E = E1 + E2 + E3 Các hàm sóng ψ ( ) ( ) ( )x ,ψ y ,ψ z là các

phương trình dao động tử điều hòa một chiều

Đặt m 1

X = ω x

Y = ω y

Z = ω z

h ta có:

2

2

X

1 2

n

E = ω n + ÷

h

2

2

Y

1 2

n

E = ω n + ÷

h

2

2

Z

1 2

n

E = ω n + ÷

h

với n1, n2, n3 = 0, 1, 2, 3… và A A A n1, n2, n3là các hệ số chuẩn hóa hàm sóng:

1

1

1 4 1

1

1

m A

n

ω π

2

1 4 2

2

1

m A

n

ω π

3

1 4 3

3

1

m A

n

ω π

=  h ÷

Hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa ba chiều được xác định như sau:

1 1 2 2 3 3

2

h

với n1, n2, n3 = 0, 1, 2, 3,…

Hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa ba chiều được xác định như sau:

2

h với n n n1, ,2 3=0,1, 2,3

Bài 3: Viết toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa một chiều trong biểu diễn

xung lượng.Tìm hàm riêng và trị riêng của nó trong biểu diễn xung lượng

Bài giải

Toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa một chiều trong urp- biểu diễn có dạng:

2

2

2

ˆ

Phương trình hàm riêng và trị riêng của Hˆ :

Hϕ p =Eϕ p

Đưa vào thông số không thứ nguyên p

m

ξ

ω

=

h và đặt λ 2E

ω

=

h , ta có:

( ) ( )

2

2 2

( )

0

d d

Nghiệm ϕ ξ( ) được tìm dưới dạng: ( ) ( )

2

2 y e

ξ ξ

Khi đó hàm y( )ξ thỏa mãn phương trình:

2

ny

Nghiệm y( )ξ được tìm dưới dạng: ( )

0

n k k k

=

2

2

n k

+

−

=

+ + , n = 0, 1, 2…

1 2

n

E = ω n+ ÷

h

Hàm ϕ ξ( ) có thể viết dưới dạng: ( ) ( )

2

2

ξ

1

n n

d

d

ξ

ξ

−

1

4 1

2 !

m A

n

ω π

=  h ÷

Bài 4: Tìm hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn đối với dao động tử điều

hòa ở trạng thái cơ bản

2 2

1 2

2

  với

1 2

2

mω

α =  h÷

Bài giải

Hàm sóng trong biểu diễn xung lượng ϕ( )p được xác định bằng công thức:

2

*

2 ( )

2

i

x px p

x

A

A

α

π ϕ

π

+∞

−∞

=

∫

h

h h

Trong đó

1 2

2

π

  ;

1 2

2

mω

α =  h÷ ; β 2ip

α

= h

Thực hiện phép tính tích phân ta có:

2

2 2

4

1 ( )

2

p

ϕ

−

h

Bài 5: a) Tính vị trí và toán tử xung lượng X tˆ ( )H và P tˆ ( )H trong bức tranh Heisenberg cho dao động tử điều hòa một chiều

b) Tìm phương trình chuyển động Heisenberg cho X tˆ ( )H và P tˆ ( )H

Bài giải

a) Hàm Hamilton của dao động tử điều hòa có dạng

2

2 2

1 ˆ

p

∧

∧

2

i

1

2

H p mω X P∧ ∧ i mω X

Ta tính được:

1

H

H

m

ω

b) Để tìm được phương trình chuyển động của X tˆ ( )H và P tˆ ( )H ta sử dụng phương

trình Heisenberg: ˆ ( ) 1 ˆ ˆH ,

H

dA t

A H

dt =i  

h kết hợp với (1) và (2) ta tính được

H

H

H

H

ω

−

h

h

h

h

Hay

ˆ ( ) 1H ˆ ( )

H

dX t

p t

dt = m ; ˆ ( )H 2 ˆ ( )

H

dP t

dt = − ω

Bài 6: Cho X tˆ ( )H vàP tˆ ( )H , hãy tính các giao hoán tử cho dao động tử điều hòa sau

ˆ ( ), ˆ ( )

X t P t

  ; ˆ ( ),1 ˆ ( )2

X t X t

  ; ˆ ( ),1 ˆ ( )2

P t P t

Bài giải

Sử dụng: X tˆH( ) Xcˆ os( )t 1 Pˆsin( )t

m

ω

= + và P tˆH( )=Pcˆ os( )ωt −m Xω ˆsin( )ωt theo

hệ thức giao hoán X Pˆ ˆ,  = ih và X Xˆ ˆ,   = P Pˆ ˆ, =0, ta có.

1

m

ω

ˆ ˆ, os( ) os( ) ˆ ˆ, sin( )sin( )

Hoặc

X t P t i c ω t t

Tương tự

i

m

ω

Hoặc

i

ω

 ˆ ( ),1 ˆ ( )2 ˆ os( 1) ˆsin( 1), ˆ os( 2) ˆsin( 2)

P t P t Pc ωt m Xω ωt Pc ωt m Xω ωt

Hoặc

P t P t i mω ω t t

C KẾT LUẬN

Qua quá trình tìm hiều, ta thấy dao động tử điều hòa mô tả đúng lý thuyết năng lượng của hạt và bài toán có lời giải chính xác trong cơ học lượng tử, nhưng quá trình tính toán tương đối hơi phức tạp, đòi hỏi phải nắm vững lý thuyết của phương trình Schrodinger Nếu vận dụng một cách nhuần nhuyễn các phương pháp để giải ta sẽ hiểu

rõ hơn về các tính chất của hạt như vị trí, năng lượng…

Trong quá trình làm tiểu luận này, do kiến thức còn hạn chế nên bài làm không tránh khỏi những thiếu sót, mong rằng cô sẽ có những góp ý để đề tài được hoàn thiện hơn

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

http://vi.wikipedia.org/wiki/Dao_%C4%91%E1%BB%99ng_t%E1%BB%AD_

%C4%91i%E1%BB%81u_h%C3%B2a

Vũ Văn Hùng, Cơ học lượng tử, NXB ĐH Sư Phạm,2009

Nguyễn Duy Hưng, Giáo trình cơ học lượng tử, 1998

Cơ học lượng tử nâng cao

E NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN