Bài giảng toán đại số giải tích

Không gian véctơ V trên đó đã trang bị một tích vô hướng gọi là không gian véctơ Euclide.. Chứng minh Nếu P  Q thì ta lấy trong P và Q hai cơ sở trực chuẩn tùy ý hiển nhiên hệ hợp thàn

Không gian véctơ Euclide

Cho không gian véctơ V trên trường số phức R

Một ánh xạ: V x V  R

(x , y)  x yr r

đgl một tích vô hướng trên V, nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:

E1: x yr r  y xr r. ,  x yr r ,

 V

E2: (xr1  x y x y x yr r r r r r2 )  1  2 ,  y,x1 ,x2  V

E3: (k x y k x yr r)  ( )r r ,  x,y  V,  k  C

E4: x xr r

 0  xr

V Dấu “ =” xảy ra  x  = 0 Không gian véctơ V trên đó đã trang bị một tích vô hướng gọi

là không gian véctơ Euclide Ký hiệu: VE, hoặc VE

n

Bất đẳng thức Cauchy –Bunhiacopsky: | x,y |  |x|.|y|

Dấu bằng xảy ra  {x,y} phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh

+ TH 1: Nếu một trong hai véctơ là véc tơ 0 thì | x,y | = |x|.|y| = 0 + TH 2: Nếu {x,y} pttt và đều khác 0 thì x = y, khi đó :

2

| ,

| ,







 = |x|.|y| + TH 3 : Nếu {x,y} đltt thì x k  0 ,  kK , nên

y x y

x   





 ,  0 , k  K  x,x  k x,y  k x,y  k y,y  0

Thay k = x y y yr rr r,,  khi đó ta được:

0 , , ,

, ,

, ,

,x y y  x y x y  x y x y  x y x y 

x               



 x,y x,y  x,x y,y  x,y 2  |x| 2 |y| 2 x,y  |x| | y|

Vậy x,y  |x| |y|  x,y và “=”  {x,y} phụ thuộc tuyến tính

Định lý đã được chứng minh

Bất đẳng thức tam giác: |x + y| 

|x| + |y|  x,y

Dấu bằng xảy ra  x = k y với y 0, k  0

Chứng minh

Ta có: |x + y|  |x| + |y|  (|x + y| )2  (|x| + |y|)2

 xy,xy  (|x| + |y|)2

Nhưng x y,x y = x,x  y,y  2 Re x,y

Và (|x + y| )2 = |x |2 + |y|2 + 2|x ||y|

Nên |x + y|  |x| + |y|  Re x,y  |x|| y|

Bất đẳng thức cuối cùng này suy ra từ Re x,y  | x,y |và bất đẳng thức Cauchy-Bunhicopski

Còn |x + y| = |x| + |y|  Re x,y  x,y

Mặt khác: Re x,y  | x,y |  |x ||y |

Nên |x + y| = |x| + |y|  Re x,y  | x,y | = |x ||y |

Theo trên | x,y | = |x ||y | khi và chỉ khi {x,y } phụ thuộc tuyến tính, ở đây y 0 nên được x = k y Nhưng nếu x = k y thì

y x

y

x, ,

Re   k  0

Mọi hệ trực giao đều là hệ độc lập tuyến tính

Chứng minh

Cho hệ  ai 1,m là hệ trực giao, xét 





m

i

i

i a

k

1

0



Nhân vô hướng hai vế với ajta có: , , 0 0

1





















j m

i

i i

Hay k jaj,aj = 0 nên k j  0, j 1,m

Vậy hệ  ai 1,m là hệ độc lập tuyến tính

Định lý

Mọi không gian Unita V U

n (hoặc không gian véctơ Euclide

V n E ) (n 1) luôn tồn tại một cơ sở trực chuẩn.

Chứng minh

Ta chứng minh định lý bằng quá trình trực giao hóa theo qui nạp + Với n = 1

Xét VU

1  a 0 , aV1U đặt e a a





 thì  e là cơ sở trực chuẩn của VU

n + Giả sử định lý đúng với n = k ; ta chứng minh định lý đúng với

n = k +1 Thật vậy : Xét VU

k+1 , khi đó tồn tại VU

k là không gian con của VU

k+1 theo giả thiết qui nạp trong VU

k tồn tại một cơ sở trực chuẩn

 ei 1,k nhưng hệ  ei 1,k đltt trong VU

k+1 , nên có thể bổ sung vào hệ này một vectơ b thuộc VU

k+1 để ei , b1,k là một cs của VU

k+1

Xét a k b e e i b

i

i





















,

1 thì a 0 và ae i , i 1 ,k nên hệ ei,a1,k là

hệ trực giao cuả VU

k+1 Đặt e k a a







1 thì  ei 1,k1 là hệ trực chuẩn của VU

k+1

  ei 1 ,k 1 là cơ sở trực chuẩn của VU

k+1, vậy tồn tại cơ sở trực chuẩn của VU

k+1

Định lý đúng với n = k + 1

Vậy định lý đúng với mọi n 1

v) Điều kiện cần và đủ để hai không gian P và Q của VU

n ( hoặc V n E ) trực giao với nhau là trong P tìm được cơ sở trực

chuẩn  ei 1,pvà trong Q tìm được cơ sở trực chuẩn  e'j 1,p sao cho

 i p

q

j

j

i e

e 1,

,

1

'







là hệ trực chuẩn của V U

n ( hoặc V n E )

Chứng minh

Nếu P  Q thì ta lấy trong P và Q hai cơ sở trực chuẩn tùy ý hiển nhiên hệ hợp thành của chúng phải là hệ trực chuẩn

Ngược lại, nếu trong VU

n có một hệ trực chuẩn  i p

q j j

i e

e,' 11,, sao cho

 ei 1,p,  ei 1,p lần lượt là cơ sở trực chuẩn của P và Q thì với x  P , y 

Q ta có: x = 



p i i

i e x

1



, y = 



q j j

j e y

1

'



.Suy ra  x,y= 

 





p i

j i q

j j

i y e e x

1 1

' , 



= 0

Vậy x y hay P trực giao với Q

vi)Giả sử P, Q, R là các không gian con của V U

n ( hoặc V n E ) Khi đó nếu P trực giao với Q, và P là phần bù trực giao của R thì

Q là không gian con của R

Chứng minh

Lấy x  Q, thì x  VU

n ( hoặc VnE) nên: x = y +z với y  P, z R Nhân vô hướng x với y, ta được:  x,y =  y,y + z,y 

Hay  y,y = 0 nên y = 0 x = z R

Dạng song tuyến tính

Cho không gian vectơ V trên trường số thực khi đó ánh xạ

S : V x V  R

( x y , )  S(x y , ) được gọi là song tuyến tính, nếu



















) , ( )

, ( )

, (

)

) , ( )

, ( )

, (

)

2 1

2 1

2 1

2 1

y x S y

x S y

y x

S

ii

y x S y

x S y

x x

S

i











































;  ,  R; x1,x2 ,y1,y2 ,x, yV

Đẳng cấu trực giao

Đẳng cấu tuyến tính  : V E V’E được gọi là một đẳng cấu trực

Phép biến đổi Unita

bảo tồn tích vô hướng

Phép biển đổi trực giao

bảo tồn tích vô hướng

iv) Các giá trị riêng của phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao) đều có modul bằng 1

Thật vậy: Giả sử  là phép biến đổi Unita có x  là véctơ riêng, ứng với giá trị riêng  Khi đó:  (x)   x ,x 0

Ta có <x,x > = <  (x), (x) > = < x, x> =   <x,x >

Nên   = 1 suy ra: || = 1

Ánh xạ tuyến tính  : V U  V U là một phép biến đổi Unita

  bảo tồn module của véctơ

Chứng minh.

() Cho  là phép biến đổi Unita Khi đó:





  (x),  (y) x, y mọi x,y  V U !!!

Nên   ( ), ( )xr  xr  x xr r,  hay  (x)2 x2

Vậy  bảo tồn modul của vectơ

() Ngược lại cho axtt : V U V U bảo tồn module của vectơ, tức

x

x) 

(

 với mọi x  V U, hay   ( ), ( )xr  xr  x xr r, .!!!

Nên:  (x ayr r), (  x ayr r)  x ay x ayr r r,  r  EMBED Equation.DSMT4

,

x y

r r�V U, aC (*)

Nhưng:  (x ayr r), (  x ayr r)   ( )xr a ( ), ( )yr  xr a ( )yr  !!!

( ), ( )x x a ( ), ( )x y a ( ), ( )y x a a ( ), ( )y y

Và:  xa y,xa yx,x a  x,y a  y,x a a  y,y

Vì vậy,ta có:



















Cho a = 1:   (x),  (y)     (y),  (x) x,y   y,x

Cho a = i:  i  (x),  (y)  i (y),  (x)  ix,y i y,x

    (x),  (y)     (y),  (x)    x,y   y,x

Từ đó ta có:   (x),  (y) x,y, nên  bảo tồn tích vô hướng

Giả sử  ei 1,n là một cơ sở trực chuẩn của V U

n Khi đó  (ei),  (ej) ei,ej  ij, nên   (ei) 1,n là cơ sở trực chuẩn của VU

n

Gọi  là pbđtt : V U

n  V U

n xác định bởi hai cơ sở  ei 1,n và  (ei)1,n , tức  (ei)   (ei), i  1 ,n

Lấy x  V U

n, giả sử x=(x1, , xn) / ei 1,n

Khi đó xi =

, ( ), ( )

� r r � r r nên  (x)  (x1, ,x n) / (ei)1,n

Mặt khác: x =



n i

i

i e

x

1

 nên  (x) =



n i

i

i e

x

1

) (



n

i

i

i e

x

1

) (

 !!!

Vì vậy:  (x) = (x),  x  V U

n hay  

Vậy  là phép biến đổi tuyến tính bảo tồn tích vô hướng nên là phép biến đổi Unita

Hệ quả 3:

Ánh xạ  : V E  V E là phép biến đổi trực giao   bảo tồn tích

vô hướng

Chứng minh

()  : VE  VE là phép biến đổi trực giao  k > 0 sao cho

( ) ( )x y xy

 r  r  rr (theo định nghĩa).

() Ánh xạ  : VE  VE ,  ( ) ( )xr  yr  xyrr ,x yr r, � VE   là phép

biến đổi trực giao Thật vậy,

Giả sử  ei 1,n là cstc của VE , ta có:

ij

( ) ( )e i e j e e i. j k

 r  r  r r  suy ra:  ( )eri 1,nlà cstc của VE

Nên tồn tại phép biến đổi tuyến tính : VE  VE xác định bởi hai cs

 ei 1,n và  ( )eri 1,n , tức  ( )eri   ( ),eri i  1,n

Lấy xVE, giả sử x=(x1, , xn) / ei 1,n

Khi đó  ( ) ( ) ( )xr  eri  x er ri  xi   ( ) ( , , ) / { ( )}xr  x1 x n  eri 1,n

Mặt khác:

1 1 1

( ) ( n i i) n i ( )i n i ( )i

  

  ( ) ( , , ) / { ( )}xr  x1 x n  eri 1,n

Nên:  (x) =  (x), xVE hay   .

Vậy  là phép biến đổi tuyến tính và bảo tồn tích vô hướng, nên  là

phép biến đổi trực giao

Cách 2

() Ta có :  ( ) ( )xr  yr  xyrr

Suy ra : (x yr r ) ( ) ( zr  x y zr r )r  ( ) ( )xzrr  yzrr

= ( ) ( )xr zr  ( ) ( ) ( ( )yr zr   xr ( )) ( )yr  zr .

 (xr r y) ( )xr ( )yr .

Tương tự: ( )a xr  a ( ) xr

Nên  là ánh xạ tuyến tính.

Ta cũng có ( ) ( )xr  xr  x xr r � | ( ) | | | xr  xr .

Vậy  là ánh xạ tuyến tính và | ( ) | | | xr  xr nên  là phép biến

đổi trực giao

iv) Cho một điểm A và một phẳng P của E n thì trong P tồn tại duy nhất một điểm H sao cho: d(A,P) = d(A, H) H được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm A lên phẳng P.

Chứng minh

Gọi Q là phẳng đi qua A và bù trực giao với P, thì  H = P

Q.Khi đó: M P:HM  P và AH  Q

2 )

(AH HM AH AH HM HM

) , ( )

, ( )

, (

AM2 AH2 HM2  d2 A M d2 A H d2 H M



( , )d A H d A M( , ), M P



�

Dấu = xảy ra  d(M,H)  0  M H

Vậy: d(A,H)  min{d(A,M), M P} = d (A,P) (đpcm)

v) Phép biến đổi đồng dạng biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực giao

Chứng minh

Xét pbđ đd hệ số k : VE

n  VE

n Giả sử  ei 1,n là một cơ sở trực chuẩn của VE

n Khi đó,

( ) ( )e i e j k e e( )i j k

 r  r  r r   nên  (ei)1,n là cơ sở trực giao của VE

n

Từ cơ sở trực giao hãy chỉ ra cstc?

vi) Ánh xạ  : V E  V E là phép biến đổi đồng dạng  k > 0 sao

cho    x  y k.x.y ,  x,yV E.

Chứng minh

()  : VE  VE là phép biến đổi đồng dạng  k > 0 sao cho

   x  y k.x.y

() Ánh xạ  : VE  VE , k > 0 để    x  y k.x.y,x yr r, � VE 

 là phép biến đổi đồng dạng Thật vậy,

Giả sử  ei 1,n là cstc của VE , ta có:

ij

( ) ( )e i e j k e e( )i j k

 r  r  r r   suy ra:  ( )eri 1,nlà cstg của VE

Nên tồn tại phép biến đổi tuyến tính : VE  VE xác định bởi hai cs

 ei 1,n và  ( )eri 1,n , tức  ( )eri   ( ),eri i  1,n

Lấy xVE, giả sử x=(x1, , xn) / ei 1,n

Khi đó  ( ) ( )xr  eri  k x e( )r ri kxi   ( ) (xr  kx1 , ,kx n) / { ( )}  eri 1,n

Mặt khác:

1 1 1

( ) ( n i i) n i ( )i n i ( )i

  

  ( ) ( , , ) / { ( )}xr  x1 x n  eri 1,n

Nên:  (x) = k (x), xVE hay   k.

Vậy  là phép biến đổi tuyến tính và    x  y k.x.y,  x,yV E nên

 là phép biến đổi đồng dạng.

vii) Mọi ánh xạ tuyến tính : V E  V E là phép biển đổi đồng dạng   k sao cho  x  k x  x V E Chứng minh

BÀI TẬP CHƯƠNG I

Bài1 Trong không gian R2 ta định nghĩa tích vô hướng:

(a1, a2)*(b1, b2) = a1b1 + (a1b2 + a2b1)/2 + a2b2/3

Chứng tỏ rằng: R2 là một không gian véctơ Euclide hai chiều Khi đó hãy chỉ ra một cơ sở trực chuẩn nào đó của nó

Bài 2 Xét C là không gian vectơ thực hai chiều Chứng minh rằng ánh xạ: f : C x C  R cho bởi f(x,y) = 12 x  y y là một tích vô hướng trên

C Tìm một cơ sở trực chuẩn đối với f

Bài 3 Trong không gian các ma trận vuông cấp n hệ số thực, với phép toán cộng hai ma trận và phép nhân một số với một ma trận, lập thành một R- không gian véctơ Ta định nghĩa ánh xạ *: Mn(R)xMn(R) 

R với hai véctơ A = [aij ], B = [bij ] như sau: A*B = 



n j ij

ij b a

1 ,

Hãy xét xem với ánh xạ này, ta có xây dựng được Mn(R) trở thành một không gian véctơ Euclide hay không?

Bài 4 Trong không gian C[a,b] - tập hợp các hàm số thực xác định, liên tục trên [a,b] Ta định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ

x = x(t), y = y(t) là x.y r r r r

= b

a

dt t y t

x( ) ( )

1.Chứng minh rằng với định nghĩa ấy C[a,b] là một không gian véctơ Euclide

2.Tìm các góc của tam giác trong không gian C[-1,1] tạo nên bởi các véctơ

x1(t) = 1, x2(t) = -t, x3(t) = 1- t

Bài 5 Trong không gian các hàm số thực, xét các hàm số:

f1:x cosx; f2 :x sinx; f3:x cos 2x; f4 :x sin 2x

1 Chứng minh rằng F = { f1, f2, f3, f4} độc lập tuyến tính

2 Gọi V là không gian véctơ sinh bởi F Xác định ánh xạ  : V x

V  R cho bởi  







2 0

) ( ) (

1 ) , (f g f x g x dx Chứng minh rằng  là một tích vô hướng trên V Hãy xác định một cơ sở trực chuẩn trên V

Bài 6 Trong VE

n cho một hệ véctơ {ai}1.m ký hiệu:

Gr(a1,a2, ,am) =

m m m

m

m m

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a









































2 1

2 2

2 1 2

1 2

1 1 1

Gọi là định thức Gram của hệ {ai}1.m

1 Chứng minh rằng: Hệ {ai}1.m độc lập tuyến tính  Gr(a1,a2, ,

m

a ) >0

2 Chứng minh rằng:Hệ {ai}1.m phụ thuộc tuyến tính  Gr(a1,a2

, ,am) = 0

Bài 7 Chứng minh rằng: Nếu ánh xạ : VU

n  VU

n (hoặc : VE

n 

VE

n) thỏa:

<(x), y > = <x, (y) > ( (x).y > = x.(y) ) với mọi x,y thuộc

VU

n (hoặcVE

n ) thì  là một ánh xạ tuyến tính

Bài 8 Chứng minh rằng:

1 Nếu : VU

n  VU

n là một ánh xạ tuyến tính thỏa: <(x),x> = 0 với mọi x thuộc VU

n thì  là ánh xạ không

2.Nếu : VE

n  VE

n là một ánh xạ tuyến tính thỏa: (x).x = 0 với mọi x thuộc VE

n thì (x).y = -x.(y) với mọi x,y thuộc VE

n điều này tương dương với ma trận A của f trong trong một cơ sở trực chuẩn của

VE

n phải là ma trận phản xứng

Bài 9 Trong không gian véctơ Euclide VE

4 với cơ sở trực chuẩn đã chọn, cho các véctơ

a=(1, 1, 1, 2), b=(1,2,3,-3), c=(1,-2,1,0), d=(25,4,-17,-6)

1 {a,b,c,d } có phải là hệ trực giao không?

2.Gọi W là không gian con sinh bởi a,bvà Z là không gian con sinh bởi Khi đó

W và Z có phải là hai không gian con bù trực giao không?

Bài 10 Trong VE3 cho một cơ sở trực chuẩn và các vectơ

 1, 2,0 ,   3,1,0 ;   3,1,1 à  '  2, 4, 0 , '   6, 2,0 , '   6, 2, 2 

ar  br cr v ar    br   cr  

1.Chứng tỏ rằng có một phép biến đổi tuyến tính duy nhất  :

VE

3  VE

3 biến các vectơ a,b,c theo thứ tự thành a,'b,'c' 2.Chứng tỏ rằng  là phép biển đổi đồng dạng hệ số 2.