Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán Đại số - Giải tích ở tỉnh Thanh Hóa

Bài viết trình bày thực trạng của sai lầm của học sinh khi giải toán Đại số - Giải tích, nhận định của giáo viên về mức độ mắc sai lầm của học sinh (khảo sát 1008 học sinh, 66 giáo viên tại 25 lớp thuộc 05 trường của tỉnh Thanh Hóa.

Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh trung học phổ thông

khi giải toán Đại số - Giải tích ở tỉnh Thanh Hóa

A Study on Errors Made in Solving Algebra - Calculus Problems by High School

Students in Thanh Hoa Province

TS Nguyễn Hữu Hậu, Trường Đại học Hồng Đức

Nguyen Huu Hau, Ph.D., Hong Duc University

Tóm tắt

Bài báo trình bày thực trạng của sai lầm của học sinh khi giải toán Đại số - Giải tích, nhận định của giáo viên về mức độ mắc sai lầm của học sinh (khảo sát 1008 học sinh, 66 giáo viên tại 25 lớp thuộc 05 trường của tỉnh Thanh Hóa Kết quả nghiên cứu cho thấy, học sinh có nhiều sai lầm phổ biến khác nhau trong khi giải toán, giáo viên cũng cho rằng những sai lầm đó của học sinh là phổ biến, thường xuyên và đều thấy sự cần thiết phải có biện pháp hữu hiệu để tập luyện cho học sinh khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình giải toán

Từ khóa: sai lầm, phân tích sai lầm, dạy học Đại số - Giải tích, dạy học giải toán

Abstract

This paper presents the reality of errors made by high school students in solving Algebra- Calculus problems and of teachers’ comments on their errors (A survey on 1008 students, 66 teachers in 25 classes from 05 high schools in Thanh Hoa province) The results showed that students had many different common errors when solving math problems The teachers thought that the errors are so common and frequent that it is neccessary to have effective methods to train the students to detect and correct the errors

on their own

Keywords: errors, error analysis, teaching and learning Algebra - Calculus, teaching and learning

mathematics

1 Mở đầu

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy

hoạt động toán học Đối với học sinh (HS),

phải xem giải toán là hình thức chủ yếu của

hoạt động học toán Dạy học giải toán có vai

trò đặc biệt trong dạy học toán ở trường phổ

thông Các bài toán là phương tiện có hiệu

quả không thể thay thế được trong việc giúp

HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy,

hình thành kĩ năng và kĩ xảo [7] Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học toán Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông có lúc, có chỗ còn chưa tốt, biểu hiện qua việc

năng lực giải toán của HS còn hạn chế do

HS còn mắc nhiều sai lầm (SL) Một trong

những nguyên nhân quan trọng là giáo viên

(GV) chưa chú ý một cách đúng mức việc

phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các SL cho

HS ngay trong các giờ học toán Hơn nữa

những SL này còn xuất phát từ HS, tác giả

Bell và cộng sự cho rằng HS thường nhìn

vào điểm số mà không nhìn vào các SL mắc

phải, bởi vì họ muốn biết câu trả lời của

mình là đúng hay điểm số đạt được trong bài

kiểm tra là gì, mà không muốn đi xa hơn

điểm số để nhìn lại để biết tại sao và làm thế

nào mà mình lại nhận điểm số như vậy [2]

Vì điều này, HS nhiều khi gặp phải tình

trạng SL nối tiếp SL, nhưng là cách duy nhất

để cải thiện điểm số và tiếp thu kiến thức

mới Hơn nữa việc nghiên cứu các SL mà

HS mắc phải sẽ là nguồn để GV có thể thiết

kế các chiến lược dạy học hiệu quả nhằm

hạn chế và từng bước loại bỏ chúng

Nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới

vai trò và sự cần thiết của việc sửa chữa SL

của HS trong quá trình giảng dạy toán, G

Polia: “Con người phải biết học ở những SL

và những thiếu sót của mình” [13,

tr 204], A.A Stôliar: “Không được tiếc thời

gian để phân tích trên giờ học các SL của

HS” [1, tr 105]; A.N Kôlmôgôrôv “Năng

lực bình thường của HS trung học đủ để các

em nắm được Toán học trong nhà trường

phổ thông nếu có sự hướng dẫn tốt của thầy

giáo” [3, tr 10] R Marzano [9] cũng xem

phân tích SL của HS là biện pháp để mở

rộng tinh lọc kiến thức và yêu cầu khi phân

tích SL cần chú ý: phải xác định đó là SL gì,

nguyên nhân nào dẫn đến SL và cách ngăn

ngừa Về thái độ cần thiết của GV đối với

SL của HS, tác giả M Lagutko [8] yêu cầu:

(1) GV thừa nhận quyền bị SL của HS; (2)

GV phải cố gắng hiểu biết SL đã xảy ra của

HS; (3) trong quá trình dạy học, cần dạy cho

HS các chiến lược hạn chế SL khi làm bài như kiểm tra lại đáp số, kiểm tra lại các bước biến đổi, kiểm tra lại việc tính toán, liên hệ với bối cảnh thực tiễn, sử dụng đồ thị, giải bài toán bằng các cách khác nhau Về học tập môn toán, tác giả Legutko còn cho rằng, việc HS phạm lỗi là điều không thể tránh khỏi Như vậy, có thể khẳng định rằng, các

SL của HS trong giải toán là cần thiết và có

thể khắc phục được

Các công trình nghiên cứu đề cập tới SL của HS khi giải toán còn tương đối ít, trong

số đó có thể kể tới Luận án Phó tiến sĩ của tác giả Lê Thống Nhất “Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh PTTH thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải Toán” [10] Công trình này đã xem xét các

SL của HS ở từng chủ đề kiến thức, chẳng hạn như chủ đề phương trình, chủ đề bất phương trình, chủ đề giới hạn, chủ để hàm số Cách phân tích như trên của tác giả có ưu điểm là giúp cho người đọc có thể vận dụng

ở mức độ nào đó vào thực tiễn giảng dạy, nghiên cứu Tuy nhiên, hạn chế ở chỗ: số lượng chủ đề kiến thức rất nhiều, khó kể hết,

mà gộp lại như thế để thành các chủ đề lớn thì nhiều khi dẫn tới sự chung chung, thiếu cụ thể Các nhóm tác giả trong ”Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá” [11] và ”Sai lầm thường gặp và sáng tạo khi giải Toán” [12] đều sắp xếp SL của HS theo từng chủ đề kiến thức Tác giả Hodes và Nolting đã đề xuất 4 kiểu

SL và giải thích như sau: lỗi bất cẩn, các lỗi này được bắt gặp một cách tự động sau khi xem xét lại bài làm của mình; lỗi khái niệm, các lỗi được tạo ra khi người học không hiểu các tính chất hay quy tắc được đề cập trong sách giáo khoa và bài giảng; lỗi áp dụng, các lỗi mà người học tạo ra khi họ biết các khái niệm đó nhưng không thể áp dụng vào tình huống hay câu hỏi cụ thể; lỗi quy trình, các lỗi này xuất hiện khi người học bỏ qua hoặc

hiểu sai các bước nhưng vẫn trả lời cho câu

hỏi hay bài toán đó [6]

Cách sắp xếp SL dựa theo tiêu chí chủ

đề kiến thức như các tác giả nói trên chưa

thể giải thích một cách tường minh, dễ hiểu

và bao quát hết tất cả các kiểu SL cho HS

Hơn nữa chưa thể đề cập được một số kiểu

SL thường gặp, như SL liên quan đến các

thao tác tư duy, SL liên quan đến nắm nội

hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định

lí Có thể nói, việc nghiên cứu SL của HS

khi giải toán nhìn từ góc độ hoạt động toán

học, nghĩa là xem xét các SL theo phương

diện chất lượng tiến hành các hoạt động toán

học còn tương đối ít

Để tìm hiểu những SL mà HS thường

gặp phải trong giải toán đại số - giải tích ra

sao, chúng tôi nghiên cứu trường hợp ở tỉnh

Thanh Hóa với hai câu hỏi nghiên cứu

chính: Trong giải toán đại số - giải tích, học

sinh mắc phải SL phổ biến nào? Ý kiến của

GV về mức độ thường xuyên của các SL của HS?

2 Nội dung nghiên cứu

2.1 Mô tả khảo sát

Để thấy được thực trạng SL của HS khi giải toán đại số - giải tích ở trường THPT, chúng tôi tiến hành nghiên cứu thực tiễn ở 4 trường THPT tỉnh Thanh Hóa: THPT Đông Sơn 2; THPT Hàm Rồng; THPT Đào Duy Từ; THPT Hậu Lộc 2; THPT Thạch Thành

2, với sự tham gia của 1008 HS và 66 GV Nghiên cứu này dựa trên một số phương pháp như: sau khi phân loại các SL của HS, chúng tôi dùng bảng hỏi để tìm hiểu ý kiến của GV về mức độ thường xuyên của các SL

ở HS; phỏng vấn, đánh giá qua dự giờ; đánh giá qua việc nghiên cứu sản phẩm giáo dục (phân tích bài làm của HS ở một số bài kiểm tra trong năm học 2015-2016 để tìm và phân loại các SL của HS) Dưới đây là một số kết quả được rút ra từ quá trình nghiên cứu

Bảng 1: Số bài làm của học sinh được phân tích

2.2 Tổng hợp và phân tích số liệu khảo sát

2.2.1 Về một số sai lầm phổ biến của học sinh khi giải toán đại số - giải tích được thể hiện qua kết quả bài kiểm tra

Bảng 2: Một số sai lầm phổ biến của học sinh khi giải toán đại số - giải tích

Trường Các sai lầm

Đông Sơn 2 (%)

Hàm Rồng (%)

Đào Duy

Từ (%)

Hậu Lộc 2 (%)

Thạch Thành 2 (%)

SL liên quan đến cảm nhận trực quan 35,2% 26,08% 27,55% 29,2% 33,7%

SL liên quan đến nắm nội hàm khái niệm

hoặc điều kiện áp dụng định lí 40,58% 30% 31,1% 34,6% 38,2%

SL liên quan đến nhận thức sự tương ứng 32,9% 25,65% 24,88% 27,3% 31,4%

SL liên quan đến “chủ nghĩa hình thức” 41,17% 30,4% 32% 34,14% 39,3%

SL liên quan đến việc chuyển đổi bài toán 33,52% 26,95% 30,66% 27,31% 31,46%

SL liên quan đến suy luận 42,94% 30,43% 31,11% 34,14% 39,32%

SL liên quan đến thao tác tư duy 30,58% 22,6% 23,11% 25,36% 29,21%

2.2.2 Kết quả khảo sát giáo viên về

mức độ mắc sai lầm của học sinh

Chúng tôi sử dụng bảng hỏi nhằm tìm

hiểu những sai lầm mà HS thường mắc phải

khi giải toán đại số - giải tích Với câu hỏi:

Thầy/ Cô cho biết hhi làm bài tập đại số và

giải tích mức độ HS mắc phải sai lầm khi giải toán như thế nào đối với mỗi sai lầm sau? Thu thập số liệu và sử dụng phần mềm SPSS phân tích số liệu, chúng tôi thu được kết quả dưới đây:

Bảng 3: Nhận định của GV về mức độ mắc sai lầm của học sinh

Trường

Các sai lầm

Đông Sơn 2 Rồng Hàm

Đào Duy

Từ

Hậu Lộc

2

Thạch Thành 2

Kết quả chung

SL liên quan đến cảm nhận trực

quan

0,36 0,41 0,43 0,45 0,33 0,396

SL liên quan đến nắm nội hàm

khái niệm hoặc điều kiện áp dụng

định lí

0,40 0,41 0,45 0,46 0.38 0,42

SL liên quan đến nhận thức sự

SL liên quan đến “chủ nghĩa hình

SL liên quan đến việc chuyển đổi

bài toán

0,22 0,60 0,41 0,4 0,21 0,33

SL liên quan đến suy luận 0,39 0,21 0,23 0,29 0,35 0,294

SL liên quan đến thao tác tư duy 0,29 0,61 0,64 0,45 0,26 0,45

(Từ 0 đến 0,2: rất thường xuyên; từ 0,21 đến 0,4: thường xuyên; từ 0,41 đến 0,60: thỉnh thoảng; từ 0,61 đến 0,80: rất ít khi; từ 0,81 đến 1: chưa bao giờ)

2.2.3 Đánh giá chung

Qua phân tích kết quả điều tra, chúng

tôi cho rằng SL của HS khi giải toán rất đa

dạng và có nhiều nguyên nhân khác nhau

Các GV được khảo sát đều cho rằng những

SL đó xảy ra thường xuyên trong quá trình

dạy học Ngoài ra, kết quả thu được còn cho

thấy thực tiễn phạm lỗi của học sinh tương

hợp với quan điểm về lỗi của M Legutko

Do vậy, để nâng cao hiệu quả dạy học môn

giải tích ở trường phổ thông, trong quá trình

dạy học GV cần chú ý ngăn ngừa và kịp thời

sửa lỗi cho HS, cũng như hướng dẫn HS các

cách hạn chế bị lỗi khi giải toán giải tích [5]

2.3 Phân tích một số sai lầm trong bài

làm của học sinh

Trong mục này, để thấy rõ nguyên nhân

SL của HS khi giải toán đại số - giải tích,

chúng tôi ghi lại 7 sai lầm (có tính đại diện)

của HS đã được chỉ ra trong Bảng 2 Để chỉ

ra những lời giải có mắc phải SL, chúng tôi

dùng kí hiệu (?) và sử dụng kí hiệu (!) để

bình luận và phân tích SL của HS

2.3.1 Sai lầm liên quan đến cảm nhận

trực quan

Trực quan giúp cho ta phát hiện vấn đề,

chẳng hạn có những bài toán về hình học,

nếu như vẽ hình chính xác và thấy lặp đi lặp

lại một số quy luật, thì nhiều khi có thể

khám phá ra một vấn đề ẩn náu đằng sau

những hình ảnh đó Tuy nhiên, trong toán

học không chấp nhận việc chứng minh mà

trong đó không có những luận cứ rõ ràng Vì

vậy, trực quan chỉ là chỗ dựa để khám phá

chứ không phải là phép chứng minh Nếu

không nhận thức được điều đó, nhiều khi ta

sẽ đưa ra những kết luận sai lầm liên quan

đến cảm nhận trực quan

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số

có cực đại, cực tiểu

nằm về hai phía của đường thẳng y = 2x (?): Đặt g(x) =

Hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y2x tương đương với hệ phương trình

vô nghiệm

 1 15 m   1 15 (!): Từ trực quan của hình vẽ HS nghĩ rằng cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của một đường thẳng nghĩa là đồ thị hàm số không cắt đường thẳng Nhưng thực ra đường thẳng y = 2x có thể cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt mà điểm cực đại, điểm cực tiểu vẫn nằm khác phía so với đường thẳng y  2x

Lẽ ra HS phải giải như sau:

Hàm số có cực đại và cực tiểu tương đương vớim3 Gọi A , B

là các điểm cực trị của đồ thị hàm số, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y  2x m , khi đó

nằm về hai phía của đường thẳng , điều kiệncần và đủ là

là giá trị cần tìm

2.3.2 Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định lí 2.3.2.1 Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học

Khảo sát điều tra 1008 HS cho thấy, trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên sẽ dẫn tới HS hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất của khái niệm Mặt khác, nhiều khái niệm toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó,

2

y





2

2

g(1) 2m 6 0

2x

x 1





y  2x

x ; y1 1 x ; y2 2

y  2x m y2  2x2 m

y  2x

2x1y12x2y20

  2 2 6 m   2 2 6

nên việc không nắm và hiểu không đúng các

khái niệm này làm cho học sinh không hiểu,

không có biểu tượng đúng về khái niệm

mới

Sai lầm về các khái niệm toán học (đặc

biệt là các khái niệm ban đầu có tính chất

nền tảng) sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu là học

kém môn toán Vì vậy, có thể nói sự “mất

gốc” của HS về kiến thức toán trước hết là

sự “mất gốc” về các khái niệm toán học Có

nhiều nguyên nhân khác nhau dẫn tới sự

nhận thức khái niệm toán học một cách hình

thức biểu hiện ở chỗ:

+ HS không nắm vững nội hàm và

ngoại diên của khái niệm nên nhận dạng và

thể hiện khái niệm sai;

+ Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định

nghĩa khái niệm, nên diễn đạt và vận dụng

sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác,

khi biến đổi tính toán, khi suy luận chứng

minh)

Ví dụ 2: Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ

đều khiêu vũ giỏi Người ta chọn 3 nam và

3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy Hỏi có bao

nhiêu cách ghép 3 cặp nhảy

Lời giải (3):

Mỗi cách sắp thứ tự 3 bạn nam trong 10

bạn nam là một chỉnh hợp chập 3 của 10,

nên số cách chọn 3 bạn nam có thứ tự là



3

10

A 720 cách;

Tương tự số cách chọn 3 bạn nữ có thứ

tự là 3 

6

A 120 cách;

Vậy, số cách bố trí 3 cặp nhảy là



10 6

A A 84600

(!): Cách giải này HS mắc phải SL ở

chỗ: tại sao lại sắp thứ tự cả 3 bạn nam và 3

bạn nữ Giả sử có 3 bạn nam theo thứ tự là

A, B, C ghép nhảy với 3 bạn nữ theo thứ tự

là a, b, c, tức là có cặp nhảy (A, a), (B, b),

(C, c) Nếu lấy thứ tự khác của 3 bạn nam là

A, C, B và thứ tự khác của 3 bạn nữ là a, c,

b thì ghép 3 cặp nhảy là (A, a), (C, c), (B, b) vẫn là cách ghép 3 cặp nhảy trước Sai lầm dẫn tới số cách ghép lớn hơn thực tế vì có những cách ghép 3 cặp nhảy được tính nhiều lần

Lời giải đúng là:

Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 10 bạn

là một tổ hợp chập 3 của 10 nên số cách chọn là 3

10

C ; tương tự số cách chọn 3 bạn nữ trong 6 bạn nữ là 3

6

C Với 3 bạn nam và 3 bạn nữ được chọn,

ta xem có bao nhiêu cách ghép thành 3 cặp nhảy (tất nhiên mỗi cặp gồm một nam và một nữ)

Giả sử 3 bạn nam là A, B, C và 3 bạn

nữ là a, b, c thì mỗi cách ghép 3 cặp nhảy chẳng qua là một hoán vị của 3 nữ mà thôi (tất nhiên có thể coi là một hoán vị của 3 bạn nam thì kết quả vẫn thế) Vậy, số cách ghép

3 cặp nhảy cho 6 bạn này là 3!

Do đó, số cách bố trí 3 cặp nhảy là



10 6

C C 3! 14400

2.3.2.2 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí

Cấu trúc thông thường của định lí có dạng A B, trong đó A là giả thiết của định

lí, B là kết luận của định lí SL phổ biến khi học định lí do xem thường ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết A nên suy ra các kết luận SL: không có A vẫn suy ra B; không có

A suy ra không có B; sử dụng định lí tương

tự chưa đúng Không nắm vững kết luận B, nên sử dụng B mà không nhớ A, có B suy ra

có A, có A nhưng suy ra không phải B Do chỉ chú trọng phương pháp giải trên trong quá trình áp dụng vào giải toán, HS áp dụng thiếu điều kiện, áp dụng đúng nhưng không chính xác; hoặc sử dụng định lí như định nghĩa Đặc biệt là với những định lí HS bị



“mất gốc” hoặc không hiểu bản chất, thì khi

sử dụng họ không hiểu rõ phạm vi của

chúng

Ví dụ 3: Giải phương trình x x 1x 

5 8 500 (1) (?): Với điều kiện x  0 thì (1)



 x 3x 3x  3 2  x 3 x 3x 

 x 3 ln 5 x 3.ln 20

Xét hàm số

f(x) = f(x)  x 3 ln 5 x 3 .ln 2

x với x 0 

,

2

3

f (x) ln 5 ln 2 0

x mọi x  0, suy ra hàm số đồng biến Mà f(3)  0 nên



x 3 là nghiệm duy nhất

(!): Sai lầm trong lời giải trên ở chỗ:

Hàm f(x) đồng biến trên và

đồng biến trên , do đó phương trình



f(x) 0 có không quá một nghiệm trên

và có không quá một nghiệm trên

, chứ không phải phương trình



f(x) 0 có không quá một nghiệm trên

 

¡ \ 0 Như vậy, do f(3)  0 nên x  3

là nghiệm duy nhất trên , ngoài ra



f(x) 0 vẫn có thể có nghiệm trên

Giải đúng như sau:

(1)

           

x 3

(x 3)ln5 ln2 0 x 3 ln5 0

x log 2

HS thường nhầm lẫn điều kiện cần và

điều kiện đủ; chẳng hạn, dạy về cực trị có

định lí: “Giả sử hàm số y f(x) có đạo hàm

liên tục tới cấp hai tại x0và ,

thì x0là một điểm cực trị của hàm số”

Hơn nữa:

+ Nếu thì x0là một điểm cực tiểu;

+ Nếu thì x0là một điểm cực đại

2.3.3 Sai lầm liên quan đến nhận thức

sự tương ứng

Tư duy hàm có bốn tư tưởng chủ đạo, trong đó có việc “Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng những sự tương ứng trong khi nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng toán học ” [7] Khi làm những bài toán có liên quan đến tư duy hàm, HS thường SL trong việc phát hiện, thiết lập sự tương ứng giữa các đối tượng tham gia vào bài toán Điều đó, đặc biệt nổi bật trong các bài toán

về hàm số, phương trình, bất phương trình,

hệ phương trình có chứa tham số hoặc cần đặt ẩn phụ

Ví dụ 4: Tìm tất cả các điểm trên đường

thẳng y   1sao cho từ đó có thể kẻ được

ba tiếp tuyến đến đồ thị  4  2

y x 2x (?): Gọi điểm cần tìm là A (m; -1) thì đường thẳng qua A có hệ số góc k là

y k(x m) 1 Đường thẳng này là tiếp tuyến của đồ thị khi và chỉ khi hệ

có nghiệm đối với

ẩn x Từ hệ trên, ta được phương trình

(1) Để từ A

kẻ được ba tiếp tuyến thì (1) phải có ba nghiệm phân biệt Mặt khác 2  

, do đó yêu cầu bài toán trở

  ;0 

 0; 

 ; 0 

 0;   

 0; 

  ;0 



, 0

f (x )  0

,, 0

f (x )  0

,, 0

f (x )  0

,, 0

f (x )  0

3







x  1 3x  4x.m 1   0

  

 2   

f(x) 3x 4xm 1 0 có duy nhất

một nghiệm khác , điều đó tương đương

Vậy có hai điểm A nằm trên đường

thẳng y   1 mà từ đó kẻ được ba tiếp

tuyến đến đồ thị

(!): HS đã mắc phải SL khi nghĩ rằng có

ba tiếp tuyến nghĩa là có 3 giá trị của x

Đúng ra có 3 tiếp tuyến tức là có 3 giá trị

của k, tuy nhiên không phải mỗi giá trị của

k tương ứng với một và chỉ một giá trị x

Mỗi giá trị x thì tạo ra một giá trị của k,

nhưng có những giá trị k tạo ra nhiều giá trị

x, chẳng hạn, với k  0 thì tồn tại 3 giá trị

Cách giải đúng của bài này phải là:

Để có ba tiếp tuyến, trước hết phương

trình (1) có không ít hơn 3 nghiệm theo ẩn x

(vì mỗi x chỉ tạo ra một k) Tuy nhiên các

nghiệm x   1chỉ tạo ra được k0 , do đó

phương trình phải có hai

nghiệm x1  x2 khác , khác 0 sao cho

tức

2.3.4 Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa

hình thức”

Chủ nghĩa hình thức trong nhận thức

của HS thường bắt nguồn từ chỗ: “Trong ý

thức HS có sự phá vỡ nào đó mối quan hệ

tương hỗ, đúng đắn giữa nội dung bên trong

của sự kiện toán học và cách diễn đạt bên

ngoài của sự kiện ấy” (dẫn theo [11])

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình

2

mx 2(m 1)x 3(m 2) 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn x12x2 1 (?): HS cho rằng, x2 là nghiệm lớn còn

1

x là nghiệm nhỏ, nên sau khi tìm được điều kiện có nghiệm, cần tìm từng nghiệm rồi thay vào hệ thức đã cho trong bài toán Suy nghĩ như vậy làm mất sự bình đẳng giữa hai nghiệm, trong khi kỳ thực hai nghiệm này

có vai trò như nhau; x , x1 2chỉ là kí hiệu hình thức Hơn nữa, nếu các nghiệm có chứa căn bậc hai thay vào được phương trình vô

tỷ thì học sinh rất dễ giải sai

(!): Phương trình có hai nghiệm phân

Theo Định lí Viét và giả thiết thì x1, x2







1 2

x 2x 1

giải hệ và so sánh với (*), tìm được là m3 hoặc m2

3

2.3.5 Sai lầm liên quan đến việc chuyển đổi bài toán

Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm

số: f(x) = 2   2   ¡

           

Trong hệ trục tọa độ 0xy, xét các điểm A

, B và M(x;0) , thì

f(x) MA MB Theo bất đẳng thức tam giác MA MB AB ,

mà   

 2 3 1 AB

2

 2 3 1 min f(x)

2

1



m

 



  

  



2

3x 4mx 1 0 

1



x  x  x  x

x x x x x x  1 0

 2     2 2       2

1 1 2 2 1 2 1 2

x x x x 1 0 x x x x 1 0 S P 1 0

m 0

m







     



;

2 2

3 1

;

2 2

(!): SL ở đây là khi chuyển đổi từ bài

toán đại số sang hình học, HS không ý thức

được vị trí tồn tại của M, nên đã chọn điểm

phía so với trục hoành Đoạn thẳng AB

không cắt x,x chứa 0xnên bất đẳng thức

MA MB ABkhông xảy ra và không

tồn tại điểm M0 0x sao cho

Để tránh SL trên, khi chuyển đổi bài

toán sang sử dụng công cụ tọa độ cần phải

lưu ý: trong mặt phẳng cho hai điểm A, B và

đường thẳng d đi qua M Khi đó: nếu A, B

cùng phía so với d, MA MB  đạt giá trị

nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB1 với

đường thẳng d, trong đó B1 là điểm đối xứng

với B qua d, khi đó MA MB   AB1

Nếu A, B khác phía so với đường thẳng d

thì MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là

giao điểm của AB với d

Bài toán trên có lời giải đúng phải là:

1 3

2 2



3 1

và

C(x;0) , ta có f(x)MA MB AB , 1

trong đó

         

1

nên f(x)  2, dấu bằng xảy ra khi

2.3.6 Sai lầm liên quan đến suy luận

Suy luận là một hình thức và cũng là

quá trình tư duy rút ra một mệnh đề mới từ

một hay nhiều mệnh đề đã cho Một suy

luận thường có cấu trúc logic ;

Trong đó, A là tiền đề, B là kết luận Cấu

trúc logic đó phản ánh cách thức rút ra kết

luận HS thiếu kiến thức về logic, sử dụng mệnh đề sai hoặc ngộ nhận là mệnh đề đúng, đánh tráo luận đề, sẽ mắc phải SL trong suy luận SL trong suy luận khi giải toán thường

có các kiểu: SL về luận cứ; SL về luận chứng; SL về luận đề

Ví dụ 7: Chox,y,z  0 thỏa mãn

1997 1997 1997

x y z 3, tìm giá trị lớn nhất của   2 2 2

F x y z (?): Do vai trò x,y,z như nhau nên có thể giả sử: x  y z 0; mặt khác dễ thấy



x 3

 1997 1997 1997 1997

vai trò x, y, z như nhau, nên x 1;y 1  

  F 3  maxF  3, dấu bằng xẩy ra khi x    y z 1

Kết quả trên là đúng, nhưng việc HS cho rằng x, y, z có vai trò như nhau lần thứ hai là sai, vì khi giả sử x    y z 0thì điều đó không còn đúng nữa

Có HS lập luận như sau: Giả sử

  

x y z 0 2  2

x y

x y z 3x , dấu bằng xẩy ra khi

 

x y z, thay vào điều kiện

(!): Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho

1995 số 1 và hai số x1997 ta được

; tương tự

Cộng từng vế bất đẳng thức ta được



F 3 suy ra  maxF  3 dấu bằng xẩy

;

3 1

;

3 x y z 0

     





  

x y z 1

1997 2 2 1997

1995 2x

1997

1997

2

1995 2y

y ; 1997



 1995 2z1997 2

z 1997

  

x y z 1

2.3.7 Sai lầm liên quan đến thao tác tư

duy

Ví dụ 8: Chứng minh bất đẳng thức

a b c d e a b c d e (1), a, b, c, d R

Xin nêu hai cách giải cho bài toán này

không phải nhằm tìm ra nhiều lời giải, mà

với mục đích: mỗi cách giải sẽ gợi lên một

phương hướng tổng quát hóa bài toán

Cách 1:

+

Cách 2:

Xét hiệu f(a) a 2 a b c d e        b2 c2 d2 e2

là một tam thức bậc hai đối với a có

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki

ta được , từ đó suy ra đpcm

HS có thể tổng quát hóa bài toán từ cách

giải 2 như sau:

Do a là một số cố định nên mở rộng cho

n số hạng tiếp theo ta được:

a a a a a a a a , a , a , a R

(!): Với cách giải tương tự, xét hiệu:

     2 2 2 2   

f(a) a a a a a a a a

Đây là một tam thức bậc hai đối với a

Muốn tam thức này luôn không âm thì

(1) Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:

Nếu      2   2   2 2

1 2 n 1 2 n

n 4 a a a 4 a a a

(1) luôn được thỏa mãn Nhưng với n4, nếu chọn

thì nên tồn tại những giá trị của a làm cho giá trị của tam thức f(a) âm Cụ thể, ta có thể lấy , khi đó f(a) f    n     n2 n n2  4 n n 0

(vì



n 4) nên bất đẳng thức tổng quát hóa không đúng

Vậy, bài toán tổng quát như thế nào? Ta trở lại với cách giải 1, vì vế trái có lặp

lại bốn lần và cộng lại bằng Nhưng, nếu

số hạng ở vế trái nhiều hơn hay ít hơn thì sự phân tích như trên không còn đúng nữa Nếu tăng số hạng lên n số thì cần phải có n lần

có tổng bằng a2, khi đó với cách viết tương tự ta được:

Bất đẳng thức được tổng quát đúng là:

3 Kết luận và kiến nghị

Phản hồi của GV và qua bài làm của

HS, cho thấy HS thường gặp nhiều sai lầm khác nhau trong giải toán Kết quả nghiên cứu trên sẽ giúp cho HS nhận ra và sửa chữa những SL trong quá trình giải toán Ngoài ra

đó cũng là cơ sở để GV có thái độ tích cực đối với SL của HS và xem chúng như là thông tin phản hồi cần được lưu tâm để có

sự điều chỉnh về phương pháp, có những

a     b c d e a b c d e   0

2

a

b 2

2

a c 2

2

a

d 2

2

a

2

0

 

a a a a a a a a

0 a a a 4 a a a 0

 2 2 2 2 2 2  2

1 1 1 a a a a a a



n a a   a  a a   a

n a   a a  a   a a 0

a   a a n a   a a 0

n a 2



2

a 2

 

 

  2

a

2

a n

 

 

 

2 1

a a n

2 2

a a n

2 n

a

n

2

n