Học và ôn tập toán đại số giải tích 11 lê bích ngọc

Cuốn HỌC VÀ ÔN TẬP TOÁN Chương I: Dãy số Chương II: Giới hạn của hàm số Chương II: Hàm số liên tục Chương IV: Hàm số mũ - Hàm số logarit Chương V: Phương trình, bất phương trình và hệ

LE BÍCH NGỌC (chủ biên)

LÊ HỒNG ĐỨC

va luyén thi dai hoc)

512 LE-N

2005

LC/01477

LÊ BÍCH NGỌC (Chủ biên)

LÊ HỒNG ĐỨC

Học và ôn tập toán

DAI SO VA GIAI TICH TI

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

GIỚI THIỆU CHUNG

Xin trần trong giới thiệu tới bạn đọc bộ sách:

Cuốn1: Học và ôn tập Toán - Hình học I0

Cuốn 2: Học và ôn tập Toán - Đại số I0

Cuốn 3: Học và ôn tập Toán - Lượng giác II

Cuốn 4: Học và ôn tập Toán - Hình học II

Cuốn 5: Học và ôn tập Toán - Đại số và Giải tích I1

Cuốn 6: Học và ôn tập Toán - Hình học I2

Cuốn 7: Học và ôn tập Toán - Giải tích 12

Cuốn 8: Học và ôn tập Toán - Đại số tổ hop 12

Mục tiêu của bộ sách này là cung cấp cho các thảy, cô giáo một bộ bài giảng chuyên sảu có chất lượng và cho các em học xinh Trung học phổ thông yêu thích môn Toán một bộ sách học tập bổ ích

Bộ sách được viết trên một tư tưởng hoàn toàn mới mẻ, có tỉnh sư phạm, có tính

tổng hợp cao, tận dụng được đây đủ thế mạnh của các phương pháp đặc biệt để giải

Toán

Bộ

đến các em Hoe sinh lép 10, 11, 12 va cde em chuẩn bị dự thỉ môn Toán Tốt

Ích này chắc chắn phù hợp với nhiều đối tượng bạn đọc từ các thẩy, cô giáo

nghiệp PTTH hoặc vào các Trường Đại học

Cuốn

HỌC VÀ ÔN TẬP TOÁN

Chương I: Dãy số

Chương II: Giới hạn của hàm số

Chương II: Hàm số liên tục

Chương IV: Hàm số mũ - Hàm số logarit

Chương V: Phương trình, bất phương trình và hệ mũ

Chương VI: Phương trình, bất phương trình và hệ lôgarit

bao gồm 16 chủ đề, miêu tỉ chỉ tiết phương pháp giải cho 93 dụng toán co ban và

nâng cao của Đại xố và Giải tích LÌ

Cuối càng, cho dù đã rat cổ gắng, những thật khó tránh khỏi những thiểu sót bởi

những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, rất mong nhận được những ý kiến

đóng góp quý bán của bạn đọc gần xa Moi ý kiến đóng góp xin liên hệ tới

CHUONG I DAY S6 - CAP Số CỘNG - CẤP Số NHÂN

Kí hiệu (u,) hay ở dạng khai triển là u,, u›, , Uy,

2 CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT DÃY SỐ

Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách:

Cách l- Dây xố vác định bởi một công thức cho xố hạng tổng quát nụ

Thí dụ L: Dãy số (u,) xác định bởi u, = 8n + 1 Khi đó, nếu viết dãy số này dưới

dạng khai triển, ta được 9, 17, 25, 8n + I,

Cách 3: Dãy số xác định bởi một công thức truy hải tức là:

® - Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)

" Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó

a - Dãy số (a,) xác định bởi:

a, =2

a, = ¡ vớin > 2ˆ Khi đó, nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển, ta được:

Khi đó, nếu viết đấy số này dưới đạng khai triển ta được:

b,=l,by=l,b,=2,b,=3,bạ= 5,

Dãy số này được gọi là dứy số Phibôndvi

Cách 3: Dãy số vác định bởi một mệnh để mô tả các xở hạng liền tie của nó

Thí dụ 3; Cho day số (u,) với u, là chữ số thứ n trong cách viết thập phản cụ số

1, khi đó ta có đấy số:

u;=3,u:=l,u¿=4,u,=l,u¿=5,

“Trong trường hợp này ta không tìm được công thức biểu thị số hạng u„ qua n

3 DAY SO DON DIEU

Định nghĩa I (Day số tăng): Dây số (u„) được gọi là tăng nêu Vn eNÑ.u,<u hái:

Vay, voi day số (u,) tăng, ta có u, <uy<0¿< <u,<

a Day sé (u,) được xác định bởi u, = 2n + I là dãy số tăng

b Với đấy số (u,) được xác định bởi u, = n - 6, dễ thấy nó không phải l'dãy

xố tăng

Định nghĩa 2 (Dây số giảm): Dấy xố (u„) được gọi là giùm mến Vn € ÑN` uy 3> tụy

„ Vậy, với đãy số (u,) tăng, La có u, > uy > uy > > U, >

a Day so (u,) được xác định bởi u„= ¬ là dãy số giảm

n+

b Với đấy số (u,) được xác định bởi u, = {a8 thấy nó không phải lấy

số tăng hoặc giảm "

(u,) giảm luôn bị chặn trên bởi tụ

b Với dãy số (u,) được xác định bởi u„ = n, dẻ thấy nó không bị chặn trêt Định nghĩa 4 (Dây xổ bị chặn dưới): Day xố (u,) dược gọi là bị chặn dưới nếu :

3meR:u,>m,VneN

6

Thí dụ.7:

a Dãy số (u,) vớt u, = 2n + T bị chặn đưới bởi 3 Như vậy, để thấy mọi dãy số (u,) tăng luôn bị chặn dưới bởi u,

b Với đấy số (u,) được xúc định bởi u„ = ~ n, để thấy nó không bị chặn dưới

Định nghĩa 5 (Dây số bị chặn): Dây sổ t,) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chân chưới, trữ là

" - Xác định xem a là số hạng thứ mấy của dãy số Câu hỏi này được thực hiện

bằng việc giải phương trình ẩn n

Vị dụ |: — Cho dãy số (u,) với u,= CŨ

Vídụ 2; Cho day số (u,) xúc định như sau

P =15,u,=9 Úy=,s=u,j,nz3”

a Hay viét 6 số hạng đầu của dãy số

b Tìm xem ~3 là số hạng thứ mấy của dãy số 2

Bai tap 1 Cho dãy số (u,) với u, =

a - Viết 6 số hạng đầu của dãy

a, Viét 5 sé hang dau ctia day

b Tim xem a là số hạng thứ may cua day số ?

Bai tap 3 Cho đấy số (u,) với u, = ©

a Tim uy, U)5, Us, Uay or

b Tìm xem 0 là số hạng thứ mấy của dãy số ?

c Tìm xem l là số hạng thứ mãy của dãy số ?

Bài tập 4 Cho dãy số (u,) xác định như sau:

u,=l

uạ=2u,,+l,n>3ˆ

a - Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy số

b Tìm xem 5[ I là số hạng thứ mấy của dãy số ?

Bài tập 5 Cho day số (u,) xác định như sau:

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước L-— (Bước cơ sở): Chứng mình rằng số hạng u, thoả mãn tính chất K Bước 2: (Bước quy nạp): Giả sử số hạng uị thoả mãn tính chất K Ta đi chứng

minh s6 hang u,,, cing thoa man tinh chat K

Bước 3: Kết luận day s6 (u,) thoả mãn tính chất K

Ví dụ l: Cho dấy số (u,) với u, = n` + In Chứng minh rang moi sé hạng của đây số này đều chia hết cho 6

Giải Tacó: u,=l + lI=12=3u, 6,

Giá sử u, : 6, tức là (kÌ+ LIk) : 6 Ta đi chứng mình u,., : 6

Thật vậy: ú,,=(k+ 1) 4+ 11(k +1) =k’ 4 3k 43k 414 11k +11

=(kÌ+ TIK) + 3k(k + 1) + 12 suy rau, , | 6 boi (k’ + 11k) | 6, 3k(k + 1)! 6 va 12: 6

Vay, moi s6 hang ctia day s6 (u,) déu chia hết cho 6

Vidy 2: — Cho day số (u,) xác định như sau:

u,=u,=1

u, = Uy +2u, ,,n2 BF

Chứng minh rằng u, < 6u, ;, Vn > 5

Giải

“Ta có: uy= 3,0; =7, uy = L7 => uy < Ou

Giả sử công thức đúng với mọi n < k, tức là:

uy <6u,,

uy) < buy

ta di chitng minh u,, , < 6u, _;

“Thật vậy: u,,,= u,., + 2u, < 6u,_, + 2.6u,., = 6(u + 2u, 5) = 6u, |, dpem

Vậy, ta luôn có u, < 6u, _ ; Vn > 5

Ví dụ 3: — Cho dấy số (u,) xác định như sau:

t =i

tụ =v2+u,,.n>2

Bai tap 1 Cho day s6 (u,) voi u, = 13" L Chứng mính rằng mọi số hạng của dãy

số này đều chia hết cho 6

Bài tập 2 Cho dãy số (u,) xác định như sau:

{ =u, =1

uy = 2u,.¢u,.,.n>3

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số này đều là số lẻ

Bài tập 3 Cho day số (u,) với u„ = 2° ** Chứng mỉnh rằng u„ > 2n + 5

Bài tập 4 Cho dãy số (u,) xác định như sau:

Chứng mỉnh rằng u„ = (e, + ne;)r" với e¿„ e; là các hằng số phụ thuộc a, b và r là

nghiệm kép của phương trình x` = ex - đ=0

Ap dung: Cho day so:

lu, = CAML, ytd sn 23

Chứng mình rằng u, = ¢,1" + esr) véi e,, e La cdc hang sé phu thude a, b var, r,

là hai nghiệm phân biệt của phương trình xỶ cx - d= 0

Ta cé thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của u„

Cách 2: Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bướ

Bước I: — Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự doán cong

thức cho u,

Bước 2: Chứng mình công thức dự đoán bằng phương pháp quy nạp

Ví dụ]; Cho day số (u,) xác định như sau:

12

ie

no ondal Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được:

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách !- Thực hiện theo các bước:

Bước l: — Lập hiệu H=u,,, - u„ từ đó xác định dấu của H

Bước 2: Khi do:

#8 Nếu lI>0 với Yn © N thi day s6 (u,) tăng

® NéuH <0 v6i Vn © N’ thi day s6 (u,) gidm

Cách 2: Nếuu,>0 với Vn c NỈ tà có thể thực hiện theo các bước:

vn Ua ae ae ce ae

Bước I: — Lập tỉsốP= —*'*, từ đó so sánh P với I

u

Buéc 2: Khi do:

= NéuP> 1 véi Vn N’ thi day số (u,) tăng

" NếuP<l với Vnc Ñ thì dãy số (u,) giảm

Ví dụ l; Xét tính đơn điệu của các đãy số sau:

Vậy, đây (u,) giảm

Cách 2: Dễ thấy u„ >0 với Vn € N’, xét tỉ số:

Thấy ngay đấu của H phụ thuộc vào tính chẩn, lẻ của n

Vậy, dấy (u,) Không đơn điệu

í dụ 2; — Xét tính dơn điệu của dãy số (u,), biết:

Giả sử công thức đúng với n = k, tức là u, > 0, ta đi chứng minh u,, ¡ > 0

“Thật vậy: u,,, = 2u, + 1 >0, đpcm.

Vậy, ta luôn có u„ >0, Vn e NỈ

Do đó H >0, từ đó suy ra đấy (u,) tăng

Cách 2: Trước tiên, ta đi chứng mình u„ >0, Vn € NỈ (ương tự như trong cách 1)

Bai tap 2 Xét tính đơn điệu của dãy số (u,) biết:

Bài tập 4 Xét tính đơn điệu của dãy số (u,), biết:

u, = 2 + Aries r⁄2 (n dấu căn)

Bài tập 5 Cho day số (u,) với u, = —— và dãy số (S,) xác định như sau:

cua mot (u,)

PHƯƠNG PHÁP CHU

Sử dụng định nghĩa:

= Néu 3M e R:u,<M, Vn N thi (u,) bị chặn trên

“ Nểu3mec R:u,>m, Vn e NỈ thì (u,) bị chặn dưới

# Nếu 3m.MeR:m<u,<M,Vn e NỈ thì (u,) bị chặn

Chú ý: Dựa trên kết quả:

* Mọi dãy số (u,) giảm luôn bị chặn trên bởi u,

* Mọi dãy số (u,) tầng luôn bị chặn dưới bởi uị

Ví dụ]; Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chăn của các đấy số sau:

Vay, day (u,) bi chặn dưới và không bị chặn

b ‘fa thay ngay:

*® u,>0, do đó nó bị chặn dưới

® Vìin(n+l)>2«e»u,< mì đo đó nó bị chặn trên

Vay, ta duoc 0 <u, < — , do dé né bi chan

17

Ví dụ2; Xét tính bị chặn trên bị chặn đưới, bị chàn của dãy số sau:

Vậy, dãy (u,) bị chặn

Ví dụ 3: — Cho dấy số (u,) xác định như sau:

u,=2

a Chứng minh rang (u,) bị chặn dưới bởi 1

b Chứng minh rằng (u,) giảm Suy ra (u,) bị chặn

Vậy, ta luôn có u„ > [, Vn œ NƑ, tức là (u,) bị chăn dưới bởi 1

b Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Vậy, đấy (u,) giảm

Tir do, suy ra | <u, < 2 voi Vn € N’, do do (u,) bị chặn

18

a Chting minh rang (u,) bị chặn trên bởi 8

b Ching minh rang (u,) tang Suy ra (u,) bi chan

Bai tap 4 Cho dãy số (u,) xác định như sau:

a Chting minh rang (u,) bị chặn trên bởi 5

b Chứng minh rằng (u,) bị chặn dưới bởi 1

vn +e Bai tap 2 Xét tính bị chan trên, bị chặn dưới, bị chặn của các đãy số sau:

19

CHU DE 2

GIGI HAN CUA DAY SO

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa: Số w được gọi là giới hạn của dây xố (0) nếu với mọi xổ e đương tHỲ Ý,

tôn tại xở tự nhiền Ñ sao cho với mọi n >N thì lu, -ul<e

Như vậy:

limu, =ucs» Ve>0,3NeN`: |u,—ul <evdin>N

nev %

2 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN,CỦA DÃY SỐ

Định lí L: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn): Nếu một dãy số có giới hạn thì nó

bi chan

Dinh li 2: (Dinh li Vaiostrat — Diéu kiện đủ để dãy số có giới hạn):

=" Mot day sé tang va bi chặn trên thì có giới hạn

© Mot day s6 giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

Định lí 3: (Tính duy nhất của giới hạn): Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó

lima, = lime, =A thi limb, =A

4 DAY SO DAN TOL VO CUC

Dinh nghia’ Day so (u,) goi là đân tới + nếu với mọi số dương M tuỳ ý, tổn tại xố

tự nhiên N xao cho với mọi n> N thì uy >M

2 Nếu limu, =0thì lim at =o noe an,

I CAC DANG TOAN LIEN QUAN

PHUONG PHAP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Với Ve >0, xuất phát từ bất đẳng thức:

lu,—ul <e&=>n> ge)

Bước 2: Chon N = [g(£)] + 1

Đước 3: Vậy:

Ve>0,3NeN’: [u,~uÏ <evớin>N<+ limu, =u

Vidyl: Dùng định nghĩa giới hạn, chứng mình rằng:

Bài tập 2 Dùng định nghĩa giới hạn, chứng minh rằng:

Bài tập 3 Dùng định nghĩa giới hạn, chứng minh rằng:

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Sử dụng định lí Vaiơstrat, cụ thể:

Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

# Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

‘Ta sẽ đi chứng minh dãy số (u,) tăng và bị chặn trên

Chứng minh dãy số (u,) tăng Xét hiệu:

Vậy, dãy (u,) có giới hạn

23

Wídu2: - * Cho dãy số (u,) với u,= (1 2 | Chung minh rang day sé nay cé

` ny

gidi han

Giải

“Ta sẽ đi chứng minh dãy số (u,) giảm và bị chặn dưới

" - Chứng minh dãy số (u,) giảm Thật vậy, dễ thấy u, > 0 với Vn 6 N}, xét tỉ

Vay, day (u,) giảm

» Chứng minh dãy số (u,) bị chặn dưới Ta có u, > 1, tức là nó bị chặn dưới

Vậy, dãy (u,) có giới han

Ta lưa chọn một trong hai cách:

Cách !: Đưa dãy số cần tìm giới hạn về dạng tổng hiệu, tích, thương của

những dãy số mà ta đã biết giới hạn

Ta có các kết quả sau:

1 limC =C, véi Cla hằng số nn

2 fin = 0, voi a> 0

a l2 b lim pee c lim,

Giải

a Ta biến đổi:

a+! tim 2+ tim 4

lim 2n+) _ lim a = ten mu wy 2 =2,

mont2, eer A mlvim< Í

b_ Ta biến đổi:

ma"

Vidy2; Tính các giới hạn sau:

Ae fim 2n+3 ` mor adn? e143

NOP INR ES Oey, n one lim 2 + lim ~

a._ Ta thực hiện phép nhân liên hợp:

im(Vn+ I-n)= = lim-

Vidy6: — Tinh gidi hạn sau:

a meter lim ——— b wee geet pq lãm ; >:

Bai tap 5 Tinh gidi han sau:

(u, d 1a hai s6 thue cho trude) duge goi là cấp số cộng

"u là số hạng đầu tiên

= dla cong sai

Dac biét khi d = 0 thi (u,) 1A day s6 trong đó tất cả các số hang déu bang nhau

2 CAC TINH CHAT

* _ Số hạng thứn được cho bởi công thức:

II CÁC ĐANG TOÁN LIÊN QU

[ài toán hứng minh tính chất của một cấp số cộng — ]

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Câu hỏi thường được đặt ra là:

"Cho ba sé a,b, ¢ lap thành cấp số cộng, chung mình tính chất K”

khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số cổng ta được:

a’ + 2b = 8` + (4 + CỘC = 4` + ác + cÌ = a(4 +€) + cÝ = 2ab + cÝ đpem

Vídụ 2: Cho (a,) là một cấp số cộng Chứng minh rằng:

a, = 5 (ns +a,,,), V6i moi n > k

b (q- ra, + (r ~ p)a, + (p - q)a,=0

Bi peice teen eel spec eel

© ay tyfay Yaz + Vay Sại PM, Var + Yay”

BD Aa, Ay, Ags ns Bays

Bai tap 4 Cho (a,) là một cấp số cộng Hỏi các đãy số sau có phải là cấp 36 cong không ?

a (a, + p), voi p là số thực tuỳ ý

b.(p.a,), với p là số thực tuỳ ý

Ệ (2} với p là số thực tuỳ ý

a

30

=a’ t(atc) +c? = 2a +ac +c")

Vay, ba số (a` + ab + bề), (a` + ac + c°), (bỀ + be + c”) cũng lập thành một cấp số

Tir gia thiét a, b,c lập thành một cấp số cộng, ta được:

a+e=2b coa—b=b~€= 2 (A=©)

Vậy, với x = 2 hoặc x = 3 thoả mãn điều kiện đầu bài

Chú ý: Một bài toán rất quen thuộc đối với phương trình trùng phương là:

"Tim diéu kiện của tham số sao cho phương trình:

có 3 nghiệm v„ và, xị lập thành cấp số cộng "

Ta thực hiện như sau:

Điều kiện cẩn: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thành cấp số cộng, khi

Véi x.=— A thay vao (1) ta duge:

<> 2b ~ 0abc + 27a`d = 0 (2)

Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

32

Điền kiện đủ: Từ (2) suy ra phương trình có nghiệm x;= — 2 Khi đó:

Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đú ta có thể khẳng định bằng việc

chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó

ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

Điều kiện đủ: Với m=11, ta được:

x`~ 3x? - 9x 4 11 =O (x - I)(x?- 2x - 11) =0

xp=l- vi2 [x =I „ thoả mãn (*) [X37 1+ vi2

Vậy, với m=l 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

Chú ý: Trong bài toán trên ở điều kiện đủ ta khẳng định được:

* Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

#8 Tacó x¡+xy= 2x:, tức là x,, xạ, x; lập thành cấp số cộng

* Do đó, có kết luận m = l1 thoả mãn điều kiện đầu bài

Tuy nhiên, tồn lại bài toán mà các giá trị của tham số tìm được trong điều kiện cần không thoả mãn điều kiện đủ

Với

Bài toán trên có thể được giải bằng phương pháp hằng số bất định, như sau:

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

© (1) có ba nghiệm xụ - đ, xạ, xạ+ d, với d # 0

33

Vay, v6i m=11 thoả mãn điều kiện đầu bài

Chú ý: Một bài toán rất quen thuộc đối với phương trình trùng phương là:

"Tìm điều kiện của tham xố để phương trình

có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp xố cộng "

Khi đó, ta thực hiện như sau:

Dat t =x", diéu kién t > 0

Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng:

aU+ bL+c =0 (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

©> (2) có hai nghiệm phân biệt đương Ö < t, < t;

A>U

c/a>0

và khi đó bốn nghiệm của (1) là -/t; - Yt) Vu ‹ ý -

Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi:

ENE - fic + Yin = 2

Kết hợp (5) và (3) nhận được điều kiện của tham số

Để minh hoạ chúng ta xem xét ví dụ sau:

34

Vidy 3: Cho phương trình:

Xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số công

Giải Patt = x°, diéu kien t > 0

Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng:

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

€> phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt đương ÔÖ < t, <t,

A>0 (m+ 1)? -2m-1>0

<> j-b/a>0< 42(m+1)>0 e-5 <m20,

c/a>0 2m+l>0

và khi đó bốn nghiệm của (I) là - ýl;, - yt) ty vo

Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi :

Bài tập 3 Cho phương trình:

“Thông thường bài toán được chuyển về xác định u, và công sai d

Ví dụ l; Cho cấp số cộng (u,) thoả mãn u; - uy + u; = 10 và u, + t, = l7

a Tim s6 hang dau tiên và công sai

b Tinh tổng số của 20 số hạng đầu tiên

¢ Tính tổng § =u; + u, + + tị

Giải

a.- Gọi d là công sai của cấp số cộng (u,), ta có:

0ạ—uy+ú; =10 — [(u,+d)—(0, +24)+ (uy + 4đ) = 10

frees ss eve esac in

u, 13d =10 u,=1

2u, 1 Sd = 17 d=3 Vậy, cấp số cộng (u,) có u, = 1 vad = 3

Gọi d= 2x là công sai, ta có bốn số là a — 3x, a - x,a +x.a + 3x

Khi đó, từ giả thiết ta có:

Chú ý: Nếu không biết biểu diễn bốn số dưới dạng đối xứng như trên thì sẽ phải

*® _ Với ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt;

a~=x,a,a +x, trong đó x là công sai

* _ Với bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt;

a-=3x,a~x,a+x,a+3x, trong đó x là công sai

® _ Với năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, ta đặt:

a-=2x,a-x,a,a+x,a + 2x, trong đó x là công sai

37

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bai tap 1 Cho cấp số cộng (u,) thoả mãn u; = u; + u, = 10 va u, + u, = 36 Tìm số

hạng đầu tiên và công

ài tập 2 Cho cấp số cộng (u,) thod man u, - uy = 8 và u;.u; = 75 Tìm số hạng

tiên và công sai

tập 3 Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng, bằng 20 và tổng bình phương của chúng bằng 120

Bai tap 4 Tìm năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng

Xét cấp số cộng (u,) có u, = 105 và công sai d = 5, ta được:

995 =u, =u, +(n—- l)đ= I05+5(n- l)c»n= 179

S=S, = = (Uy + Uy) = 12 (105 + 995) = 98450

Vidy2: Tinh tong sau: S= 100° - 99° + 98° - 97° + +2°- 1

` Giải

Viết lại tổng S dưới dang: S = 199 + 195 + + 3

Xét cấp số cộng (u,) có u, = 199 và công sai d= - 4, ta được:

3=u,=u,+(n~ l)d= 199 - 4(n - l) e>n= 50

5 S=Su= a (Uy + Ugg) = 2 (199 + 3) = 5050

khi đó, ta thực hiện theo các bước sau: Ỷ

Bước Ú: — Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số nhân, ta được:

a.c=b*

Buje 2: Chứng mình tính chất K

Ví dụ L; — Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân Chứng minh rằng:

(a` + bỲ)(b + ¢*) = (ab + be)’,

Khi đó:

(a` + b?)(bỶ + c*) = a’b? + aŸc? + bÝ + bỀc? = a?b + acb” + acbÌ + bÌc`

=a’b’ + 2ab’c + b’c? = (ab + be)”, đpem

Vidu2: Cho (a,) là một cấp số nhân Chứng minh rang:

Bài tập 1 Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân Chứng minh rằng:

a (ab + be + ca)` = abc(a + b + c)`

A AY, Ag, Agy sa Bạn ~gy

b as, ag, ayy

a (a,+p), với p là số thực tuỳ ý b (p.a,), với p là số thực khác 0

c (E) với p là số thực khác 0 d (ak), với ke Z*

Bài toán 2: Chứng minh ba số lập thành một cấp số nhân ]