Đề cương ôn tập toán 12

PHẦN 1. HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN2I. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ2II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ5III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ8IV. ĐƯỜNG TIỆM CẬN11V. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ13VI. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN18VII. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO21PHẦN 2. HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT24PHẦN 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG33PHẦN 4. SỐ PHỨC40PHẦN 5. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN44PHẦN 6. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU50PHẦN 7. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN54

PHỤ LỤC:

MỤC A - LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

PHẦN 1 HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 4

I SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 4

I.1 Lý thuyết 4

I.2 Ví dụ minh họa 4

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 7

II.1 Lý thuyết 7

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 10

III.1 Lý thuyết 10

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: 10

+ Tập xác định D = [a;b] 10

III.2 Bài tập ví dụ 10

Câu 13 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 2x.ex trên đoạn 12

Câu 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin2x - x trên đoạn 13

IV ĐƯỜNG TIỆM CẬN 13

IV.1 Lý thuyết 13

V KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 15

V.1 Lý thuyết 15

1.Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 15

V.2 Ví dụ minh họa 18

VI PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 21

VI.1 Lý thuyết 21

VII BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 23

VII.1 Lý thuyết tương giao của hai đồ thị 23

VII.2 Bài tập ví dụ 23

VII.3 Bài tập trắc nghiệm 24

PHẦN 2 HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT 26

I LUỸ THỪA – MŨ - LOGARIT 26

II PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 29

II.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số 29

II.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 30

III PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 31

III.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số: 31

III.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 32

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 33

Câu 3 Điều kiện xác định của phương trình là : 33

Câu 8 Nghiệm của phương trình 32+x + 32-x = 30 là: 34

Câu 9 Phương trình 32x + 1 – 4.3 x +1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 trong đó x1 < x2 chọn phát biểu đúng? 34 Câu 10 Tập nghiệm của bất phương trình 32x + 1 – 10.3 x + 3 0 là : 34

Trang 1

Câu 12 Tập nghiệm của phương trình là : 34

Câu 13 Tập nghiệm của bất phương trình là : 34

Câu 14 Tập nghiệm của bất phương trình là : 34

Câu 15 Tập nghiệm của bất phương trình là : 34

PHẦN 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 34

I Nguyên hàm – Tích phân 34

I.1 Lý thuyết 34

2 Công thức và tính chất của tích phân 35

c d (với a < c < b) 35

I.2 Ví dụ minh họa 36

II Ứng dụng tích phân 38

II.1 Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b 38

II.2 Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 39

II.3 Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành 40

II 4 Bài tập trắc nghiệm 40

PHẦN 4 SỐ PHỨC 42

I Các khái niệm 42

II Các phép toán trên số phức 42

*Phương trình bậc hai trên tập số phức 42

*Ví dụ minh họa 42

III Bài tập trắc nghiệm 43

PHẦN 5 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 46

I Lý thuyết - Kiến thức liên quan 46

II Bài tập minh họa 47

2 Thể tích khối lăng trụ 48

III Bài tập trắc nghiệm 50

A B C D 51

A B C D 51

A B C D 51

A B C D 51

PHẦN 6 MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU 51

I Mặt nón tròn xoay 51

II Mặt trụ tròn xoay 52

III Mặt cầu 53

IV Bài tập trắc nghiệm 53

PHẦN 7 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 56

I Kiến thức liên quan 56

I.1 Một số phép toán vectơ 56

I.2 Phương trình mặt phẳng 56

Trang 2

I.3 Phương trình đường thẳng 56

I.4 Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính r 57

II Ví dụ minh họa 57

III Bài tập trắc nghiệm 60

I ĐỀ SỐ 01 63

II ĐỀ SỐ 02 69

III ĐỀ SỐ 03 74

Trang 3

ii) Tính f′(x).Tìm xi (i = 1, 2, …, n) mà f′(xi)= 0 hoặc không xác định.

iii) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu f′(x)

iv) Dựa vào dấu của f′(x) nêu kết luận

2 Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y f x m= ( , ), m là tham số, có tập xác định D.

• Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D (dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm)

• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ D (dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm)

=> Từ đó suy ra điều kiện của m

Chú ý:

i) Nếu y ax'= 2+bx c+ thì:

0 0 ' 0,

0 0

a b c

0 0

a b c

iii) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g x( )=ax2+ +bx c với số 0:

(x +x ) −4x x =d (2)+ Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m Giải phương trình, so vớiđiều kiện (1) để chọn nghiệm

I.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số sau: y=x3 −3x2 +2

+ Tập xác định D = R+ y'=3x2 −6x Giải phương trình: y'=0⇔3x2 −6x=0⇒x x ==20+ Xét dấu y’ :

Trang 4

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0)và (2;+∞); nghịch biến trên(0;2);

Ví dụ 2 Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số sau: y =

1

1 +

−

x x

+ TX Đ : D = R\{-1}, Ta có : y’ = ( 1 ) 2

2 +

0'0

0)1(

af af

<

−+

−

⇔

0)16

3(3

0)16

3(3

Vậy: m<−8 thì hàm số nghịch biến trên (- 1; 1)

I.3 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 Hàm số y = x4 – 2x2 +1 đồng biến trên khoảng nào?

A (-1;0) B.(-1;0) và (1; +∞) C (1; +∞) D ∀x∈R

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

- Tính đạo hàm tại x = - 0.5 như sau: (x4−2x2 +1)|x −0 5

dx

d

kết quả = 3/2 >0 Và tínhđạo hàm tại x = 2 như sau: 2

2

4 2 1)|(x − x + x=

+

= +

x y

x là đúng?

A Hàm số luôn nghịch biến trên R;

B Hàm số luôn đồng biến trên R;

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞);

D Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞)

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

- Nhập biểu thức tính đạo hàm tại x = 0 như sau: | 0

1

12

+

x

x

x dx

+

x

x

x dx

Trang 5

B4: Lập bảng biến thiên của hàm số trên D và kết luận.

b/ Quy tắc 2: (thường sử dụng cho những bài toán lượng giác)

B1: Tìm tập xác định D

B2: Tính đạo hàm y' = f'(x)

B3: Giải phương trình y' = 0 để tìm các nghiệm xi (nếu có)

B4: Tính đạo hàm cấp hai y'' = f''(x) ; tính f''(xi) và nhận xét dấu :

+ Nếu f''(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và yCĐ = f(x0)

+ Nếu f''(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và yCT = f(x0)

0)('

A y

A y

0)('

A y

A y

II.2 Ví dụ minh họa

x > 0,∀x∈D

+Bảng biến thiên:

Trang 7

+ Hàm số không có Cực đại và Cực tiểu.

Ví dụ 3 CMR hs y=x3 −3mx2 +3(m2 −1)x−m3 luôn có cực đại, cực tiểu:

20

963

20

)2(39

20

'

2

m m

m

m m

m

m m

2

m

m

thì hàm số có cực đại, cực tiểu

II.3 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 Điểm cực đại của đồ thị hàm số y x= −3 6x2+9xlà:

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

* Cơ sở lý thuyết: Hàm số y nhận x = A làm cực đại

0)('

A y

A y

- Nhập biểu thức tính đạo hàm như sau: ?

2

3 6 9 )|(x − x + x x=dx

d

tại x =1 và tại x = 3 kết quả = 0; tại x = 0 và tại x = 4 có kết quả ≠0 nên ta loại đáp án C và D.

- Nhập biểu thức tính đạo hàm cấp 2 của hàm số trên như sau: 1

2 12 9)|3

dx d

tại x = 1 có kết quả = -6 < 0 nên ta chọn A

Câu 2 Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 3x + 1, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số luôn nghịch biến; B Hàm số luôn đồng biến;

C Hàm số đạt cực đại tại x = 1; D Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

- Tính y’ = -3x2 + 6x – 3 Giải y’= 0 bằng máy tính như sau: MODE -> 5 -> 3, nhập

hệ số a = -3, b = 6, c = -3 kết quả X=1 là nghiệm duy nhất

- Vì y’ = 0 có một nghiệm, nên hàm số y cùng dấu với a, suy ra chọn A

Câu 3 Trong các khẳng định sau về hàm số

2 4 1

−

=

−

x y

x , hãy tìm khẳng định đúng?

A Hàm số có một điểm cực trị;

Trang 8

B Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu;

C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định;

D Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

Câu 4 Trong các khẳng định sau về hàm số

A Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; B Hàm số đạt cực đại tại x = 1;

C Hàm số đạt cực đại tại x = -1; D Cả 3 câu trên đều đúng

D Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

Câu 6 Hàm số: y= − +x3 3x+4 đạt cực tiểu tại x bằng:

A Một cực đại và hai cực tiểu B Một cực tiểu và hai cực đại

C Một cực đại và không có cực tiểu D Một cực tiểu và một cực đại

Câu 12 Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số y x= 4+4x2+2:

A Đạt cực tiểu tại x = 0 B Có cực đại và cực tiểu

C Có cực đại và không có cực tiểu D Không có cực trị

+ Xét dấu f′(x) và lập bảng biến thiên.

+ Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

III.2 Bài tập ví dụ

Ví dụ 1 Tìm GTLN & GTNN của hàm số y = f(x) = x4 - 2x2 +3 trên đoạn [0;2]

+ TXĐ: D=[0;2] Ta có: y' 4= x3−4x,

[ ]3

Vậy: Maxy x∈[ ]0;2 =11 khi x=2;

Trang 10

Vậy: Maxy x∈ −[ 2;2] =2 2 khi x= 2; Miny x∈ −[ 2;2] = −2 khi x= −2.

Ví dụ 4 Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số :

+ Ta có: ( ) (2 )2

1'

+ Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ]0;1 là f ( )0 = −m2 +m

+ Theo giả thuyết ta có: ( )

[ ]

2 0;1

Ví dụ 5 Tìm GTLN-GTNN của

1

32

2

−

++

=

x

x x

y trên tập xác địnhD∈ ( 1 ; 3 ]

2

)1(

52'

x và Max x∈(1;3]y không tồn tại

III.3 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 Trên khoảng (0; +∞) thì hàm số y= − +x3 3x+1

A Có giá trị nhỏ nhất là Min y = –1; B Có giá trị lớn nhất là Max y = 3;

C Có giá trị nhỏ nhất là Min y = 3; D Có giá trị lớn nhất là Max y = –1

Câu 2 Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn [ 2 ; 3 ] bằng:

A 0 B – 2 C 1 D – 5

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

Trang 11

ππbằng:

y , chọn phương án đúng trong các phương án sau:

A max[0;1] y=−1 B min[0;1] y=0 C max[ 2;0] =3

2

3min

] 1

; 0 [ y=

Câu 7 Giá trị lớn nhất của hàm số y= −x2+4x là :

Câu 11 Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể

tích lớn nhất từ một tấm nhôm hình vuông có cạnh là 1m Tính thể tích của hộp cần làm

Câu 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin2x - x trên đoạn ;

b ax

IV.2 Bài tập trắc nghiệm

1

Trang 13

Câu 3 Có bao nhiêu đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=x3−mx2+2.

Câu 5 Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sao đây?

A

x

x y

−

++

=

2

23

1

12

mx

+

=

− Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm

cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tíchbằng 8

x y

Câu 14 Cho hàm số

3 1

2 1

x y x

y=

B Đồ thị có tiệm cận đứng là

3 2

x=

C Đồ thị có tiệm cận đứng là x= 1 D Đồ thị có tiệm cận ngang là

1 2

+ Xác định điểm CĐ, CT trên đồ thị (nếu có)

+ Để vẽ chính xác hơn ta lập bảng giá trị x,y để xác định tọa độ thuộc đồ thị

b ax y

+

+

= , (ad −bc≠0) → 2

)(

'

d cx

bc ad y

+

−

=

Giải một số phương trình y’= 0

• Phương trình: y'=ax2 +bx+c=0 (cách giải phương trình bậc 2 của lớp 9)

Lưu ý: Có thể sử dụng máy tính cầm tay thông dụng để giải; hoặc nhẫm nghiệm vớiphương trình có dạng đặc biệt như:

3+bx= ⇔x ax +b =

ax

Xét dấu hàm số y’

• Nếu y'=ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm thì y’ trái dấu với a trong khoảng 2 nghiệm

đó và y’ cùng dấu với a trên các khoảng còn lại (y’=0 có 1 nghiệm hoặc vônghiệm thì y’ cùng dấu với a trên các khoảng)

Trang 15

• Nếu y'=ax3+bx=0có nghiệm thì y’ trái dấu với a trong khoảng nghiệm (x i;+∞)

và đổi dấu liên tục xét từ phải sang trái của bảng xét dấu

b ax

Trang 16

4 Đồ thị hàm số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.

• Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

• Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối

• Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y= f x( ).Đồ thị (C′) của hàm số y= f x( ) có thể được suy

từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

+ Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x= ( ) Đồ thị (C′) của hàm số y f x= ( ) có thể

được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung

+ Đồ thị (C′) là hợp của hai phần trên

Trang 17

x

x x

x y

+ Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;0)và (1;+∞)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 1)và ( )0;1 + Cực trị: Hàm số có hai cực tiểu tại x=±1;yCT =y(±1) = –1

Hàm số có một cực đại tại x=0; yCĐ =y(0) = 0+ Giới hạn: limx→−∞y= +∞ ; lim

*Đồ thị : Đồ thị đi qua gốc toạ độ và cắt trục Ox tại (± 2;0)

Ví dụ 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =

1

1 +

*Đồ thị: Giao với Oy tại A(0;-1), giao với Ox tại B(1;0)

x y

-1 O 1 1 -1

+

=

12

Câu 6 Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

A

2

12

+

+

=

23

Câu 7 Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.

k = f x = y’(x 0))

VI.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hàm số y x= −3 3x+5 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A (-1; 7)

y x= − x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ

số góc của tiếp tuyến k = -3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y= −3(x− − ⇔ = − +1) 2 y 3x 1

y x= − x + (C) Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6

Ví dụ 4 Cho hàm số y= −x3 3x+2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 1

9

.Giải:

+ Tiếp tuyến vuông góc với 1

y= x+ + ⇔ =y x+

VI.3 Bài tập trắc nghiệm

24

2 4

−+

Câu 5 Cho hàm số y=x2−4x+3có đồ thị (P) Nếu tiếp tuyến tại điểm M của (P) có hệ

số góc bằng 8 thì hoành độ tiếp điểm M là:

2

12

tuyến với đồ thị trên tại M là:

A

2

14

3

−

= x y

Câu 8. Đường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của đường cong y = x3 + 2 khi m bằng:

Trang 22

Câu 9 Cho hàm số y x= 3−3x2 +1 có đồ thị (C) Gọi ∆ là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại

điểm có hoành độ bằng 1 Tính hệ số góc k của đường thẳng ∆.

+

=+ có đồ thị (C) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hệ

số góc bằng 1

4 Tìm hoành độ x của tiếp điểm M M

A x M =1hoặc x M = −2; B x M =1hoặc x M = −3 ;

C x M =0 hoặc x M = −3; D. x M =0 hoặc x M = −2.

Câu 12 Cho hàm số y x= 3 có đồ thị (C) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M x y ( 0; 0)

có phương trình y=3x+2 Tính giá trị của biểu thức P x= 0 +2y0.

A P=3 ; B P=11 ; C P=6; D P= −3

VII BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

VII.1 Lý thuyết tương giao của hai đồ thị

Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị lànghiệm của phương trình: f(x, m) = g(x,m) (1)

Vậy: m− > ⇔ >1 3 m 4: Phương trình có 1 nghiệm

− có hai nghiệm phân biệt.

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 ( 2)

Vậy với ∀m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

VII.3 Bài tập trắc nghiệm

Câu 4. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = m tại 3 điểm phânbiệt khi ?

Trang 24

A 0 < m < 4 B m > 4 C m < 0 D m = 0; m = 4

2

32

của m thì d cắt (C) tại hai điểm phân biệt:

A Với m = 5 thì phương trình có 3 nghiệm

B Với m = – 1 thì phương trình có 2 nghiệm

C Với m = 4 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt

D Với m = 2 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt

x y

=

− − có đồ thị (C) Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để đường thẳng y m= cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt.

PHẦN 2 HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT

I LUỸ THỪA – MŨ - LOGARIT

a

a a

α

n

a a

log

c a

c

b b

- Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y= xα, với α là một số thực đã cho Các hàm

số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α:

+ Nếu α ∈ ℤ+ thì tập các định là ℝ

+ Nếu α ∈ ℤ- (hoặc = 0) thì tập các định là \ℝ {0}

+ Nếu α ∈ ℤ (không nguyên) thì tập các định là (0; +∞)

- Cho a > 0, a ≠ 1 Hàm số y a= x được gọi là hàm số mũ cơ số a (TXĐ: x∈R)

- Cho a > 0, a ≠ 1 Hàm số y= loga x được gọi là hàm số logarit cơ số a (TXĐ: x > 0)

4 Công thức đạo hàm

a a y a

a x y x

ln

1'

=

x y x

y=ln → '= 1

I.2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 Cho a > 0 và a ≠ 1 Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Trang 26

A log xa có nghĩa với ∀x B loga1 = a và logaa = 0

C logaxy = logax.logay D n

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

Nhập vào máy tính và kết quả như sau: , ta chọn đáp án B

Câu 4 Cho a > 0 và a ≠ 1, x và y là hai số dương Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề

sau: A loga logloga

a

x x

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

Nhập vào máy tính và kết quả như sau: , ta chọn đáp án B

Câu 8 Tính: K = 8 :897 27−3 365 45, ta được

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

Nhập vào máy tính và kết quả như sau: , ta chọn đáp án C

Trang 27

Câu 9 Cho a > 0, biểu thức a a23 viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là:

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

Nhập vào máy tính như kết quả sau: , ta thực hiện => chọn B

II PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

II.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

x f

Vậy phương trình có nghiệm x = 5 và x = -2.

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

- Thay vào phương trình hoặc bất phương trình để biến đổi phương trình theo t

- Giải phương trình, bất phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện

- Nếu có nghiệm thỏa thì thay t a= x để tìm x và kết luận

Trang 30

t = ⇔ = ⇔ =x Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=log 25

III PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

III.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số:

1 Lý Thuyết

* Nếu 0< ≠a 1 thì loga f x( ) log= a g x( )⇔ f x( )=g x( ) 0>

* Nếu a > 1 thì loga f x( ) log< a g x( )⇔ <0 f x( )<g x( ).

* Nếu 0 < a < 1 thì loga f x( ) log< a g x( )⇔ f x( )>g x( ) 0>

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

) log log log 11

11log 116

( )

2

3 3

Vậy phương trình có nghiệm x = 5

Ví dụ 2 Giải các bất phương trình sau:

3) log (4 3) 2

0,5) log ( 5 6) 1

Giải:

3) log (4 3) 2

0,5) log ( 5 6) 1

Điều kiện: x > 0 Đặt t =log2x PT (3) trở thành 2 6 0 3

2

t = ⇔ x= ⇔ =x = (thỏa mãn)

2 2

t = ⇔ x= ⇔ =x = (thỏa mãn)Vậy phương trình có nghiệm x = 4 và x = 8

b)4log2 log 2 2

2+ x= (4)Điều kiện x > 0 1

2

2(4)⇔4log x+log x= ⇔2 4log x+2log x− =2 0 (4’)

 =

1

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Nghiệm của phương trình log2(log4 x)=1 là:

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

Nhập vào máy tính hàm như sau: -> gọi nút lệnh CALC -> Nhập lần lượt giá trị của biến X? , giá trị X = 16 cho kết quả 0 như màn hình: , chọn đáp án D

Câu 2 Số nghiệm của phương trình 9x−3.3x+2=0 có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2) Giá trị của A = 2x1+ 3x2 là :

Nhập vào máy tính hàm sau: log2x+log24x−3-> gọi nút lệnh CALC -> Nhập lần lượt các giá trị của biến X?, giá trị X = 2 cho kết quả 0, chọn đáp án C

Câu 7 Nghiệm của bất phương trình 32.4x – 18.2x +1 < 0 là:

A 1< x<4 B

2

116

x x

ln8

a n b

d ∫ =∫ +∫b

c

c a

b a

dx x f dx x f dx x

f( ) ( ) ( ) (với a < c < b)

b Tích phân đổi biến số

Phương pháp tích phân đổi biến số dạng 1 có dạng ∫b

a

dx x u x u

f[ ( )] '( ) :

+ Chọn biến t = u(x) ⇒ t’.dt = u’(x).dx ( lấy vi phân 2 vế)

+ Đổi cận: Khi x = a ⇒ t = u(a), khi x = b ⇒ t= u(b) + Chuyển về tích phân theo biến mới

Khi đó : ∫b

a

dx x u x u

f[ ( )] '( ) = ∫( )

) (

)(

b u

a u

dt t f

Phương pháp đổi biến số dạng 2

Bước 1: Chọn x = u(t) thích hợp với bài toán

Bước 2: Lấy vi phân dx = u’(t)dt

Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt giả sử là g(t)dt, sau đó tính các cận:

u a( ) =α;u b( ) =βBước 4: Khi đó tính tích phân: ( ) ( ( )) '( )

b

a

β α

I.2 Ví dụ minh họa

1

2

3

2

π

Giải: Đặt t = sinx => dt = cosxdx

Đổi cận: khi x = 0 => t =0; khi x =

2

π => t= 1

=>

4

14

1 0

1 0

4

=∫t dt t I

Ví dụ 3 Tính các tích phân sau:

a)

1

2 1

x x v

I.3 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 Nguyên hàm của 2 1 3x( + x3) là:

A x x x2( + 3)+C B x2(1 3+ x2)+C C 2x x x( + 3)+C D 2 6 3

15

x C

+ B sin6

6

x C

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

Nhập vào máy tính, kết quả tích phân sau: , chọn đáp án A

123

1

4

13

1

213

3 2 0

43

I = ∫ t dt

Câu 9

1 0

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

+ Chuyển sang đơn vị radian: shift -> mode -> 4

+ Nhập vào máy tính kết quả tích phân sau: , chọn đáp án A

S =∫ f x dx được tính như sau:

Ví dụ 1 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

1

x y x

− −

=

− ,trục hoành, vàhai đường thẳng x= −1;x=0

0 1

II.2 Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= f x( ) và y g x= ( )và hai đường thẳng x a x b= ; = (a b< ): ( ) ( )

b a